QUATRIÈME PARTIE, CHAPITRE BEUXIÈUE

An reste , il serait aisé de yérifier analytiquement une telle propriété , en cherchant d'abord la relation entre aeib propre à rendre une droite indéterminée j^ ^zax-^-b normale à la fsn- Tàbo\ey=mj!:^ d'après l'assimilation à Téquation primitive de

la normale jr — y= {x — a/) , en procédant comme au

n^ 43 pour les tangentes. L'éqnation générale des iu)rmales à

la parabole deviendrait ainsi finalement , envers l'origine G,

f=zax — - ma^ ; et dès lors on pourrait sans di£Bculté consta-

ter, par les voies ordinaires , que , quel que soit a , cette droite

tonche constamment la courbe auxiliaire y'=: -r — jc^.

D'après une telle propriété , chaque point de ce lieu pourrait être conçu comme l'intersection de deux normales infiniment voisines y conformément à ce que nous savions déjà pour le seul point initial (n"* 100). Il en résulterait donc aussi, envers un point quelconque de la parabole, la détermination du cercle le plus tangent possible , précédemment obtenu à l'égard du sommet seulement. C'est ainsi que l'analyse ordinaire peut ébaucher, en certains cas, une éminente recherche géométrique, d'ailleurs essentiellement réservée , par sa nature , à l'analyse transcendante, sans laquelle cette question ne saurait ordinairement acquérir la netteté et la précision qu'elle a pu id présenter exceptionnellement au sujet de la parabole. \

103. Il faut maintenant apprécier une troisième série de propriétés essentielles de la parabole , celles qui concernent ses diamètres : les principales d'entre elles ont déjà été signalées, dans la troisième partie de ce traité , d'après l'équation la plus générale ; en sorte qu'il suffira d'indiquer ici comment elles ressortent , d'une manière plus simple et plus nette, de l'équation spéciale j^'ssmx. En y appliquant notre seconde méthode

3Sft MOHStStB VLAim.

des dMttiètres i cm mémd 1& preibièf e , elle oonddlt trte^àiMâ ment à Téquatioti 2au = m, pour un diamètre <}tielcoilqtie ^ cdrrespotidant à des cordes dont le GoeflScient ângtlliiira est au On toit ainsi dii^ectement qae tons les diamètres de li pimboM sont des lignés droites , parallèles à son axe. Réciproquement ^ toute parallèle à Taxe est un diamètre , relatif à des cordes parallèles à la tangente menée de son uni^e intersection avec là

courbe ; car a^—- , indique le coeifBcient angulaire de la

tangente qui correspond à une ordonnée u. L'axe 6st donc le seul diamètre perpendiculaire à sëis cofdes , et tous les ftùtiissl sont de plus en pins obliques aux leurs à mesure qu'ils s'é^ loignent de lui.

Quand il s'agit de déterminer la parabole diaprés des Conditions relatives aux diamètres , il faut considérer que chaque diamètre donné, isolément de ses cordes, indique seulement la direction de Taxe -, en sorte que la multiplicité de tels diamètrei^ ne saurait constituer aucune restriction nouyelle. Mais il n'en est plus ainsi lorsqu'on donne en même temps ia direction deÉ cordes correspondantes : alors , chacun de ces diamètres fournit

une relation distincte tang«=^, entre sa distance A à l'axe

inconnu et l'obliquité a de ses cordes ; une secondé relation

semblable tanga':= —, déterminerait aiséinent m , ausri bien

que h et h', dont la différence est connue , et égale k la distance des deux diamètres donnés. Après avoir ainsi obtenu l'axè et le paramètre de la parabole , il ne resterait d*arbitraire que la position spéciale de son sommet , que de telles conditions né sauraient jamais fixer ; puisque toutes les paraboles égalée placées sur le même axe ont nécessairement tous leurs diamètres communs envers les mêmes systèmes de cordes : si , dans ce ca^r.

QUATHIËMB PAàTlË, QttAPIUlS DBITXIÈBIE. 88B

ol imuulit f éû outre ^ un point de la parabole , m une tangente , il serait aisé de odtripléter sa détermlnatibd.

