CHAPITRE IL

THéoiieaelaparalMls»

17. L'écpMion r^ r^^nw^ U yloa aioipla de toutes ceUet dont la parabole soit ausceptiUe , eat d'abord ^è|rpropre h doih M ^la idéia fort nette delaft^me générale de isette ligne. Sa ^iMnmnsi dir eete montre que la courbe , aymétriqu^ mifm de

l'axe des x y s'étend indéfiniment dans le sens des abscisses de même signe que la constante m , que nous supposerons habl-

tâaKBM»! poUtUre, aana jouais pé»é<|«r de l'autr» MA de

913 eBOMETRlE PLANE.

l'axe des>-, et en s'écartant de plus en plus des deax axes à la fois, mais moins rapidement du premier qne du second. Outre que le degré indique déjà suffisamment la direction effective de

la courbure, le coefficient angulaire de la tangente, tang a =r --,

constate éyidenunent que la parabole est toujours concaye vers son axe, auquel elle tend graduellement à devenir parallèle, quoiqu'elle n'y parvienne jamais exactement; en sorte que ses deux branches divergent de moins en moins entre elles tout eu s'écartant de plus en {dus , et seraient parallèles à l'infini. Cette tendance contmue) et l'absence correspondante d'asymptotes rectilignes, doivent empêcher de jamais confondre, môme à l'oBil , l'aspect d'une parabole avec celui d'une demi-hypâ*bole , quelque grossier que soit leur tracé respectif : la courbure totale est , par suite , plus prononcée dans la première figure que dans la seconde , puisque l'ensemble de son cours y fait varier davantage la direction de la tangente.

Si l'on voulait ainsi construire réellement les divers points du lieu , il suffirait de combiner avec chaqae abscisse une ordonnée égale à la moyenne proportionnelle entre cette abscisse variable et la longueur constante m, qui caractérise individuellement chaque parabole , et qui , à ce titre , est spécialement qualifiée de paramètre. Réciproquement , on peut obtenir, sur une parabole déjà tracée, la grandeur effective de son paramètre, presque aussi facilement qu'on trouve graphiquement le rayon d'un cercle , en le concevant , d'après l'équation fondamentale y^ = mx , comme la distance à l'axe de l'extré- Inité de là corde menée du sommet isons un angle de 45^. Tout autre point du lieu déterminerait également cette constante ,

suivant la loi m s *^ ; mais celui-ci offre l'avantage d'une

constractfon beaucoup plqs simple, qui mérite de devenir

QUATRIÈUB PAETIE, GHAPITBE DEUXIÈME. 313

familière, pour que l'image du paramétré ne se sépare jamais de celle de la courbe.

£nGii, la parabole étant, après le cercle, la plus simple de toutes les courbes , il conyient de remarquer, au sujet de cette équation, le mode facile d'après lequel on pourrait déduire l'une de l'autre , en se rappelant que les longueurs des diverses cordes circulaires menées d'un même point sont liées à leurs projections sur le diamètre correspondant de la même manière que les ordonnées paraboliques dépendent de leurs abscisses. Si donc on prolongeait les ordonnées NP d'un cercle relativement à un diamètre quelconque OGA ( fig, 70 ) de manière à les rendre égales aux cordes correspondantes ON, les points M ainsi obtenus formeraient une parabole, dont le paramètre so^it égal au diamètre du cercle , et qu'un tel tracé étendrait seulement jusqu'au point D » qui , suivant l'indication précé* dente , sert à marquer commodément le paramètre. On conçoit d'ailleurs qu'une telle relation de la parabole au cercle , pleinement conforme à la commune absence de condition de similitade, ne contredit pas réellement notre notion sur le nombre de points déterminant ; puisque la position de la parabole doit

alors exiger une constante de plus que celle du cercle , afin.de fixer le point d'où procède cette construction.

98. Après cette interprétation directe de l'équation simplifiée delà parabole, considérons successivement les diverses propriétés caractéristiques qui , suivant nos méthodes générales, en constituent des conséquences plus lointaines , en commençant par les propriétés focales.

