PREMIÈRE PARTIR» CHAPITRE PREMIER

sar la constroctîon élémentaire des fonuules algébriqaes. La grande loi de l'homogénéité , la plus étendue de tontes celles qoe comporte jusqu'ici la philosophie mathématique , puisqu'elle s'applique nécessairement à toute relation quelcon* que de l'abstrait au concret, reste encore très-mal conçue ordinaireraent, quoique j'en aie suffisamment établi, il y a treize ans , dans le tome premier de ma Philosophie positive, le Téritable esprit général. Pour expliquer ce fait remarquable que toute équation ayant un sens géométrique , et spé^* dalement linéaire , est constamment homogènej c'est-à-dire , dans le cas le plus usuel, que tous les termes j sont naturellement du même degré algébrique , on se borne presque toujours à remarquer cette circonstance éYidente envers les relations initiales que l'on rq^arde avec raison comme la source , plus on moins éloignée , de toutes les relations possibles entre lignes^ et qui sont essentiellement réductibles au théorème de Pythagore 9ur le triangle rectangle et à celui de Thaïes sur la proportionnalité des côtés entre deux triangles éqniangles, propo. sition qui , d'ailleurs , comprend logiquement l'autre. Diaprés cette remarque incontestable sur Fhomogénéité des équations primitives, et en admettant que ni les transf(^mations uL térieures dé chacune d'elles ni leurs combinaisons mutuelles ne peuvent jamais altérer un tel caractère , on aurait suffisamment démontré qu'il doit s'étendre aussi aux déductions les plus lointaines. Mais cette supposition très-gratuite est certainement vicieuse, sinon quant aux transformations , du moins quant à certaines combinaisons; par exemple^ lorsqu'on ajoatedeux équations homogènes de degrés différents, leur somme ne constitue nullement une équation homogène. Il resterait donc à expliquer pourquoi les déductions géométriques ne conduisent jamais à de tels assemblages ; ce qui serait assurément plus difficile que d'établir directement la loi générale de

38 QÉtMnhlIIX PLAVE.

Fhomogénéité. Ceux qui oot se&U oe vice radical de l'expUcation la plas umtée , mais sans tcmonter pourtant jasqu'au Trai principe philosophique de toute cette ttéorie, oui été oondwta à altérer essentiellement la loi elle-même ^ pour l'adapter à l'insuflSsance de leur démonstration, en y introduisant nne alternative qui , au fond , détruirait radicalement le sens effectif de la proposition. On fait ainsi consister maintenant le théorème de l'homogénéité en ce que toute équation géométrique est nécessairement homogène , ou , du moins , la somme de plusieurs équations homogènes. Avec un pareil énoncé yla p|t>position devient évidemment insignifiante : car, quelle est l'équation, écrite au hasard par un algébriste, qui ne puisse être conçue décomposée en équations homogènes , d'après la seule précaution d'y grouper convenablement les termes ? Il est c^tainement impossible que ceux qui entendent ainsi la loi de l'homogénéité fassent aucun usage réel des précieux moyens de vérification continue qu'elle est surtout destinée à fournir spontanément dans toutes les applications possibles de l'analyse mathématique.

13. Sans nous arrêter davantage à cette vicieuse doctrine, procédons directement à la véritable explication. Elle repose tout entière sur cet unique principe, aussi général qu'évident : Texactitude de toute relation concrète, soit géométrique^ soit même mécanique , ou physique , etc>, étant nécessairement indépendante de la grandeur de l'unité ou des unités qu'on a introduitespourl'évaluationnumMque^l'équation correspondante doit rester inaltéraUe quand on y fait subir, à chacune des quantités élémentaires > la variation résultée du changement d'unité, et qui consiste aies multiplier toutes par un même facteur arbitraire. Afin de mieux apprécier les conséquences analytiques d'une telle propriété envers les équations algébriques proprement dites, où il faut surtout la spécifier, il importe de

PREMIÈEB PABTIE, GBAFITRB PREMIER. 39

distiBgiier deux cm généraux^ selon qoela reltUoD ne conlieRt. qae des grandeim d'une seule espèce , oa qu'elle eu renfermie à la fc^ de lAusieurs sortes distinctes.