Oà peat facilement prétoir la forme qne prendrait réqaalion éë la parabole , en choisissant pour axes un diamètre quel* tenqae et la tangente ^^dirëspondante. Car, cette condition dëta&t etcltîre tous lés termes contenant la première puissant de l'ordonnée, le cal^actère parabolique ^*^4<fcc=0 eiijjeMit d'ailleut^ que , TU Tabsence des jcy-^ les àf* manqHsûSëiit aussi } ehfiil, la t)oSi(idn de Torigine sur la conrbé éllpimseMit la dispariticin dû terme cdUstant. Parmi Içs six termes propres aiii êqUâtions da second degré , il n'en pourfait d6bc subsister que deux , et l'équâtidii conserverait né-' ^Mirement la mônië fôt-me y = m'jc' qu'à l'égard des axes 4 qui ne se distinguent , à cet égard , que par leur rettangulâfité; Il défait d'ailtëurs fëbilë de prolonger cette prévision jusqu'à déterminei* d'avance là vdleUt^ du (^araméit'e Variable m'd'aprèë h position dû diàrtiètt^e cdff e^pohdant ^ iiidr pendamment de tout calcul de transposition d'axts : car^ il suffirait ainsi de connaître les nouvelles codi'donhées d'an ëeUl point ; or, cela ne présente aucune difiScûlté ënVërs le sommet, à l'égard duquel la construction des tangentes donne aussitôt x'=:d^ et

y= \/i*4- id" , a Bit désignant les anciennes coordonnées de l'origine actuelle; d'où m!=m+^a. Toutes ce^ indications seront aisément véribées eU exécutant , suivant les formule^

ordinaire^, le passage des anciens axes aux faoûveaux, dont

hi l'un donne X.'=0, et l'autre tang Y'=s --. La loi relative à k

variation du paramètre m! revient évidemment à le concevoir toujours comme quadruple de la distance de l'origine corres^ pondante au foyer ou à la directrice ; en sorte que le para mètre principal m est le moindre de tous ^ en tant qu'il correspond à rorigfne là plus rat>pfochée du foyer t il ftdiait bteu

336 GÉOMéniB PLANB.

d'afllenrs qae Faugmaitation continae de ce coefficiait]eoDftpensât Tobliquité croissante des axes qui s'y rapportent.

Cette nouvelle équation de la parabole doit nécessairement conduire aux mêmes résultats que l'ancienne , pour toutes loi déterminations qui n'exigent pas la rectangularité des axes. Il faut surtout le remarquer envers la tangente , quant à l'extension qu'acquiert ainsi le théorème fondamental : la sous-tangente est double de l'abscisse. La possibilité de l'appliquer déformais à un [diamètre quelconque ^ facilitera la construction de la tanffente , d'abord quand le point de contact est donné , et ensuite dans les deux autres cas élémentaires. Mais la 1<h remarquable propre à Ik sous-normale ne comporte pas une pareille généralisation , parce qu'elle suppose des ordonnées perpendiculaires.

Afin de résumer conunodément l'ensemble des principale; propriétés de la parabole, il convient de les appliquer à une question , d'ailleurs utile , dont toute la dijfficulté réside dans leur judicieuse combinaison. Elle consiste à reconstruire tous les éléments géométriques d'une parabole d'après une portion tracée de sa circonférence. Quel que soit cet arc , on y pourra toujours mener deux cordes parallèles , dont les milieux détermineront d'abord un diamètre , et par suite la direction de l'axe , en sorte qu'il suffirait de trouver un point de celui-ci. Or, le foyer peut être aisément obtenu ; car, la parallèle à ces cordes menée à l'intersection de ce diamètre avec l'arc donné devant être tangente , la propriété caustique de la parabole indiqiiera aussitôt une droite allant au foyer cherché : une seconde tangente , et dès lors un second lieu semblable , sera facile à construire , soit de la même manière , soit par la sonstangente. Le foyer étant ainsi trouvé , on en déduira aisément, l'axe , le sommet , la directrice , et le paramètre.

104. Pour compléter l'étude de la parabole , il ne reste plos

QUÂTRiiUB PAETIS, GHAl^ITHB DBUXIÈHE. 337

qsLk y e(Hisidérer ce qai concerne sa quadrature , à laquelle nos méthodes conyiennent directement. D'après la règle gèneraie du n^* 71, le segment parabolique OMP ( fig. 72) sera les deux tiers du rectangle OMPQ, formé par les coordonnées extrêmes, et le segment OMQ en s^a le tiers*. Sous cette dernière forme, ce résultat pourrait être directement obtenu» sans recourir à la méthode analytique, à l'aide d'une comparaison spéciale que je dois signaler. Elle consistée remarquer que, les abscisses croissant ici comme les carrés des ordonnées , les éléments rectangulaires du segment OMP suivent la même loi qi^ les éléments prismatiques d'une pyramide d'égale baotenr^ pareillement décomposée en tranches équidistantes. II suffit d'étendre cette constante analqgie aux limites respectives des deux sommes élémentaires , ^ur en conclure que la quadrature du segment parabolique équivaut numériquement à la cnbature d'une pyramide de même hauteur et de base numériquement équivalente : dès lors , la règle connue sur la mesure de la pyramide conduit aussitôt à celle de ce segment , d'après le tiers du produit de sa base par sa hauteur, conformémait à la théorie analytique.