Les variables se trouvant séparées dans l'équatioa ^'= m x , il faut y appliquer la méthode subsidiaire expliquée à la fin du chapitre précédent, pour déterminer le foyer par substitution de jr en ^ on, rédproqaemait , dans la fonction («xr— a)*

+(y^ey ou

# qui doit ainsi devenir un carré parfait. Par la première sabsti-

tation 9 on a

€? = a:» 4- (m— 2a) j:— 26 V^i73wr+ (a* +6*) ,

ee qoi montra d'abord que Ifi foyer doit être sn^ Tan , afinipifi iP soit rationnel par l'annulation de 6. Cela pos^ « la fonotiw devient x*J^^{m'^ûa)x^$? s et , en y appliquant la ocmditioii

connue pour les trinômes carrés , on trouve a=- m. Il exista

donc , en effet , sur l'^^^e de la parabole , un unique foyer, à i|ne distança du sopoQiet égale an quart du paramètre. Sa

distance rationnielle à up point quelconque de la courbe devient

ainsi dsa x-^-rm ; et , en l'anoolant , oi| vcdt que la djiw

trice est une perpendiculaire à Taxe , pareillement éloignée du

sommet, mais en sens inverse : le rapport spécifique l/p^-^j' est ici évidemment égal à l'ui^ité. Tel est le mode pleinement naturel suivant lequel , la notion générale de foyer une fois admise , l'analyse fait graduellement ressortir de l'équation des courbes du second degré limitées d'un côté et illimitées de l'autre leur conception géométrique comme engendrées par un point toujours équidistanl d'un point .fixe et d'une droite fixe.

Si , au contraire , on substituait x en^, on ne pourrait que confirmer, sous une autre forme , les résultats précédents. On aurait alors , en effet ,

Qmrfque cette fonction soK spontanéâMot ratioMeUt , la eonh dition préakbla é se 0 n'y est pas mnins indispensaU» pour qu'elle puisse devenir carrée : car, sa racine divant 4ti^ dfi

QUATRIÈME PÀ&TIB, CHAPITIiB DEUXIÈME. 91Q

second degré, doit d'aillenni manquer da terme da premier degré , puisque le polynôme lui-même n'eu contient pas da troisième. D'après cette première détermination , la fonction so

rédait au trinôme^ + A 2 1\ y+0L\ qui , en achevant

f opération , reproduira , aussi clairement que ci*dessas , la

condition a = ^ m. Ce second mode algébrique de la méthode

mnxiliaire des foyers n'aboutit donc , comme on devait le pré- Toir, qu'au retour du premier résultat, sous une forme d'aillears peu convenable , puisque la fonction </, étant alors du second degré, ne comporterait plus directement l'interprétation géométrique qui constitue la principale base d'une telle théorie.

Pour se ^mieux familiariser avec la position du foyer, et par suite de la directrice , il faut remarquer que son abscisse con- Tient à une ordonnée parabolique qui en est le double , et d'ailleurs égale au demi-paramètre. De I4 résultent de nouvelles maniées d'envisager )e paramètre d'une parabole , soit comme la corde perpendiculaire à l'axe menée du foyer» soit comme la double distance du foyer à la directrice. ^

Il serait superflu d'insister ici sur les facilités évidentes que procure la propriété focale de la parabole pour décrire cette courbe par points ou par un mouvement dxmtipUt

99. Bajrmi les nombreux prcdsilèmes relatib h la détermination 4e la parabole d'après des conditions pvopras an tofmp oa à la directrice , et dont la solution analytique n^ sanrait maintenant offrir aucune difficulté essentielle au lecteur suffisamment imbu de nos principes généraux , je me bornerai à considérer spécialement , soit à titre d'exemple caractéristique , soit à raison de son utilité réelle , celui où Ton donne , avec deux points de la courbe , son foyer ou sa directrice.