Dans le premier cas, le plus cooimun en géométrie analjti* qœ, en supposant, pour fixer les idées , qu'il s'agisse, par exemfde, d'une relation entre lignes , tout se réduit à bien ap* précier Feflet isolé du cbangement proposé sut chaque terme de réquati<»i. Or, en rendant m fois plus grands tous les facteurs qui expriment les lignes considérées , il est aisé de reconnaître d'abord que tout terme du premier degré se trouvera aussi multiplié par m, quelle que soit sa forme algébrique, noa*^culement

quand il est rationnel et entier, comme 3a ,- a,na , etc. , nkafs aussi lorsqu'il est fractionnaire ^ comme — , —^r- « etc. . ou

c efg

même irrationnel , comme

V/^, \/^. i/^. ^'15^, etc.

en estimant toujours le degré suîTant les régies ordinaires de l'aigébre ; sauf riddispcnsàble précaution de n'y jamais compter que les fadeurs vraiment linéaires ) sans aucune participation de ceux qui , àdivers titres, ne sont pas altérables par le changement d'unité. Gela posé) chacun des termes de degré supérieur dsrieiidraainsi^ avec une forme quclcottque, m'^m^^m^ etc., fois plus grand, selon qu'il sera du 2^^'i 3™<^, ^^^^ etc. degré, en tant que produit d'tin pareil nombre do facteurs du premier degré. £n résumé, tous les termes d'un même degré, quelle que soit leur dissemblance algébrique , varieront alors en même raison, et tous œux de degrés diflérents , quelque similitude que puisse eOHr leur composition ^ se IrouverDUt inégalement multipliés. On voit par là quel'équation ne pourra supputer sans altération k tnodiScatfod proposée, que d'après une exacte parité de degré

M GéOMéTRIC PLANE.

eoire tous sea termes : ce qui coosiîtne la partie la plas usuelle de la loi d'homogénéité, eucequi concerneleséquaticmsalgébrîqaes proprement dites. Quant aux équations dites transcendantes, c'est-à-dire exponentielles, logarithmiques, etc., le même principe fondamental y fournirait d'équivalentes conditions analytiques, sous des formes variables avec la nature des fonctions, et qu'il serait superflu , surtout en ce traité, de spécifier d'avance. £n considérant maintenant le second cas général , il peut offrir deux modes très-distincts^ selon que les diverses unités hétérogènes sont indépendantes entre eUes on sub(»rdonnées Tune à l'autre. Si elles n'ont aucune liaison nécessaire, comme il ar« rive, en géométrie , pour les relations à la fois linéaires et angulaires , la loi d'homogénéité conserveraévidemment le même sens fondamental , mais. avec une plus grande variété de pres« criptioos que dans le premier cas, puisque tous les termes devront alors présenter le même degré , soit qu'on y compte uniquement les facteurs linéaires , ou seulement les facteurs angulaires, ou simultanément les deux sortes , en vertu du changement correspondant de chacune ou de plusieurs de ces unités indépendantes. Mais quand , au contraire , les unités doivent , quoique hétérogènes , conserver une subordinationdéterminée , la loi se trouve nécessairement modifiée , en ce que l'on n'y peut plus estimer le degré de chaque terme, suivant l'usage purement algébrique, d'après la. simple énumération uniforme des facteurs convenables : il faut alors apprécier ces divers facteurs , selon leurs sources respectives, en leur appliquant une certaine pondération analytique, dérivée de la liaison primitive des unités. Pour formuler cette pondération dans les équations géométriques, où peuvent coexister des longueurs» des aires, et des volumes, il suffit de reconnaitre que l'enchaînement des trois unités s'y trouve nécessairement tel que , la première devenant m fois plus petite , la seconde le devint m^

PREMIÈRE PARTIRv) CHAPITRtt PREMIER. kl

fois , et Taotre m^ fois. D'après cela , rhomogéiiéité doit alors exister en comptant chaque facteur snperficiel comme denx , et diaque facteur solide comme trois, facteurs linéaires. Quoique ce mode diffère essentiellement du précédent , sa nature également déterminée le rend tout aussi propre à fournir spontanément, en géométrie, d'utiles Yértfications algébriques.

