THOISIÉME PARTIE 9 CHAPITRE CINQUIÈME

facteurs du premier degré, relatifs à deux droites non parallèles. Tous les autres degrés , pairs ou impairs , seraient évidemment susceptibles d'accidents analogues.

Si les constantes x^ et x" deviennent imaginaires , en supposant négatifle polynôme â5(ae'+c^ — bde^kac-—h')^ il est aisé de reconnaître que ce cas n'est nullement singulier envers les équations hyperboliques , quoiqu'il ait dû Fétre pour les équations elliptiques. Car, l'invariabilité du signe de la fonction placée sons le radical de y constitue alors Tordonnée en état constant de réalité , de manière à faire également naître une courbe indéCnie. On pourrait seulement craindre d'abord que ce lieu ne cessât ici d'être discontinu , puisque l'interruption horizontale, primitivement constatée entre a: = je/ et a:= jt", disparaît ainsi nécessairement. Mais il suffit de penser à la significatioa géométrique des constantes od et a/' pour reconnaître ^e cette diversité n'indique réellement aucune modification de forme , et ne tient qu'à un simple accident de situation. £n effet , ces racines déterminant les intersections de la courbe avec le diamètre correspondant aux cordes verticales, leur imaginarité actuelle montre que ce diamètre, et par conséqaent ses parallèles trop rapprochées , cessent de rencontrer le lieu, dont la discontinuité se retrouve alors suivant les perpendiculaires à cette droite. Il n'existe donc géométriquement aucune différence effective entre ce cas et celui qui nous a servi de type fondamental. On voit que toute leur diversité consiste en ce que la courbe coupe ou ne coupe pas un certain diamètre. Gomme la forme générale de l'hyperbole indique évidemment que, du centre placé dans sa convexité, partent indifféremment des diamètres propres à rencontrer la courbe et d'autres qui ne sauraient l'atteindre , suivant les directions des cordes correspondantes, il est clair que cette distinction reste purement relative à la situation de l'hyperbole envers

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les axes actoels. Aiosi , ce troisième cas des équations hyperboliques n'est réellement pas plus singulier que le premier. Leur distinction est tellement insignifiante, qu'ils pourront aisément coexister, en comparant les deux modes de résolution de réquation, où x et ^ peuvent être alternativement dégagés. Car , dans la formule analogue ,

± ^ \/(ft'-4ac) cr-y) (r-y'),

il est aisé de constater que le polynôme d'où dépend la réalité ou l'imaginarité des nouvelles constantes auxiliaires j^' et y ne diffère de celui que nous avons considéré envers x^ et aif* que par le changement du facteur monôme <z en c , le facteur complexe n'éprouvant aucune modification : or, a et c pourraient ici être opposés de signe , en sorte que l'imaginarité de l'un des couples coïnciderait avec la réalité de l'autre ; tandis que , si * l'équation était elliptique, ^ et c auraient nécessairement le même signe , et ces deux hypothèses ne sauraient coexister, comme l'exigeait d'avance leur incompatibilité géométrique.

En résumant l'ensemble de cette discussion complémentaire, on voit que, selon dés caractères déterminés : 1** les équations paraboliques comportent trois anomalies distinctes, où elles représentent deux droites parallèles , ou bien une seule droite , ou enfin n'admettent aucun lieu; 2» les équations elliptiques offrent deux cas singuliers , suivant que le lieu s'y réduit à un point, ou disparaît totalement ; S"" enfin, les équations hyperboliques ne présentent qu'une seule exception géométrique , où le lieu dégénère en deux droites convergentes.

91 . Il ne nous reste maintenant qu'à considérer les équations du second degré sous un dernier aspect général, en y étudiant les simplifications qui peuvent y résulter d'un heureux choix des axes rectantrulaires. Nécessairement plus prononcées qu'en

TROISIÂMS PARTIE , GUAPITRB CINQUIÈME. 293

aucon autre cas, comme je Tai indiqué , en principe , au n"" 30,^ ces réductions constitueront d'ailleurs la préparation immédiate de l'élaboration spéciale à laquelle doit être consacrée la quatrième partie de ce traité , envers les trois courbes que ce chapitre a caractérisées.

Pour mieux apprécier ces modifications analytiques , il faut les partager en deux classes : Tune^ relative au déplacement des axes rectangulaires autour d'une même origine quelconque, est essentiellement commune à tous les cas; l'autre, qui se rapporte au simple changement d'origine , produira des effets distincts selon que l'équation sera ou non parabolique.

La première simplification, qui est évidemment la plus importante, comme affectant les termes du plus haut degré, doit surtout consister à séparer les variables. Outre que le terme où elles sont mêlées est ordinairement le plus gênant, il pourra disparaître sans que l'équation cesse de représenter indifféremment les trois courbes ; tandis que, si l'un des carrés manquait , 6' — 4âc étant dès lors toujours positif, l'équation ne pourrait jamais être qu'hyperbolique. Substituons donc, au lieu de X et j^, dans l'équation générale

ût^*+ iay^+ cj:*+ 4r + «J:= 1 , les formules

a7 = a/cosX'— ysinX, jr=x'sinX'+ycosX',

afin de disposer de Fangle X' de manière à annuler le coefficient total du terme en xy. Il en résulte la condition

2(^— r)sinX'cosX+icos'X'— isin^X'=0,

on, en introduisant la tangente,

tang» X' -- 2 ^^^:ZÛ tangX'— 1 = 0.

Cette équation montre que la tran^fûrmatipn sf^ra toujours^

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possible , et que le système rectangalaire propre à y satisfaire sera nécessairement unique, puisque les deux valeurs de tang X' conviendront évidemment à deux droites perpendiculaires entre elles : il n'y aurait indétermination que dans le cas du cercle, où le double caractère ^ = 0, a = c^ tendrait réquation totalement identique , conformément aux exigences géométriques. Si , sans accomplir immédiatement cette rédaction , on en voulait seulement constater la possibilité constante , on y pourrait parvenir, d'une manière moins directe, mais plus commode , en introduisant d'abord Pangle 2X'^ à l'égard duquel la condition primitive donnerait aussitôt

tang 2X' =

formule simple, et facile à retenir, qui d'ailleurs reproduirait aisément celle de tang X', d'après la règle trigonométrique ordinaire.

Au res^e, la seule appréciation géométrique d'une telle transformation suffirait pour la représenter d'avance comme possible et déterminée. Car, quand les variables sont séparées , les deux diamètres immédiatement résultés de la résolution de l'équation par rapport kyoM à ^ , et qui correspondent à des cordes parallèles aux coordonnées respectives, deviennent néc0Sfiaireinenl parallèles aux axes opposés, et dès lors perpendU culaires à leurs propres cordes. Ainsi , les axes rectangulaires susceptibles d*^ne telle propriété doivent être parallèles aux axes géométriques delà courbe, dont l'existence constante, au moins pour l'un d'eux , et la détermination unique , sauf envers le cercle, garantissaient à priori quMl existerait toujours , autour d'une origine quelconque, un seul système d'axes rectangulaires susceptible de permettre la séparation des variables.