Dans lô premier cas , cette question de géométrie abstraite comporte une préciease destination astronomique , pour déterminer le cours d'une comète d'après deux positions observées , en adoptant rbeureuse approximation parabolique spécialement appliquée par Newton à la seule partie de l'orbite qai puisse être habituellement yisible. Supposons donc qu'il s'agisse de faire passer en deux points donnés une parabole ayant un foyer donné , qui , en une telle application céleste , serait le soleil. La propriété focale fera trouver aisément une solution graphique, consistant à construire d'abord la directrice, comme tangente commune aux deux cercles qui , ayant leurs centres respectifs en ces deux points ^ se couperaient à ce foyer : cette droite une fois trouvée , l'axe , le sommet , et le paramètre de la parabole en résulteront sans diflBculté. On obtiendra ainsi deux paraboles , ordinairement très-diflférentes de position et même de grandeur, entre lesquelles les indications astronomiques dissiperaient facilement toute indécision. Cette construction indique d'ailleurs , conformément à la nature du problème , que la question ne saurait offrir d'autres cas d'impossibilité que ceux qui tiendraient à la coïncidence de Tun des points donnés avec le foyer ou à la situation des deux points en ligne droite avec le foyer et dutnéme côté.

La solution analytique ne peut présenter aucun embarras, puisqu'elle se rapporte à des conditions déjà spécialement formulées. Si les axes sont disponibles , on la simplifiera beaucoup en plaçant leur origine au foyer donné, et dirigeant l'un d'eux vers l'un des points donnés. On aura alors l'équation

y+x*= {px 4- 2r + r)%

où le caractère parabolique donne d'abord la relation /''H^'» 1 » Quant aux deux autres conditions propres à déterminer ks constantes inoonnues p^ 9, r, elles seront, d'après les deux pas^ sages.

QUATRiillB P4MIB, CH^FITES BEUXIËMB. 317

Gdmme les prenûers membres de ces équations , rdatifs aait distanees y! et a" de ces points au foyer, sont entièrement connos, on pourra ramoner ces deux équations au premier degré, sous la forme

et dès lors^on y rapportera facilement p et 9 à r, qui se déterminera finalement par une équation du second degré, résultée de h condition primordiale p''^q^:=zi.

A l'occasion de ce problème , je crois devoir établir sommairement une importante notion de philosophie mathématique , jusqu'ici très-confuse , sur la nature des divers symptômes analytiques de l'impossibilité ^qu'une aveugle routine algébrique conduit trop souvent à croire indistinctement annoncée par Fimaginarité des inconnues, quoique le mode doive nécessairement varier suivant les cas. D'après l'harmonie fondamentale qui doit toujours régner , en mathématique, entre lesappréciar lions concrètes et les indications abstraites , on peut constamment prévoir de quelle manière l'impossibilité devra être analytiquement manifestée, suivant une judicieuse discussion spéciale , destinée à discerner si les conditions qui la caractérisent sont vagues ou précises \ c'est-à-dire , en d'autres termes , si elles correspondent à une simple inégalité ou à une véritable relation d'égalité. L'anedyse conduira nécessairement , dans le premier cas , à des valeurs imaginaires, à moins que les valeurs négatives ne fussent pareillement inadmissibles , ce qui arrive rarement en géométrie. Quant au second cas, le symptôme analytique devra changer de nature, et consistera en certaines Tdeurs réelles spécialement exclues^da sujet $ le plus souvent

318 aÉoMÉtRiE PLÂins.

cette exclasion déterminée se bornera aux yalears nulles oa infinies. Tel est le principe philosophique qui doit toujours dominer la discussion effective des solutions analytiques relatiTés à un ordre quelconque de recherches concrètes.

En l'appliquant à la question actuelle , on reconnaît* aussitôt que tous les cas d'impossibilité y sont de nature précise, et que, par conséquent, leur indication algébrique doit résulter de valeurs réelles inadmissibles. Si Tinconnue principale est r, qui désigne géométriquement la distance du foyer à la directrice, il n'y aura d'exclusion que pour les valeurs 0 et oo . C'est donc par Tune d'elles que'J'impossibilité sera toujours annoncée, et jamais d'après l'imaginarité, quoique l'équation en rsoit du second degré. L'examen de la solution graphique montre d'ailleurs que cette indication résultera ici de valeurs nulles y et non de valeurs infinies. J'engage le lecteur à confirmer algébriquement une telle prévision rationnelle.