Dans le cas le plus usuel , celui des relations entre li^es , il reste à comprendre comment rhomogénéité peut qudquefois cesser effectivement, ainsi que les formules trigonométriques euoflErent beaucoup d'exemples. Or, cette cessation ne provient jamais, comme en trigonométrie, que d'avoir choisi pour unité l'une même des lignes à considérer, qui, dès lors exprimée par le nombre 1 , ne compte plus parmi les facteurs qui participent à l'estimation du degré, d'après l'usage naturel de négliger toujours numériquement le facteur 1 , soit en multiplicateur, soit en diviseur. Le degré de chaque terme qui renferme cette ligne se trouvant ainsi altéré, tandis que cdui des termes où elle n'entre pas n'a point changé , on conçoit que t'hom<^[énéilé algébrique n'existera plus. Elle continuerait à subsister, si on tenait compte convenablement du facteur I ; mais alors on perdrait évidemment tout l'avantage analytique que comporte un tel choix de Inanité , toujours destiné à simplifier les formules, et il serait préférable d'adopter une unité nettement distincte des lignes en relation.

Suivant une telle appréciation, il est aisé de sentir, réciproqu^nent, que si, en partant d'une équation ainsi altérée, on désire la rétablir dans son état primitif , il suffit , d'après la loi d'homogénéité , d'user du droit numérique d'introduire à volonté le multiplicateur ou le diviseur 1, de manière à ramener tous les termes , en comptant ces facteurs 1 , à tel degré commun qu'on voudra : en y remplaçant ensuite , pour plus de clarté, ce signe I par une lettre indéterminée , l'équation sera

Qécessairemeiit reYenae à la foraie qu'elle aorait «ne d'abord % rolativement à use unité indépendante des Hgnes oonsidéréasi L'iuage ordinaire éqniTaot, sans donte^ à la règte précédente^ mais sorehargée d'an circnit iràs-snperfla et souvent pénible ^ tenant à la notion trop imparfaite qu'on se forme communément de la loi d'homogénéité. En général, je ne crains pas d'assurer que toute difficulté relative , soit à la conception de cette loi , soit à son applicati<m , sera spontanément dissipée ^ par tout lecteur intelligent, en remontant convenablement jusqu'au principe fondamental qui4ominerensemble de cette théorie, sans qu'il faille ici insister davantage sur de semblables explications.

14. Après avoir suffisamment établi la loi d'homc^énâté^ il faut terminer enfin cet indispensable préambule général , en indiquant sommairement les règles élémentaires de la eoniirue^ tion des formules algébriques , rendues préalablement homogènes, suivant le mode précédent.

La construction d'une formule consiste à remplacer les opéra^ tions numériques qu'elle prescrit i poar l'évaluation de l'inconnue correspondante , par un système équivalent d'opérations graphiques, qui, en assemblant convenablement les lignes proportionnelles aux nombres donnés, fasse sortir de cette figure une ligne proportionnelle au nombre cherché. Il importe, dès ce moment, d'éviter de confondre cette construction des formules avec la construction di;s équations, qui constitue une question beaucoup plus difficile et plus importante, laquelle serait actuellement prématurée, et se trouvera soigneusement traitée à la fin de notre étude. Dans la construction des équations, il s'agirait , en elTet, de substituer des équivalents graphiques, non- seulement aux évaluations numériques, mais aussi et surtout aux transformations algébriques, souvent impossibl( s, qu'exigerait la résolution analytique des équations correspondantes : tandis que nous regardons ici toutes les

