TBOISIËMË PARTIE , CHAPITRE CINQUIÈME

Teaax axes demeuraient reclangulalres , ainsi que Texige ordinairement la simplification de l'çtude géométrique , quoique cette obligation 6te la faculté d'enlever à l'équation un terme déplus. Mais, afin de compléter ici l'appréciation générale des réductions que comportent les équations du second degré d'après un choix convenable des axes coordonnés , il faut examiner enfin les modifications plus profondes qu'y pourrait produire la double disponibilité de leurs directions, suivant les formules

JT = or'cos X'4- j'cos Y', ^ = o/sin X'+y sin Y',

qui permettraient d'annuler simultanément deux des trois termes du second degré. Ces termes ne sauraient être que les deux carrés; sans quoi l'équation serait parabolique, auquel cas une telle réduction aurait déjà été mieuit accomplie , avec des axes rectangulaires. Or, quand les deux carrés auront disparu , l'équation présentera nécessairement le caractère hyperbolique. Ainsi, une telle réduction est impossible pour l'ellipse, dont l'équation ne peut jamais admettre moins de trois termes. Mais elle convient évidemment à l'hyperbole , à cause de ses asymptotes. Car, en dirigeant l'un des axes coordonnés parallèlement à l'une d'elles , on sait que l'équation doit manquer du carré correspondant j eu sorte qu'on éliminera simultanément les deux carrés , en prenant , autour d'une origine quelconque , des axes parallèles aux deux asymptotes. Il est aisé de vérifier, en effet , par l'exécution de la substitution indiquée, que les deux équations, d'ailleurs naturellement identiques , qui détermineront les angles X' et Y' d'après cette double condition , assigneront à leurs tangentes des valeurs exactement égales à celles ci-dessus rapportées quant aux coefficients angulaires des asymptotes. Si-, en outre , on place l'origine au centre , iFéquation de l'hyperbole sera finalement réductible à^la forme

298 GéOHÉTRIE PLANE.

annonçant aussitôt nne courbe asymptotique aux deux axes , qui ne seraient rectangulaires qu'autant qu'on aurait ea d'abord c = — a. Quoique leur obliquité ordinaire doive s'opposer à l'emploi habituel d'une telle équation , il n'en est pas moins très-remarquable que l'hyperbole soit susceptible, comme la parabole, mais suivant un tout autre mode analytique ou géométrique , d'une équation simplement binôme , tandis que l'équation de l'ellipse doit toujours être au moins trinôme. Cette difiérenoe nécessaire , imparfaitement appréciée jusqu'ici, conduira peut-être un jour, dans la constitution rationnelle de la géométrie comparée, à rapporter l'ellipse et l'hyperbole à des familles de courbes vraiment distinctes, malgré la grande analogie que vont nous offrir, à beaucoup d'égards , leurs propriétés respectives.