QUATRIÈME FABTIG) CHAPITRE TROISIÈME

propriétés relatives à la théorie des quadratures. L'application directe de nos méthodes élémentaires à l'équation ay +^'a:'=

a'*" , OU ^ »= - Ka*— j?', ne pourrait nous foarnir qu'en série

rex|»*eMlon générale de Taire du segment elliptique. Mais, en snppcMnt connue la mesure du cercle, an moins en totalité , Oilte équation ramène aussitôt , d'après le principe de Wallis , la quadrature de Tellipse à celle du cercle circonscrit \ puisque les segments respectivement compris entre les mêmes limites auront alors , aussi bien que les ordonnées correspondantes, un rapport constant , égal a celui des axes de Téllipse. Ce rapport est d'ailleurs spécialement conforme ici à la considération de l'ellipse comme projection du cercle , eu égard à la règle ordinaire pour projeter une aire plane : au reste , ces deux maniéres d'établir une telle comparaison sont essentiellement équivalentes. Ainsi , l'aire du cercle circonscrit étant exprimée par ir a' , celle de Teltipse entière se mesurera par tt a^ ; en sorte qoe l'ellipse est moyenne proportionnelle entre les deux cei-cles inscrit et circonscrit , ou équivaut à un cercle dont le diamètre serait moyen proportionnel entre ses deux axes. Il est aisé d'en conclure la détermination d'une ellipse semblable à une ellipse donnée et équivalente à un cercle donné.

Notre théorie des quadratures fournit aisément la mesure des deux ellipsoïdes, l'un allongé, l'autre aplati , produits par la révolution d'une ellipse autour de ses axes. Autour du grand

axe , suivant la loi z=.y , la courbe auxiliaire sera 1^ para*

b^ b^ / x^\ bole z= -î (a»— j:'), dont l'aire S= — ( a'j: ), donne

et Cl \ o /

W / , x^\ aussitôt la formuléV=Tr~ / a'j? — j , pour le volume du

segment d'ellipsoïde , compris entre deux plans perpendiculaires à l'axe, menés , l'un du centre , l'autre i la distauoe j?. En y faisant ^=a , on trouve finalement que l'ellipsoïde entier

368 GÉOMÉTEIB PLANE.

est mesuré par -7r6'a. Un calcul semblable conduirait à an

résultat analogue •- n c^h envers l'autre ellipsoïde. On voit

que Tellipsoïde allongé est moindre que l'ellipsoïde aplati, soi - Tant le rapport du petit axe au grand. Ces deux volumes ne coïncideraient que pour une ellipse équilatére, en reproduisant spontanément la cubature connue de la sphère.