PRBMIÈRB PABTIB, CHilMTBR PRKMIBE. 43

équations possiMe§ oomme résolaes, et ne laissant pins a aecoBi^îr qu'âne simple détermination arithmétique, que naos Yonlons remplacer par une détermination géométrique. Une teHe sabstitntioB , quand elle n'exige pas des figures trop com pUquées , doit être, sans doute , trés-ooDTenable , en géométrie «Mdytiqne, pour y faciliter et y perfectionner l'interprétation finale dés résultats algébriques. Mais , envers les formules un peu composées , elle exigerait un tel assemblage de lignes que la solution s'en trouverait plutôt obscurcie qu'éclaircie : aussi se dispenÉe-ton souvait d'exécuter ces constructions , mém^ quand elles seraient strictement possibles , et se borne-t-on à concevoir, en général , la ligne cherchée d'après Tévaluatlon numérique , accomplie ou même seulement projetée , de la formule correspondante. Néanmoins , il est indispensable de connaître les règles , d'ailleurs très-simples , de cette opération élémentaire, sauf à en diriger toujours l'usage d'après une judicieuse appréciation des convenances de chaque cas.

15. Si, dans ces figures artificielles, on pouvait admettre iQdiffin*emment toutes les lignes , il ne saurait exister aucune formule qui ne fût évidemment susceptible d'une construction quelconque, soit avec les lignes déjà usitées, soit à l'aide de ligues nouvelles, expressément imaginées à cette seule fin, comme les anciens l'ont souvent fait. Mais, suivant un antique usage, qui mérite d'être soigneusement respecté, on ne juge, d'ordinaire , pleinement satisfaisantes que les constructions où entrent seulement des lignes droites et des cercles; aucune autre courbe n'étant, en efiet, assez facile à décrire pour y devenir vraiment usuelle , excepté en quelques occasions spéciales ^ dont la plupart appartiennent même davantage à la construetion des équations qu'à celle des formules proprement dilesi suivant nos esplications ultérieures. Or, ainsi conçue, la constmctidn des formules est nécessairement restreinte , par

kk GÉOMlh*RIB PLANE.

cette obligation géomélriqae, à des cas peu variés , tous relatifs aux fonctions purement algébriques, qui oiéaiey quand elles sont irrationnelles, ne doivent pas contenir de radicaux antres que ceux du second degré ou leurs dérivés. Le point de vue général où nous place la géométrie analytique explique aussitôt une telle nécessité, dont les anciens avaient péniblemeat senti le poids naturel , sans pouvoir en comprendre la source rationnelle. Elle résulte , en effet, de ce que, par la nature des équations propres à la ligne droite et au cerde , commie on le verra ci-après , la combinaison de ces deux sortes de lignes ne peut jamais correspondre à d'autres fonctions que celles-là.

Conformément à une telle condition générale , examinons maintenant les modes élémentaires de construction propres aux divers cas algébriques de cette dernière espèce, et d'abord en ce qui concerne les formules rationnelles.

Quand elles sont entières, et, par conséquent, du i»-emier

degré, leurs termes étant de la forme 2a, 5a, - a, na^ ^ a, etc.,

peuvent être aisément construits, soit immédiatement, soit par répétition , soit d'après le théorème des lignes proportionnelles : ensuite leur addition et leur soustraction se transformeront facilement en juxtaposition et superposition des longueurs correspondantes.

S'il s'agit de formules fractionnaires , et que le numérateur comme le dénominateur en soient d'abord monômes, la construction élémentaire d'une quatrième proportionnelle suffira

/f/i spontanément pour le cas le plus simple, œ= — , où l'as-

semblage convenable des lignes c, a, fr, suivant la règle connue, déterminera aussitôt la ligne x {fig 5). Or ^ toute autre fraction de ce genre est réductible à celle-là, à Taide de quantités auxiliaires , susceptibles chacune d'une semblable con-