Arcbimède a découvert cet important résultat sous une forme qui mérite d'être conservée , en considérant Taire ONM, comprise entre l'arc parabdique OM et sa corde. Cette aire se dé-

dmt aisément du segment OMP= ^xy, en retrandbumt le triangle OMP ou - ^^. Or, au lieu de comparer le reste

- x:f au rectangle OMPQ, Arcbimède avait été naturellement

conduit à introduire le triangle NOM, de même base OM que le segment , et dont le sommet N était placé au point où la tangente est parallèle à celte base commune , c'est-à-dire à l'inter-

919 apoifiîTpiiB VLAv^

élection ie la parabole ^^ftç Ip dj^iy^trc cQrre$poi)<|aqi à )fi

cprdeOAf ; ce pdnt N étaU alors ^sse^ jii^témjsnt pipqipié l(e

sommet propre du «egmept p^raMiqœONM. Pq ^r^ni cetl^e

ompjirgijSQn, lie Lecteur r/sçoi|Dj|Ura sapa 4iffi<^}lA 40e ca a^*

ment est les- da triangle correspondant. L'utilité permanente

d'un tel énoncé consiste dans son extension spontai^ée à l'aire

HJL comprise entre un arc quelconque de parabcde ejL sa corda.

Quelle que soit Forigii^e Q de cet arc, il sufl^t , e^ effet, ^e cou-

peyojr la courbe rapportée au 4iamclre 'et k 1? iapgept^ (|ui f

pasj^apt : comme l'i^quation cpaserve alors la forme mmiiiu

y = m:r, le rapport déduit de celle-ci reste eiioore applicable,

puisque la méthode des quadratures p'exige d'ail)enrs 9H0/^

inent la rectangularité des^H^es. Ainsj^le segmept par^boIi^oiB

UIL est toujours les — du triangle H IL de même base jet de

même sommet.

Notre ithéori^ ,de$ qgadr^ture^ Tp^rnit aisément la ffiesure d£s pr|ifcîp^ii:i: i((^un^e$ profits pw la riérQ]NPP 4e la par^bote;» soit que le segment OMP tourne autour de 0% , pi| le s^imeat OMQ ajitojor de OY. Suirapt la loi de réduction z =y^ la première çubature dépend de la quadrature de la ligne z-=imx',

d'où il résulte , d'après la régla ordinaire, Y == -^. £n compa-

rant ee Tolume à ceini du cylindre produit par la réFolutk» du rectangle OMPQ , on énonce géométriquement ce résultat en disant que le paraboloïde est la n^oitié du cylindre de même base et de même hauteur. Quant au volume engendr/9 par le segment convexe OMQ autour delà tangente au sommef; U convient , aûn (Je ne pas altérer sans motif la notation babiluelle de ;iotre régie , où l'a^e de révolution était suppofi £0ïQC|4er avecpelui des a: , de renvi^ser la situaliop et Té^ua-

QUAT&IÈHB PARTIE I OIAPITlip TROIâlÉME. ^

im de la parabole. Dès lors , d'après réqqalion x^^my^ la lof 4a rMacti(m dooiie ici z = —v Pour la ooorbe auulianre, dont la quadrature doit déterminer le volante cherché, qu'on trouve

ainsi exprimé par Y = — j. Pareillem^t comparé au cylindre

circonscrit, il en est seulement le cinquième.

Bei ces deux cubatures, également accessibles à nos méthodes actaelles , la première avait seule été accomplie par Archimède^ et Ton peut assurer que la géométrie ancienne ne permettait pas de trouver la seconde : ce qui est très-propre à faire sentir la supériorité de la marche analytique , qui , même avec des ressources aussi bornées que celles ici employées à cet é^ard , coippoirte spoptanément upe yariété d'^ppUjBfitif^R g^ métrique vuécessairement interdite aux plus éminents efforts da génie antique.