Relativement à ce premier problème , il convient de remarquer, mais uniquement pour l'application astronomique, l'utile simplification que recevrait la solution analytique, si l'on y employait l'équation polaire de la parabole autour du foyer, établie au n"" 23, et qui dispenserait spontaoément de formuler la condition la plus difficile. Avec les notations actuelles , cette équation serait

1— COS(94-a)'

en la modifiant , suivant l'esprit de la question , de manière à diriger arbitrairement l'axe polaire. Le passage de la courbe aux deux points donnés fournira aisément la détermination des deux constantes, linéaire et angulaire, propres à ce type analytique , et qui fixent , l'une la grandeur , l'autre la direction, de la parabole cherchée. En conduisant l'axe polaire vers l'un de ces points ; on aurait ainsi les deux relations

QUATSIÈHB »AETIB, CSUOVtKR DEUXIÈHE* M9

1— CO»(fH-a)* 1— CW*^

d*ôà 9 en éliminaot m^ on oonclora , pour Fangle a ^ Tèquation

trigotaométrique

1— cosa u"

dont la résolution se simplifiera beaucoup en Introduisant les démi-angles, et fera connattre la double inclinaison de Fate dé la patabolé i$ur uû tel axé polaire.

Supposons maintenant que le foyer donné soit remplacé par la directrice ; la solution graphique se renversera facilement , en construisant le foyer d'après Tintersection des cercles déjà considérés, et dont les rayons seront alors les dislances des détix points à la dircctrieé donnée. Il en résultera encore deux {laraboles inégales, quoique parallèles. Quant aux cas d'impossiirilité , ils y consisteraient d'abord ddnà le passage de la directrice à Tun des points donnés, ou dans sa perpendiculaTité à la droite qui les joint ; mais^ outre ces hypothèses relatives à des conditions précises , la question comportera d'autres exceptions, de nature vagué, lorsque, par exemple, la directrice tombera entre ces deux points , on , en général , si ceux-ci sont trop écartés.

La solution analytique sera très-simple, si la disponibilité des axes permet de prendre ta directrice donnée pour Tun d'eux , en dirigeant l'autre vers l'un des points donnés. Dans cette hypothèse , Téquation .focale devient

et les deux passages y détermineront aisément les coordonnées inconnues du foyer d'après les relations

««-j.6«2«:c^— 26y+y" = 0, a"-f 6'-26y'+/'•=05 dont la soustraction fournirait une équation du premier degré

990 0ioininiB plahb.

en « et 6, de œsoière à oandnire i»<Hnpteiiieiit à une éqnatioii finale da second degré en « , par exemple, distance du foyer à la directrice. La première classe de cas d'impossibilité s'y annoncerait naturellement par des valeurs nulles , et la seconde par rimaginarité.

En supprimant l'un des deux points donnés, chacun des deux problèmes précédents deviendrait indéterminé, toutefois suivant la juste mesure qui comporte la recherche des lieux géométriques; en assignante non des positions fixes, mais d'invariables trajets, aux divers points inhérents à la parabole. Le lecteur pourra donc , à ce sujet , s'exercer à découvrir des lieux plus ou moins remarquables , surtout ceux du sommet^ ou du point paramétrique.

