TROISIÈME PARTIE} CHAPITRE CINQUIÈME

Toute équation du second degré étant ainsi constamment réductible à la forme

coDsidârons les snnplifieatioiis ultérieures que pourra lui faire éprouver, envers les termes inférieurs , un changement conyenable d'origine , sans altérer désormais la nouvelle direction des axes. Il faut , à cet effet, distinguer deux cas, selon que réqaation est parabolique ou non parabolique, c'est-à-dire saivattl que la courbe manque de centre ou en admet un. Dans I« premier cas , le caractère invariable b* — 4 £zc = 0 indique d'abord ^ele terme en xy ne peut s'annuler sans que l'un des carrés ne doive spontanément disparaître. Envers les nouveaux axes rectangulaires , l'équation est donc alors , par exemple ,

ay'{'dx'{'ex = i.

Le déplacement d'origine n'y peut tendre qu'à supprimer le terme du premier degré en y et le terme constant, afln que les deux variables continuent à y coexister. On peut aisément yérifler, en exécutant cette facile opération analytique , qu'une telle réduction est , en effet , toujours possible , à moins que a ou e ne soit nul , ce qui n'aurait lieu que dans l'un des cas singuliers appréciés aun"" précédent. L'interprétation géométrique indique clairement cette possibilité permanente : puisque la disparition du terme dy suppose qu'on a pris pour axe des abscisses l'axe géométrique de la parabole , et celle du terme constant que Torigine est placée sur la courbe ^ en sorte que les deux conditions seront à la fois remplies en transportant l'origine à l'unique sonunet que comporte alors le lieu. C'est ainsi qpie toftte équaticm paiiboHqie du seeond éegré est ftia^ lement réductible à la forme

290 GEOMETAIE PLANE.

en assignant aux axes rectangnlaires une direction et ane position convenables. Une telle rédaction constante ne saurait maintenant laisser aacnn> doute sur la parfaite identité de la courbe correspondante avec celle que nous avons spécialement qualifiée de parabole dans la première partie de ce traité/* Quand l'équation

sera elliptique ou hyperbolique , il sera facile d'y enlever les deux termes du premier degré, en transportant l'origine au centre , dont l'existence est alors reconnue d'avance. Ainsi , toute semblable équation du second degré pourra prendre fijialement , envers les deux droites rectangulaires autour desquelles la courbe est symétrique , la forme

qui rend désormais irrécusable la coïncidence des lieux géométriques correspondants avec les courbes introduites, dès le début de notre étude, sous les noms spéciaux d'ellipse et d'hyperbole. C'est le type analytique que nous devons habituellement préférer pour la théorie particulière de l'une ou l'autre figure. Toutefois , si l'on désirait conserver aux équations elliptiques ou hyperboliques la faculté de devenir aussi paraboliques , ce qui , quoique rarement convenable , peut néanmoins faciliter certaines opérations communes aux trois courbes , il faudrait, comme ci-dessus , transporter l'origine au sommet, alors tantôt quadruple et tantôt double; ce qui ramènerait l'équation à la forme

indiquant la parabole , l'ellipse , on l'hyperbole, selon que n serait nul, négatif, on positif.

Nous avons toujours supposé jusqu'à présent que les non-