La combinaison de ces deux résultati9 permettrait de déterminer aisément, d'après la règle de Guldin, le centre de gra-

fit^duiegiiiieiit 0119» dont leseoûr^oonées 9enmtaiqsi^.=? ^^,

ClIAPITRE m.

Théorie de l'ellipse.

fdS. Une |ûip ranepée à la fonpe /> hc' + y^' = * >i» et jj ét|9t positifn^ , Féquatipa de Tellipse indique très-dairemeot la figiiire gémërale de cette jcourbe , composée de qualité p9r4îf# identiques, s'étendant d'un axe à Tantre, en se rapprochant du second à mesure qu'elle s'éloipe du preipier. Entre oef

iM GÉOMéTRlB PLAKB.

deux limites , la distance au centre augmente on diminue sans cesse ; en sorte que les sommets de Tellipse sont les points les plus rapprocliés ou les plas éloignés du centre , comme le confirme d'ailleurs la marche des tangentes , d'après le coefficient

angulaire tang a = — ^ , nul ou infini aux extrémités de dut*

que quart. Par ce motif, les diamètres rectangulaires correspcmdants à ces sommets sont justement qualifiées^ de grand axe et petit axe. On facilitera habituellement Tinterprétation géométrique de l'équation , en les y introduisant comme coefficients, k la place des constantes purement abstraites p et q. En désignant leurs moitiés par a et b^ qui indiquent donc les plus

grandes valeurs des coordonnées respectives, on aura/i ss -7,

g =7? , et l'équation s'écrira

5+'t!=l ou ay+6V=a'6^ u 0

Ces deux dimensions caractéristiques , dont le rapport est le même dans toutes les ellipses semblables , sont nécessairement Inégales, à moins que Tellipse ne devienne circulaire : nous supposerons communément a^b.

Si l'on voulait déduire de cette équation la description de la

courbe par points, il suffirait de dégager j^ ^ - i^a'— j:" , pour

construire cette formule par les moyens ordinaires. Mais cette construction peut s'accomplir sous une forme également simple et lumineuse , qu'il importe d'apprécier, en comparant l'ordonnée de Tellipse, à abscisse égale, avec celle z du cercle circonscrit, dont legrand axe serait le diamètre. Car, on auraitains

y: z :: b : a) d'où il suit une l'ellipse dérive du cercle en y diminuant prq[K>r-

QUATRIÈUfi PARTIE» CUAMTRE TaOISIËUE. SU

tioDDellement toutes les ordooDccs relatives à un méuac diamè* Ire. Une telle rcdactioa s'opère spontanément quand on pro> jette le cercle sur un plan , que Ton peut toujours supposer , pour plus de facilité , mené du centre : puisque , en rapportant les deux courbes au commun diamètre , résulté de l'intersection de leurs plans , les ordonnées de la seconde seront les projections de celles de la première sous une même obliquité , dbnt le cosinus indiquera le rapport des deux axes de l'ellipse ainsi produite» Le même cercle diversement projette peut donc faire naître des ellipses de toute forme , mais non de toute grandeur, kar grand axe étant toujours égal à son diamètre.

Si l'on comparait l'ellipse au cercle inscrit , ayant pour dia-^ mètre le petit axe ^ on trouverait également , à ordonnée égale, un rapport constant entre les abscisses j: et / : en sorte que l'ellipse dérive du cercle en y augmentant proportionnellement tontes les ordonnées relatives à un même diamètre, aussi bien ^'en les diminuant.

D'après cette double comparaison , la construction de Fèllipse par points, quand ses deux axes sont donnés , s'opère facilement à raide des deux cercles correspondants. Il suflBt de prolonger diaque parallèle à l'un ou à l'autre des axes jusqu'au cercle drconscrit, et de projetter ensuite sur elle l'intersection du cercle inscrit avec le rayon mené de cette extrémité.

Une simple transposition de la proportion précédente,

y:\/a^ — jc* y. bia^ conduit à mie autre descripticm de l'ellipse, par un mouvement cMtinu fort simple. Car, en récrivant

elle indique directement que, de chaque point de FelIipse » on peut mener , entre les deux axes , une droite dont les deux parties seraient invariablement égales kb tia. Ainsi, récipro*- ' quement, quaad une droite invariable glisse entre deux axes

rectangalaircs , chacQti de ses points décrit un quart d'ellipse , dont les deml-ai^es soûl respectivement égaox aux parties oppo* sées de sa longueur : il serait aisé de yérifier spécialement ({ae te ihiliea décrit , en effet , un cercle.