100. Considérons maintenant les propriétés de la parabole quant aux tangentes. En un point quelconque {af^ y') de la courbe j^' = mJt , la tangente aura pour équation , suivant la théorie générale ,

Pour en déduire sa construction , il suffit d'y chercher , en faisant y = 0 , l'abscisse du point où elle rencontre l'axe , et on trouve x=± — a/ ; en sorte que ce point T {fig, 71), et le pied P de l'ordonnée sont toujours équidistants du sommet. Ou énonce communément ce résultat en disant que , dans la parabole, la sous-tangente TP est constamment double de l'abscisse du point de contact. Mais la forme la plus remarquable sous laquelle il puisse être présenté , consiste à reconnaître que la soitë-normale PN est toujours égale à la moitié du paramètre : car , en toute courbe , lo triangle rectangle TMN montre que Fordonnée est moyenne proportionnelle entre la sous-normale

y* et la sous-tangente , d'où PN = ^ 5 or ici TP = 2x', donc

QUATAIËMB PARTIS, GHAPmE DEtXlÉHE. 321

NP = r-y = —. De là résulte , en sens inverse , une nouvelle

manière d'envisager le paramètre de la parabole , ainsi rattaché à une tangente quelconque » comme double de la sous-normale.

Àa sujet de ce théorème , il convient de remarquer une conséquence spéciale , relative à la première ébauche spontanée d'une importante notion gé(Hnétrique , que l'analyse transcendante peut seule d'ailleurs convenablement établir. En considérant une normale de plus en plus voisine de l'axe de la para* bole, on voit ainsi que le point N où elle le coupe , quoique se rapprodbant toujours du sommet , a pour limite le point G , deux- fois plus éloigné que le foyer F ; cette extrême position deyiendrait donc ici le centre du cercle qui , suivant l'indication générale du n* 44 , aurait en O le plus intime contact avec la courbe. Sous un autre aspect , le chemin normal dirigé suivant Taxe, à partir d'un point situé dans la concavité de la parabole, serait un minimum ou un maximum selon que ce point de départ se trouverait avant ou après cette limite G.

Le théorème fondamental que nous venons de remarquer, sous diverses formes , pour la tangente à la parabole , acquiert une nouvelle importance géométrique quand on le combine avec la propriété focale. Car, cette relation OT=:OP, donne aussitôt

FT ou OT -j- r/7*= FM ou j/4" 'i^' donc les angles opposés

FMT et MTF sont constamment égaux. Ainsi , la tangente à la parabole est la bissectrice de l'angle formé par les deux droites menées du point de contact , l'une au foyer, l'autre perpendi- Virement à la directrice. En remarquant d'ailleurs que ces deux droites MF et MQ sont constamment égales , il s'ensuit qne la tangente est toujours perpendiculaire sur le milieu de h dn^te FQ , qui joint le foyer à la projection du point de QOQttct sor la directrice : ce milieu devant San» cesse tomber

3â2 ëiéÈÈTlBitE PLANS.

en K , oa TOit aassi, comme nouvelle forme de la tnéme i%latioii) qne les projections du foyer sar les diverses tadgentes forment nne ligne droite , ijùi est la tangente au Sommet.

Physiquement envisa^ëë , d^d^irès la loi gétléMë dé la 1-éjQeiLion de la lumière ou de la chaleur , cette importante propriété géométrique explique directement Fidée de concentraU<m ealoriOque que rappelle spontanément le nom de foyer. Car ; tout rayon de lumière ou de chaleur qui tomberait sur la parabole, parallèlement à son axe , devrait ainsi se réfléchir toujours vers le foyer , pour maintenir l'égalité nécessaire entré les angles de réflexion et d'incidence formés avec la tangente; De la parabole 4 cette propriété s'étendrait évidemment au paraboloïde résulté de sa rotation autour de son axe .• en sorte qu'un tel miroir est propre à èoneentrer en un point unique la chaleur que reçoit sa concavité totale dans une même direction , sauf l'inévitable affaiblissement qu'occasionne toute réflexion. En sens inverse, un semblable réflecteur est souvent employé , surtout pour les phares j à rendre parallèles tous les rayons qui divergent d'un même point; ils peuvent d'ailleurs être ultérieurement concentrés en un antre point , d'après une seconde réflexion analogue , conformément à une célèbre expérience thermologiqne.

