QUATRIÈME PARTIE, CHAPITRE TROISIÈME

tang V = — 7 ï qui? changeant de signe et non de valeur envers

l'antre foyer par le changement de c en — c , indignerait trèsnatureUement nne telle relation , si on tel rapprochement était assez motivé. Gomme dans la parabole, ce théorème, physiquement interprété , explique aussitôt , quant à la lumière ou à la chaleur, ou même ici au son , la propriété de concentration par réflexion que rappelle spontanément le nom de foyer : les émanations de l'un des foyers seront ainsi réfléchies vers l'autre, soit sur l'ellipse , soit sur l'ellipsoïde allongé résultant de sa rotation autour de l'axe focal.

Sous sa seconde forme , cette propriété consiste en ce que le

lieu des propriétés des foyers d'une ellipse sur ses tangentes est

an cercle. Il est aisé de saisir la filiation géométrique des deux

relations , en considérant que , d'aprèsla notion précédente^ une

tangente quelconque MT (fig-l^)^ devant être la bissectrice de

l'angle NMF formé par l'un des rayons vecteurs avec le prolon**

gement de Tautre , sera perpendiculaire sur le milieu de FN ,

qui joint l'un des foyers au point N obtenu en prolongeant le

rayon vecteur MF' d'une longueur égalé à MF. Or, la propriété

mutuelle des deux foyers indique aussitôt que la projection K du

foyer F sur la tangente tombe à une distance constante du

centre , puisque cette distance OK est évidenunent la moitié de

FN, ainsi toujours égale à 2 a.

Gomme cette seconde forme constituerait , sans doute , du point de vue moderne, la source la plus naturelle du théorème dont il s'agit , je crois devoir en indiquer distinctement l'explication analytique. Il convient d'y préférer , pour la tangente,

Téquation y=mx'-\- X/a^m^-^V^ que fournit directement le principe des racines égales , et qui , indépendante du point de contact , est mieux adaptée que notre équation primitive à toute spéculation étrangère à la position spéciale de ce point. 14

GBOM^TaiE PLANB.

perpendîcalaire menée da foyer sera donc représentée par l'équation j^=: {x — c), qui permettra d'éliminer aisément /nf

de manière à former l'équation du lieu des projections du foyer sur les tangentes. On la trouvera ainsi du quatrième degré, mais bicarrée; en y dégageant ^% on y reconnaîtra, après les réductions convenables , le produit de deux équations du se^ cond degré j^' + '*^'"^^'==^» et>"' + (x — c)*=sOj cdUe-ci ne fournissant aucune ligne, l'autre indique seule la courbe cberr chée , qui est évidemment le cercle circonscrit à l'ellipse.

Enfin , la troisième forme géométrique de cette relation des tangentes aux foyers consiste en ce que les distances des deux foyers à une tangente quelconque sont inversement propot*tion* Belles , sans qu'il faille mentionner expressément la râleur effective de leur produit constant , spontanément évidente aux quatre sommets , snrtout à ceux du petit axe, où les deax facteurs sont égaux. Pour voir comment ce théorème, d'ailleurs facile à constater analytiqnement , dérive du précédent, il suffit de mener du centre une parallèle 01 et une perpendiculaire OH ou 9 sur la tangente ; alors , en nommant p et p' les distances FK et FK' des deux foyers à cette tangente , une proposition élémentaire bien connue , suite immédiate du théorème de Py thagore , donnera aussitôt , dans le triangle OF'K', envers le côté OF' ou c, la relation

pnisqoe le côté OK' est maintenant reconnu toujours égal à a : or» la distance auxiliaire^ étant la moyenne entre/? et/?', cette relation dévient finalement /?/?' = â(* — c*=b*, suivant l'énoncé ci-dessus.

De ces trois formes équivalentes.d'une même loi , la première §0t la mieux adaptée à la construction de la tangente, soit d'à-