Cette ancienne génération de l'ellipse doit être atijourd'hti^ etivisagée comme un cas particulier d'une dëscHption ré^ inarquàble, qu1l faut ici caractériser sottimalirethënt. ^eiidant ^ti'fane droite invariable glisse entre dent axë^ rectàngdlâires, tin point quelconque qtii s'y trouve inVatriablemënt lié décrit aussi bien ulié ellipse que les deux points ibêines de la droite. Gomme bû peut toujours supposer ce poliit ^ênèraieof détërniiilé par ses distatices àtit dëUx ëxtréhiitës de là droite mobile, U question i-éttent 6 trouver le Uëu d'uti soinmet d'an ti'ifinglë invariable dont les deux autres sommets décrivent detit ll^cs ddntiéès , qae noue supposons Ici coiisiétër eii deux droites i'ectaiigukîres , aflii de nous bot*neràu seul cas intéressant d'one recherche analytique , d'ailleurs facile à gédêrâliàe^. Èû fireiiàitl ^ut^ âxëi; ces dcùt droitëu, fl'â|)i-ësrétidëiitë symëirië dé l'enj^eboiblè dh liëti anidùi* de chaëtinë d'elles , et ilitrodilisàiii, fcoitliiië ëodtddHiiees naturelles , OU à titré de vài-iaBlés àùxi- Hàireâ , i'ordôiifaée é et l'absëissë a des ettréinités de la itàséa àû Mdtigle ddnné oh àut'â poiir ëquâtidn sptiiitanëë 6'-f à'=â', d'où il faudra élimiber a et g d'àprës les distancés béicAn pbiiit dëcritailt àitx dèhx extrémités de cette base , sûivani les cbfldîtidiiS étidèlltëà (ar— &)*+jr»e=c« j (^— e)»4.^îc=S<. Il éb résulte Bfttia difficulté l'éqhatlon fetllligtfe,

dont le second membre deviendrait monôme en introduisant l'angle au sommet ^ suivant la relation Origonométrique ordinaire* Cette équation prend ainsi la forme la plus commode

TX/V^^{/¥:Z^±t:bcbosA.

QUATBIÈME PAlItIfi, GflAPltlCfi: tROISIÈME. 31^3

La suppression des radicaux relèverait 6u quâtficme degré : mais, comme chacun d'eux n'affecte qu'une setllc variable , il silAf «it, potiir la di^Usi^idil , d'en étàHéï titi âétfl , par exempté lepi'csnicff ,Èe ^til dôiiiierâit l'éqtiàtioti

c^J = c'i*' cos * A + by'— 2hc cos Ay\/b*—x\

d'où ToB tire aisément la formule de l'ordonnée

il iitspof le ici dé féîiiâtquér ^accident analytique surV'énfl att scèond f âdical , (|ûl dévient évidemment rationnel , et égal à ex kïii À . Cette circonstance indique algébriqnethent que notre é^natiotl du qtiatrièiiie degré est réellement décomposable, cdilti'è la nature ordinaire des équations à detix variables , en dëtljt factëuf s dil second degré ; dW résulte géométriquement la duplicité dii liett Cherché , qui, loin de constituer une yéritable coùt-be dti qdâtriéme degré , ne se compose donc que de l'àSâembldge de délit ellipses. tJn tel cai*actère, ôû réside le

nijëùd pHncipal delà question actuelle , y était d^ailleurs facile à prévoit, ehpéhsànt à la double situation que peut évidemniëiit prendre le triangle donné autour de chaque position de sa bâSë : ëh §orteque cette indication nécessaire eût suffisamment annoncé lin couple d'ellipses ^ aussitôt que le calcul àvftit pa signaler une équation finale du quatrième degré. En poursuivant i'anàlyàè précédente , on trouve facilement

by* +c' J7*±2ôtr sin Ajcjr = 6V cos "A

pour la double équation elliptique. On en conclut , d'après les règles ètâfoltel dans le dernier chapitre de la troisième partie , qpe ces deux ellipses concentriques sont égales et symétriqueiQent placé» autour des axes coordonnés ^ conformément aux exigences gtométriques d'one telle géaéritioD i la formule

Bkk GéOMÉTRIB PLàNE.

taagâX'ssih — ; — T^, qui détermine les directions respcc-

tives de leurs axes principaux , confirme directement cette disposition mutuelle, en montrant que les deux couples de directions rectangulaires qui en résultent correspondent à des angles mutuellement complémentaires ou supplémentaires, selon lesens de la comparaison. Le lecteur y retrouvera d'ailleurs aisément les indications déjà connues relativement aux deux cas extrêmes, où le triangle devient rectangle ou bien se réduit à sa base.