Quant à l'usage purement géométrique d'une telle propriété, elle ottre directement l'avantage de s'adapter indiiîëremmeni à la construction de la tangente , dans les trois cas ëlémenUlin^ qui s'y rapportent communément^ selon que l'on donne le point de contact, ou la diret^tion, ou un point extérieur. Pour le premier cas , il suffit d'élever une perpendiculaire sur le milieu K de la droite FQ précédemment définie. Il est aisé dé vérifier spécialement , à la manière des anciens , qu'une telle p«*pendiculaire aura , en efiet , hors de la parabole tous ses p<^t8 autres que M i puisque l'un quiconque K d'entre euxf

QITATRIÈIIB PARTIS y GHAPITRII DEUXIÈME. 29$

98 frotiyaiit Ainsi éqaidittant de F et de Q , sera nécestaitement plus rapproché de la directrice ({Ue da foyer, et dès lors esté** riev à la ooarbe. La détermination des tangentes à la parabole ne pottTait donc ^ sons cette forme, oflh^ir aux anciens ancnne iifficnlté ess^tteUe ^ aussitôt qu'ils ont pu procéder d'aprèa la INTopriété focèlô, qui ^ dans leulr mode d'étbde» a dû consti^ ioer, à toas égards ^ le pHacipal obstacle propre à la théc»rië dfes sectio&s coniques^

8i ftainteuatit on veut traœr une taugetite parallèle à une Aotte donnée , la droite FQ se trourera Immédiatement déter^ miiiaMe ^ et par suite là construction précédente s'appliquera égatement, sans même que Viht^^efltiofi graphique de la parabole soit indispensable pour marquer le point dé contact^ qoi sera suffisamment assignable d'après sa projeclite Q sar la directrice. Quant à la solution analytique du même problème , stte co^sterait d'abcHrd à trouver ToMonnée , et dès lors l'abscisse , du point de contact , en renversant la loi primor-

diale tang a = — ;. Mais on peut aussi traiter directement cette

qaestion , d*après le principe des racines égales , en cherchant la relation du coefficient linéaire au coefficient angulaire qai rend la droite^ = ax -f 6 susceptible de toucher la courbe

f-szLmx : on trouve alors * = r- ; d'où résuUe l'équation

qu'il importe de remarquer comme là plus propre à caractéri* set une tangente quelconque à la parabole, quand la nature des queltidns étigefâ que cette tangente soit surtout considérée Misant sa direction et indépendamment de son point de contact. Enfin , lorsque là tangente doit partir d'un point extérieur Kç k ûM\è FQ petit encore se retrouver aisément ,T[)uisque le

32& «ÉOUÉTRIE PIANB.

point Q, tonjoars sitaé sarla directrice, est d'ailleurs à une distance de ce point N égale à NF ; en sorte qn'il résultera de rintersection de la dîrectf ice par le cercle décrit da centre N avec le rayon NF. Cette rencontre, nécessairement 'double, A le point donné N est Traiment en dehors , déterminera donc les deux droites snr les milieux desquelles doivent être perpendtcnlaires les tangentes cherchées , dont la construction s'achè^ Tera dés lors comme ci-dessus. On peut remarquer, à ce sujets que si le point N appartenait à la directrice , ces deux droites auxiliaires , et par suite les deux tangentes , seraient nécessairement rectangulaires : ce qui permet d'enyisagér la directrice comme décrite par le sonunet d'un angle toujours circonscrit à la parabole.

La solution analytique du même problème ne présente aucune difficulté y d'après les explications générales du n"* 41 , pour trouver les coordonnées du point de contact , en oombmant les deux équations

Mais si, sans opérer Tèlimination, on voulait construire le résultat en coupant la parabole donnée par le lieu qui correspondrait à la première équation où x^ cl y dé viendraient variables, il faudrait d'abord la transformer à Taide de la seconde , afin d'éviter le lieu parabolique qu'elle fournirait spontanément. Ainsi réduite au premier d^é , cette équation

représenterait la droite qui joindrait les deux points de contact cherchés. II n'est pas inutile d'y remarquer : i^ que le point où elle rencontre l'axe de la parabole resterait invariable si le point de départ des deux tangentes se déplaçait perpendiculairement h cet axe, et aussi envers une autre parabole ayant même

