QUATRIËHE PARTIE, CHAPITRE DEUXIÈME

eorrespODdante exigerait nécessairement l'analyse transcendante. Au reste , une telle connexité mutuelle doit peu étonner entre des courbes qui, au fond, découlent d'une même source géométrique -, puisque nous avons remarqué , au début de ce chapitre , que la parabole peut dériyer du cercle tout aussi directement que la cissoïde , quoique suivant une tout autre k>i.

Quant aux lieux , en quelque sorte inverses , résultés , au contraire , du déplacement de la parabole elle-même envers certaines tangentes , je me bornerai à considérer, œmme type, edai qui correspondrait au sommet d'une parabole invariable nrne de manière à toucher constamment deux droites fixes, que je supposerai, pour simplifier, rectangulaires. L'appréciation directe d'une telle définition indique aisément une courbe symétrique autour de ces deux droites , et même de leurs bissectrices , surtout en considérant que la directrice doit, à raison de la perpendicularité de ces tangentes , passer toujours à leur intersection : un examen plus attentif démontre aussi que ces deux droites doivent être asymptotes du lieu cherché, puisque, leor rectangularité ne permet à chacune de contenir le sommet qu'aatant que l'autre s'en éloigne à l'infini. Pour trouver l'équation du lieu , la marche la plus analytique consisterait à partir deFéquation focale de la parabole , afin d'y formuler les deux contacts et ensuite le paramètre. On abrégera un peu l'opération si , plaçant les axes selon les deux droites fixes , on remarque le passage nécessaire de la directrice à l'origine : l'équation sera ainsi

eny supposant/>"+gr'=l, vu le caractère parabolique. Il suffira dès lors d'y exprimer le contact avec l'un des axes , ce qui donnera la relation {i—p^)^*==p^a. Quant au paramètre donné

680 GiOMÉTElE MLAVB.

m^ en le ooncevant double de la distaBoe fia fojrev à la dhree*

trice, on aura la nouYclle condition p^'\-q^^=-^^f qiû , oom-

binée ayec les deux précédentes , permettra d'éliminer péLq^ en conservant a et €. Le lieu du foy^ étant ainsi trooyé , ûd en déduira celui du sommet , en regardant ce point comm situé à la fois sur la courbe et sur la perpendiculaire menée da foyer à la directrice.

Un autre mode , moins complètement analytique que le prèr cèdent , mais plus simple , et d'ailleurs assez général poot étft imité envers toute autre courbe invariable mue autour à^ deux droites fixes, consisterait à procéder par inversion, en supposant la parabole immobile , afin de chercliep, d'après sa |di|i simple équation , la relation constante entre les distances de son sommet , de son foyer, ou de tout autre point singulier, à deux tangentes rectangulaires quelconques. En prenant , poor

Tune d'elles , réquatlon^=ax-f-r-, alors éminemment convenable , celle de l'autre serait donc j^ = x --. Leurs

distapces x', y, à l'origine, qui deviendraient Spalement , envers les ^xes déj^ indiqués, le^ poordonnées dn U^u du sommet , seraient exprimées par les deux f ormi^les , w . ma

entre lesquelles l'élimination du coefficient variable a fournirait aisément l'équation cherchée.

Cette seconde solution , dont le principal avantage consiste à dispenser spontanément de formuler l'invariabilité de la courbe mobile , pourrait être présentée sous une autre forme , essentiellement équivalente , d'après les formules relatives à la transposition des axes , en exprimant , dans i'équation y= mx

OUATRIÈME PARTIE, CBAPifWB DEUXIÈME. 3S1

atesi généralisée, les deox conditioos de contact envers les noaveaux axes ; ce qui permettrait , par rélimination des trms ooasfantes auxiliaires , d'obtenir une équation finale entre les noayelles coordonnées d'an point quelconque dont les anciennes seraient connues. Mais cette transformation analytique du mode précédent diminuerait sa simplicité , sans pouvoir, au fond , rien ajouter à sa généralité réelle.

102. Tous les problèmes sur les tangentes peuvent suggérer autant de nouvelles questions envers les normales. Quoique ces dernières recherches soient nécessairement assujetties aux mêmes principes que les premières , ce qui dispense d'jr insister beaucoup ici , leurs résultats seront cependant [dus compliqués ; ainsi , par exemple , tandis que le lieu des intersections des tangentes rectangulaires est , pour la parabole y une ligne droite , celui qui correspond aux normales respectives est une oourbe, que j'engage le lecteur à chercher. Je me biwnerai à considérer spécialement le plus important de ces nouveaux prcAlèmes, consistante mener une normale par un point quel* conque du plan. Sa solution analytique revient à déterminer le point correspondant de la parabole , d'après l'équation de cette

courbe combinée avec la condition y — 6= (x' — a), qui

exprime le passage de la nonpale au ppint 4onné ^ , ê. On trouve Aifisi , pour l'ordonnée d'incidence, l'équation du troisième degré

qui indique algébriquement l'existence d'une seale ncHmale ou^ de trois, selon les relations des données a, 6. Ces deux cas ordinaires seront séparés par le cas exceptionnel de deux normales , correspondant à l'égalité de deux des racines de cette iquation. En cherchant la relatikm entre a et € néeessaire pour

332 GÉOSDBTRIB PLANE.

cette égalité , soit d'après la méthode employée au n» 43, soit snivant tout aatre mode algébriqae , on trouTera , plus ou moins commodément , l'équation

Son lien géométrique déterminera une courbe d'un eôté de là* quelle il pourra partir trois normales , tandis que de l'autre on n'en pourra mener qu'une seule : il est d'ailleurs facile d'éviter toute méprise à cet égard , même indépendamment des notions algébriques spéciales , en considérant que si 6 était assez petit, et surtout nul, (m pourrait certainement tirer trois normales. Ainsi , la première région est située entre les deux branches de cette courbe auxiliaire , et tout le reste du plan présentera l'autre cas. La courbe, aisée à reconnaître , appartient aa troisième genre de la famille générale des paraboles (n*" 79) , puisque l'équation devient binôme en transportant l'origine en G (fig, 71) , où commence nécessairement le lieu HGH' .- il est facile de constater que sa rencontre avec la parabole correspond à une abscisse OL octuple de celle du foyer.

Une suffisante appréciation de la déflnition précédente peut conduire naturellement à la plus importante propriété de cette courbe auxiliaire , consistant en ce qu'elle touche toutes les normales de la parabole , comme l'indique déjà l'équation envers la première d'entre elles , ou l'axe. Car, si l'une d'ellèis pénétrait dans sa concavité , il partirait évidemment plus d'une normale de tous les points qui s'y trouveraient compris -, puisque, outre celle-là, il en existerait au moins une autre , correspondante à la moitié adjacente de la parabole : or, cette coexistence deviendrait directement contraire à la destination géométrique d'un tel lieu , de la concavité duquel nous venons de constata qu'il ne saurait émaner jamais qu'une seule normale.