Enfin , l'appréciation géométrique de l'équation fondamentale de l'ellipse conduit , sous un nouvel aspect, à une relation trèsremarquable, qui la caractérise essentiellement, entre les directions des deux cordes, dites supplémentaires y qui, partant d'un même point quelconque de la courbe , aboutissent à deux points diamétralement opposés. Leur rectangularité constante dans le cercle est remplacée, envers une ellipse arbitraire, par l'invariabilité du produit des tangentes de leurs inclinaisons sur l'un ou l'autre de ses axes. En nommant x\y les coordonnées du commun point de départ , et x", y celles de l'un des points d'arrivée, ces tangentes, estimées quant au grand axe^ et dès lors égales aux cœiBcients angulaires des deux cordes , seront exprimées , suivant la règle ordinaire , par les

fractions -^^et^P^ dont le produit est ^.^.,. Or,

en ayant maintenant égard à l'équation de la courbe, qui donne les deux relations ay"+6V==a^6% ay+6":c''*=û'^^son reconnaît aisément , d'après leur simple soustraction , que ce

produit tang 6 tang 6' est toujours égal à i* Il y aurait une

sorte de pléonasme, ou du moins un défaut réel d'élégance , à mentionner expressément , dans l'énoncé habituel de ce théorème, cette valeur du produit constant ; car, aussitôt qu'on le

sdirement, suivant la formale tang V = ^ , f ^.__^^/> dont

<2UATRIÈUK PARTIS, CHAPITRB TROISIÈME. 345

proclame invariable, sa valeur effective résulte nécessairemeDt d'an couple quelconque de cordes dont la direction soit facilemeDtapprécialde , et surtout de celles q ui joignent entre eux le» quâitre sommets. Quand Tellipse devient équiktère, on a tang € tang 6' = — 1 , conformémerit à la rectangularité connue des cordes supplémentaires du cercle.

Dam» une ellipse quelconque , leur inclinaison varie néces-

tangg — tang 6' H-tang6tang6'

le dénominateur est constant, sans que son numérateur puisse Tétre. Les facteurs tang 6 et tang 6' étant ici toujours opposés de signe, le numérateur, et par suite tang Y, varie proportionnellement à la somme de leurs valeurs numériques. Or, leur produit étant constant , le minimum de leur somme doit corres* pondre à leur égalité , en renversant un théorème élémentaire d'algèbre sur le maximum d'un produit de facteurs à somme constante. Gomme cette égalité convient évidemment aux cordes qui joignent une extrémité de l'un des axes aux deux extrémités de l'autre, le losange des quatre sommets indique donc le plus grand angle obtus ou le plus petit angle aigu que puissent former, dans l'ellipse , deux cordes supplémentaires quelconques, dont l'inclinaison peut ainsi varier d'autant plus que la courbe s'écarte davantage de la Ggure circulaire.

106. Appliquons maintenant à l'ellipse notre théorie des foyers , sous la forme subsidiaire convenable à l'équation actuelle, comme pour la parabole. En substituant^ en a: dans la formule d* =y +j;^— 2êr + 2xr + {f +a^) , elle prend la forme

ce qui exige préalablement 6 = 0, afin qu'elle soit d'abord rationnelle. Ainsi devenue

316 O^OmitTRTB PtAlIB.

elle ne «dtn caitêe qu'autant qae Fcrti fera a==ib V^ii^ — 6". 11 existe dotio , sur le grand axe de Fèllifise , êênx fojën êyrûêtriquctnetit placés ^ dont la couiniune distance an ceiitre , biiir nairement qualifiée A'excentricUé^ et eoniinfiiiéffieflt dérignée par Cp forme, arec lè demi-petit axe, ad triangle rectangle àjiÊtà poar hypothénuse le demi-grand axe ; ce qnl permet de ka marquer aisément. Si l'on eàt , an contraire,- snUtitné x en^, lé résultat aurait été, par une évidente analogie, a=0,

6= \/b^ — a'j qtll ne serait admissible qu'autant que b sur' passerait à ; eii sorte que les foyers dé l'ellipse ne peuvent jamais étf^ë situés qtie sûr son girâtid axe. tls né coïncident entré eui , et avec le cèntiré , qiie dans le Cas circulaire.