QUATRIÈME PA&TIB» CHAPITRB DEUXIËMB. 826

axe et même sonufiet ; puisque Tâbscisse — a de ce point est indépeadante de 6 et de m; 2o que son intersection avec l'axe des y ne changerait pas si le point de départ se déplaçait en ligne droite aTecle sommet; 3" qoe la direction de cette corde des contacts demeurerait la même si ce point donné se déplaçait parallèlement à Taxe. Ces petites remarques ofirent , intrinsèquement , peu d'intérêt , et encore moins d'importance : mais eUes peuvent servir à rendre plus sensible aux commençants l'exacte interprétation géométrique des résultats algébriques , considérés même relativement aux éléments qui n'y entrent pas.

Au sujet d'une telle construction des tangentes menées d'un point extérieur à la parabole, je dois signaler une propriété plus essentielle, commune aux trois courbes du second degré , et tendant à déterminer directement la corde des contacts, d'après deux sécantes quelconques tirées du point donné. En joignant , d'une part latéralement , d'un autre part diagonale* ment, leurs quatre intersections avec la courbe, il en résultera deux couples de droites, qui, par leurs rencontres respectives, détermiineront finalement deux points, toujours situés sur cette corde, et dès lors sufSsants pour la tracer, de manière à en déduire les tangentes cherchées : ce qui constitue certainement, à cet égard, la plus convenable de toutes les solutions graphiques où l'on fait intervenir la courbe. Comme la rencontre des lignes transversales ne saurait jamais manquer, le théorème conserverait toute son efficacité si les lignes latérales devenaient parallèles , puisque la droite cherchée aurait alors la même direction. Je laisse au lecteur l'exécution , et même l'institution , des calculs un peu longs qu'exige la démonstration analytique de cette proposition remarquable, dont l'origine effective est peu connue. Le principal embarras consistera îi décider w, dan^ le choix des axes les plus propres à

8i6 fflidiÉTAiB PLAm.

simplifier ane telle opération , on doit prtférer la ^os sinaple équation des trois eoarbes du second degré y^ ^ mx+rus^y sauf à compliquar les équations des deux sécantes initiales ; oa, an contraire , aroir essentiellement en vue les simplifications relatives à ces deux droites, snrtout en les prenant pour axes, à la cliarge d'employer envers la courbe l'équation la plus générale ay-^bxy-^-cx^-^dy^exzzzi. Si cette délibération préalable est heureusement accomplie , cet exercice analytique deviendra peu laborieux.

101 . Parmi les nombreux problèmes auxquels peut donner lieu la considération des tangentes à la parabole , je me bornerai à signaler spécialement , comme types , la détermination d'une parabole d'après deux tangentes , ou une seule et un point , conjointement avec le foyer ou la directrice. La solution graphique consistera surtout, de même qu'au n'^ 99, à construire d'abord la directrice ou le foyer. Si la parabole, ayant un foyer donné , doit toucha deux droites données , il est aisé de voir que chacune d'elles indiquera un point de la directrice, en prenant, par rapport à elle, le point symétrique du foyer ; si l'une de ces tangentes était remplacée par un point , la directrice devrait toucher le cerde qui, y ayant son centre , passerait au foyer : on aura donc , en Tun ou l'autre cas, la directrice, et par suite tout ce qui concerne là parabole , en joignant deux points, ou en menant d'un point une tangente à un cercle; l'impossibilité proviendrait, dans la premi^e question , dq conditions précises, tendant à faire passer la directrice au foyer, et, dans la seconde, elle pourrait, en outre, résulter de conditions vagues , relatives à la situation du point intérieurement au cercle. Quand la parabole devrait , au contraire, admettre une directrice donnée , chaque tangente indiquerait un Heu du foyer, savoir la droite formant avec elle un angle égal à cdni qu'elle-même ferait avec cette directrice ; et dés lors le foyer

QUATEIËME P4RT)B, GH^I^IÎfiiE DEUXIÈME. 33T

Ifési^teF^it 9)8<§i^eBi ou de la rencontra d^ de\ÈX pareilles dtoiM? OR de i'ialei?$^ctiQQ de l'iui^ d'i^Uespar le cercle iangeai à )$^ Air V^lti^ qoi aurait poap centre un point donpé de la courbe.