PEJBMIÉEB BAMXm 9 G1UF1TA£ PUMIER. 45

4 4. r» • ^^ ab ^^ ed

straction. Car si a? = —7-, on pourra poser ^r = — X 7- ;

W ^ fg

éès lors , une quatrième propcMrtionnelle permettanl de substi-

4ib

tuer au premier facteur — une ligne auxiliaire e\ la formule

(fcd deyieudra x = -z-, avec diminution d'une unité dans le

fg

nombre des facteurs, de part et d'autre. Dès lors, la répétition convenable de cette rédaction produira un nouvel abaissement de degré, et ainsi de suite, jusqu'à ce que le dénominatcor soit ramené au premier degré, comme dans le cas élémentaire , sans jamais exiger d'autres constructions que celles de quatrièmes proportionnelles, en nombre total égal au degré primitif du dénominateur.

Quand le numérateur et le dénominateur sont polynômes, il faut les rendre monômes à l'aide de certaines lignes auxiliaires, destinées à donner à toutes les parties du numérateur les mômes facteurs qu'à l'une d'entre elles, sauf un seul convenablement dioisi, et pareillement envers le dénominateur; d'après quoi, leur composition géométrique ne dépendra finalement que de juxtapositions ou superpositions. Soit, par exemple,

abcd+fghik — Imnpq {u= — zJJl —-O; on posera

rstu — noch

îghXk = abcdé, Imnpq = aftcdfc", niu = ahcd\ noch = oftcd",

chacune des lignes anxiliauures e', é'j d\ d\ étant évidemment déterminable par une suite de quatrièmes proportionnelles : dès

lors , écartant les facteurs conununs, on aura a:= — IFZIJ' — '

dont la constraction ne présente {dus aucune di£Bculté. Le nombre tptad des quatrième proportionnelles dépendra tout à la fois du nombre des ternies et du degré de cbaque polynôme, de

M QÉùmÈÊtOM VLàMB.

manière à devenir très-considérable dans les cas un peu compliqués.

Passant maintenant aux formides îrratioaneUes du seoood

degré, on doit regarder la formule a? = Vab comme seule susceptible de construction immédiate, d'après la figure élémentaire destinée à tracer une moyenne proportionnelle; on remplacera ainsti la multiplication et l'extraction indiquées par des équivalents graphiques , d'où résultera {fig. 6) la ligne x. Or, tous les autres cas de ce genre , quelque compliqués qu'ils puissent être , sont nécessairement réductibles à celui-ci , à l'aide des deux sortes de transformations qui viennent d'être expliquées , soit quant à rabaissement du degré dans les fractions , soit pour la composition des polynômes. Joutes les formules irl*ationne11es du second degré pourraient ainsi être construites finalement d'après des quatrièmes proportionnelles relatives à la fonction placée sous chaque radical , en les faisant suivre d'une moyenne proportionnelle relative au radical lui-même. L'emploi du théorème de Pythagore serait donc, à la rigueur , constamment évitable. Cependant son judicieux usage conduira quelquefois, pour la composition des polynômes, à des constructions plus simples.

Afin de condenser sur un seul exemple l'application des diverses règles ainsi relatives à la construction élémentaire des

formules algébriques , soit à construire a: = \/ zi.

On commencera par rétablir l'homogénéité, d'où

•^ — 1/ T- — > * désignant l'upité. (Construisant ensuite

les deux radicaux partiels \/W , \/ài par autant de moyennes proportionnelles h^ihy et remarquant qu'ici les termes du numérateur ont déjà naturellement deux facteurs coounuAs,

PABMiluaB p^ns, eBAnvftB djbuxiéme. VI

OD aura a: = y/ i X - — -, , Dès lors, après avoir formé a+ft

par JQxtapositioD et e— i par rapeppositîoD, pois tracé ose qna* trième ppoportionnelle m à e^k , i, et o+A , a? résultera finalement d'one moyenne (M'oportionnelle entre t et m.

J'engage les commençants à s'exercer spontanément sur d'antres exemples, sans toutefois y perdre trop de temps.