Ètl âctievàtit l'opéraiiôii jprêcédeiité, ledits distances ràtionnellôà à Un poiiit quelconque de la courbe sont exprimées par

les dëttx Ibi^rUuies

dont ia confrontation fait aussitôt ressortir la principale pi*opriëté spéciale de l^ellipsc , eii montt'ant Tinvariabilité de la somme dé ce^ deux distances variables. La valeur effective de cette §omme constante est d^ailleurs inutile à mentionner expré^séinGht , puisque les sommets dû grand axe , et même aussi ceux du petit , la déternilnent iînifiédiatement , dés que sa coîistaiicé est reconnue. Il serait, du reste, superAd de s'arrêter ici àiii moyens évidents que t'ournii spontanément un tel théôrcihe pour décrire commodément l'ellipse , séit par points, soit par lin mouvement continu , qui peut ainsi recevoir diverses formes géométriques.

Quant aux directrices correspondantes à ces deux foyers ,

l'aunulatibu de cette doUblë fot'itiule lëdr assigne , suiVatii tics

a* règles générales, la double équation a:=±— , qui indique

QUATRIÈHB PAUTIB/ ffiAFlTlK TROISIÈME. Wl

dntt fiéfpètidiciihiireri aa grand axe ^ an dâà des semmets , en

nne position facile à constraii'é. Le rapport sj[>édfiqdë est ici -,

et par conséffttent inférienr à 1 ^ eonformément à la théorie fondamentale.

On voit qne la principale différence entre l'ellipse et la pa- Hibôlë rëldiiTèthètit Stix tô^eti dtl âtlx directrice^ ctitiriitë iàM \iht dualité âctuëlie bppoÈ^ h \biiir dnllé l^riiiiitlVë ; ce ttihtrasie est naturellemetit en lid^dldnië hécëssciiré dVëc réiist^ncé on rilMrâfce d'tin ceùtré on d'un àècodd axe.

En étendant à l'ellipse lé problèiiib déjà résolu an n*" 99 envers la parabole , et consistant ici à déterminer une ellipse d'après un foyer et trois points , il y acquiert encore plus a iniportance astronomique , comme directement relatif à la yéritable figure moyeniié des orbites planétaires. Sa solution gra- |»iliqtië , consistant ionjbtiril ft c^tiètf tiirë û'Ahtftû la dlrectrièe cbrfesfidiiadiite , r'e$tilierâ de ce que les distaiices de e(<tte drdite liix ii'dis ploiiltÀ dotiiies iôtlt atorâ prOporitotitlèllëS k leurs distancés connues au foyer donné. .Or, chacune de ces deux proportions , isolément envisagéfe , détermine Tinlersection de la tfrectrioâ atéc M droite de jonctiDn des pdints respectifs : il est «ttê Hé reobnnaitfè , d'après uti théorème élémentaire ^ déjà èniplbye tttt n'' fii) ifaë teiVb rencontre se trddye sdr la bissectrice du supplément de Tangle des deux droites qui yont de ce$ pbifitl ati fdyei*; La dliwtricé ét^nt ainsi obteriue d'après deUx d^ m points ^ il sera facile d'achever la construction ^ en ttÉ^nt d'àUdrd l'ate ibekl , puis ses deux sommets et le centre^ i^ù tésdltet-btit flUSditèt l'autre foyer; l'antre directrice; et raiftirë ate. Qttant aux eas d'impossibilité , ils ne ponrraient ici ^ tenir qu'à la confusion du foyer avec l'un des poidts , ou à la dlSpoditlod de cetli-d e» llgiie drdit&i soit entre tods trois ^ soit èbtre éeu setitonent et te foyer du ménie oftté. Cette construe-

Si8 Gtk)lf1^TR1C PtANE.

lion les manifesterait par le passage de la directrice obtenue , tantôt au foyer, tantôt à l'un des points.

La solution analytique de ce problème s'instituera aisément, comme dans la parabole , d'après l'équation focale

.r'+ ^= (p^ + qy+ r)\

si l'on place l'origine aa foyer donné. En dirigeant d'ailleurs l'axe des x yers l'un des points , on aura , pour déterminer les trois inconnues /?, ;, r, les trois relations

qui pourront aussi être ramenées aa premier degré , sous les formes

où tt', tt", u'" désignent pareillement les distances du foyer aux points donnés. Si Ton choisit comme inconnue principale r, d'où résulterait encore , quoique moins directement qu'envers

r la parabole, la distance du foyer àla diretrice, les

divers cas d'impossibilité , étant tous de natare précise , ne pourront également se manifester que d'après des valeurs réelles inadmissibles, que Téxamen de chacun d'eux ferait aisément prévoir.