La sqIi^Moii .a^aljFtîque de ce$ prpblèmes ne saurait mainto- ^sff^t f^ix mmm di(Kca}té d'înstjtation , d'djN^ès 009 principes généraux, ni miâmp dgcnn embarras d^xéqntipn, enisbûisissant

con^enabtement les axes : les indicatipus f^écédentes y feiront d'ailleinrs aisément prévoir la nainre algi^rique des divers Sf f^pU^es d'impossibilité , qne les conupencants ponrront uii- ^ûoeui v^iQer. Si , par exepp}^ , la directrice ast dopnée , et q^'on y plaoa Taxa des j^, l'équation de la parabole s«?a, ooaunp nun^^^o,

Dès lors, pour y formuler le contact d'une droite y=sax sur laquelle on aurait choisi Torigine, le principe des racines égales fournira la relation

En éeartani toute autre condition , la pars^le serait indéterminée, mais susceptible de lieux , parmi lesquels celte relation indique spontanément celui du foyer : il est aisé d'y recennattre la droite ci -dessus introduite. Ge cas e^ remarquable par la i|9Jlare ^niforménient rectiligne de tous ces \}^Wf 9 ÇPffiQ^^ 1^ lecteur peut facilement le constata en passant analy tiquement de ce lieu immédiat du foyer à ceux qui en dériveraient , plus ou oKMins indirectement , pour le sommet , le point paramétrique 9 etc. Une remarque générale , utile à signaler ici , à cause de son ^cacité en divers autres cas analogues , explique aussitôt cette particularité , d'après le principe géométrique qui gert de meilleure base à la théorie analytique de la similitude des courbes : car, les courbes ici comparées étant toujours semblables , d'ailleurs placées parallèlement à cause de la di-

rectrioe comiiiunc» et ayant, en outre, pour centre évident de similitade on d'homologie rintersectkm de cette directrice avec la commune tangente , tous les lieux qui s'y rapporteront seront nécessairement des droites dirigées vers ce point.

Le plus intéressant , à tous égards , des lieux très-multipliés que produirait la parabole considérée quant à ses tangentes , consiste dans la cissoïde , résultée de la projection du sommet sur les tangentes. En discutant directement une telle définition , il est d'abord aisé d'y reconnaître une courbe nécessairement syméb'ique autour de l'axe de la parabole, commençant an sommet où elle toucbe cet axe , et finissant à la directrice qui Ini est asymptote : cette dernière condition résulte de ce que , la projection d'une distance étant au plus égale à sa longueur, la projection du sommet sur une tangente quelconque ne peut jaipais s'écarter de celle du foyer, que nous savons appartenir toujours à la tangente au sommet , que d'une quantité au plus égale à la distance du sommet à la directrice ; une telle prévision est d'ailleurs en harmonie avec la notion de la directrice comme lieu des intersections des tangentes rectangulaires. Si maintenant on dierche l'équation du lieu proposé, soit d'après l'équation de la tangente relative au point de contact, soit d'après celle qui se rapporte à sa direction , on trouvera très-

facilement l'équation y= — — — , où l'on reconnaît aussitôt

la cissoïde annoncée. En renversant cette importante liaison entre deux courbes que l'on croit d'ordinaire fort hétérogènes , on pourrait déduire la parabole de la cissoïde , comme tangente au système des perpendiculaires menées , en chaque point de celle-ci , aux cordes parties de l'origine : mais cette inversion , où il faudrait analytiquement revenir de l'équation générale

des tangentes paraboliques ^=£zx+ — à celle de la courbe