J'insiste peu d'ailleurs sur la discussion spéciale , soit graphique , soit algébrique, d'un tel problème, qui doit naturellement être repris et complété au sujet de Thyperbole. C'est ators seulement que sa nature deviendra pleinement appréciable, en le concevaat comme nécessairement commun aux trois courbes du second degré.

L'emploi de l'équation polaire relative au foyer y ddt pour-^ tant être mentionné id , comme envers la parabole , à cause de

QUATRIÈHfi PA&TiBt CHAPITU tROISIÈMB. 349

Sun importance astroaomiqae. B'après le n* 23 , cette équation sera

1— ecos(f4-a)'

m comptant les angles à partir d*un axe incliné de & sar l'axe focal de l'ellipse, et nommant e^ selon Tnsage astronomique ,

le rapport spécifique - : car, la distance d C) du foyer à la di-

rectrice est ici -^ , en tant qu'égale à la différence de leurs

distances respectives — et c au centre. Si Ton a égard aux trois

points donnés , dont l'un peut être supposé sur l'axe polaire , cette équation permettra aisément de déterminer d'abord a , pais e , et enfin a , qui caractérisent la direction , la forme, et h grandeur de l'ellipse cherchée , sauf les embarras de l'exécotion trigonométrique.

En remplaçant le foyer donné par la directrice , le problème précédent ne sera pas plus difficile à résoudre , soit analy tiquement , ce qui est évident , soit même graphiquement , que dans la parabole. Car, afin de trouver le foyer correspondant , chacune des deux combinaisons binaires des trois points donnés fournira encore spontanément , quoique d'une autre manière, nn lieu circulaire , d'après la proportionnalité des distances respectives du foyer cherché à ces divers points, comparée^ avec leurs distances connues à la directrice donnée : la construction

( *) Par analof^e avec la théorie de la parabole , le double de cette distance est quelquefois qualifié aussi de paramètre de Tellipse , comme constituant le

coefficient du terme du premier degré dans l'équation *î/«= ^ ; «•»

oii l'origine est placée au sommet Ce paramètre est, de part et d'autre, toujours

égià à la double ordonnée relatire au foyer. Ses deux caractères, analytique et

géométrique, eonviennent pareillement à l'hyperbole.

863 GiioinhnuE planb.

et doivent offrir d'égales variétés d'inclinaison. II en résalte aussitôt nn moyen très-facile pour tracer la tangente d'après le point de contact on d'après sa direction , du moins en faisant intervenir l'ellipse dans la conslrnction.

An sujet de ce rapprochement , il convient de remarquer qoe le théorème propre à la tangente ne constitue , au fond , qu'an simple cas particulier de celui des cordes supplémentaires, qu'il suffit , en effet, de pousser jusqu'à sa limite naturelle. Que les points d'arrivée des deux cordes demeurant fixes 9 on fasse indéfiniment rapprocher de l'un d'eux leur commun point de départi le produit des coefficients angulaires devant rester invariable j sa valeur ne saurait changer lorsque, par la coïncidence finale, l'une des cordes se confondra avec la tangente et l'autre avec le rayon. On voit ainsi comment le théorème des cordes supplémentaires, dont l'importance spéciale est communément trop peu sentie, conduirait sans peine à l'équation de la tangente à l'ellipse , indépendamment de toute méthode générale.

La relation de la tangente aux foyers , éminemment naturelle pour les anciens , ne ressort pas ici de l'équation aussi directement , à beaucoup près , qu'envers la parabole $ et si notre étude analytique de l'ellipse était historiquement originale, peut être ignorerait-on encore cette propriété, faute d'avoir été conduit spontanément à la combinaison algébrique corres* pondante, que les modernes n'emploient réellement qu'à la vérifier. Cette vérification est du reste aisément exécutable , sous les trois formes géométriques, essentiellement équivalentes, que comporte un tel théorème. Son acception la plus connue, et la plus directe chez les anciens , consiste en ce que la tangente à l'ellipse est également inclinée sur les deux droites qui joignent le point de contact aux deux foyers. Il est aisé de le constater d'aprèsles coefficients angulaires deces droites : car, on trouvera ainsi, réduction faite , pour l'une des inclinaisons, l'expression