QUATRIÈME PARTIE , CHAPITRE QUATRIËHE

qui m difière de celle de l'ellipse que par le simple changement de b^ en — ô'* : toutefois, on va reconnaître que, quoique moios directe que celle de a , la signification graphique de b e^i cependant tout aussi nette et précise. ~

En discutant cette équation , on reproduit aisément le contraste que nous a déjà présenté si souvent une telle opposition de signe, substituant un lieu illimité et interrompu à une courbe fermée et continue. Le sens de la courbure y est indiqué, outre le degré , par la marche générale du coefficient angulaire de la

tangente tanga=-^--y qiii, d'abord infini au son^inet, dim&aqp

ensuite constamment , comme le montre la substitution de y en x, suivie de la commune division par jc. Sa limite de dimi-

b nation ± - annonce la direction des deux asymptotes, que rpjn

sait d'avance assujetties à passer au centre : la méthode subsidiaire le confirme d^ailleurs clairement , d'après l'équatiou

Y=zh^ \^^^ — ^^- Cette détermination représente ces droites

comme coïncidant spontanément avec les diagonales eu rectangle construit sur les deux axes de l'hyperbole , de manfère à occuper ici la place qui , dans l'ellipse , est affectée atlx £aniètrès conjugués égaux. Réciproquement envisagée, une tdle construction fournit spontanément la meilleure interprétation géométrique de l'axe non trans verse âi^, dés lors égala la partie de la tangente au sommet comprise entre les deux asymptotes.

Au reste, en mettant l'équation de Ihyperbole sous la forme

-a x" — y^z=b'^^ on pourrait généraliser cette appréciation , en

regardant b comme une moyenne proportionnelle entre les

deux distances — x^y et - x — y d'un point quelconque de la

courbe aux deux asymptotes , estimées parallèlement à cet axe

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non fransverse : une pareille détermioation oonviendrait aussi envers l'axe transyerse, mais sans offrir communénâent autant d'utilité.

L'angle yariable des asymptotes , ainsi dépendant du rapport des axes, spécifie la forme de chaque hyperbole. Quand il est droit, l'hyperbole se nomme équilcUère , puisque aeib sont alors égaux. Cette espèce remarquable remplirait, envers les

autres hyperboles , le même office que le cercle à l'égard des el-

lipses quelconques, si elle pouvait nous être aussi connue: tiiais sa forme , guère plus fadle à concevoir que celle d'une hyperbole nonéquilatère, doit aujourd'hui faire attacher peu d'intérêt à son étude spéciale , en sorte qu'il serait superfla d'insister ici sur l'équivalent de la comparaison qui nous a permis ïe déduire graphiquement l'ellipse du cercle. Suivant que l'âxe fransverse sera plus grand ou plus petit que l'axe non transverse, 1! hyperbole se trouvera comprise dans l'angle aign on dans l'angle obtus des asymptotes , et dès lots moiqs ou pins ouverte que l'hyperbole équilatère.

CoBftme il importe de se familiariser beauconpavec la notion des asymptotes, dont l'image doit devenir inséparable de celle de rby perbole, il convient de les concevoir aussi sous un autre aspect géo^iétrique» en tant que lignes naturelles de démarcation entre les droites qui, tirées du centre, rencontrent la courbe et celles qui ne la coupent pas. Si on cherche l'intersection d'un rayon qu<elconque y = ma: avec l'hyperbole , les coor-

, ab mab

données communes, j:= — ^ et y= — ■ -i'P'

dîqueront que la rencontre aura lieu quand il sera au-dessous de l'asymptote , et cessera lorsqu'il passera au-dessus , après s'être éloignée à Tinfini pour l'asymptote elle-même.

Les deux autres courbes du second degré ayant été , dans les deux chapitres précédents , spétialement rattachéek au cercle ,

QtîATRIÉltfB PAATIË, GflA^ITRB QtîATaiÊtfË. S7l

il n'est pas inatile de remarquer aussi que Thyperbole en dérive fndirectement , par l'intermédiaire de la parabole. Cette dérivation peut d'abord s'établir d'après le même mode suivant lequel la parabole a déjà été tirée du cercle. Il est aisé ée constater , en efiet , qu'une parabole se transformera eii hyperbole y si on 7 prolonge les ordonnées de manière à les r0B<k*e égales aux cordes correspondantes menées du sommets Mai» on ne peat ainsi produire qu'une* hyperbole équibitère, dùnt Taxe serait égal au paramètre de la parabole : 11 fkndrail y redoubler de plus en plus la même construction pour en déduire d'autres, hyperboles , dé moins en moins équilatères à mesure que ces modifications graphiques se multiplieraient davantage. A ce mode géométrique trop restreint ou trop indirect, il convient de joînldre une autre génération qiii , de la inéille parabole , faft aisément découler toutes les espèces d'hyperboles. !^le consiste fc regarder Thyperbole comme le lieu du sommet d'un angle invariable dont les deux côtés touchent continuellement une parabole fixe. On obtient ainsi , enveirs les àxes ordinaires de la parabole y^^=mx^ l'hyperbole

^»tang^ V..r'— Im (2+tang^ V):c=:5 tang* V,

sa lo

qui convient également à l'angle V et à son supplément , en sorte que cette génération permet d'obtenir la totalité de la courbe! Il est d'ailleurs facile d'en construire les sommets ; soit d'après son équation , soit en cherchant les points de l'axe où la tangente à la parabole forme avec lui un angle moitié de Vou èe sôtt supplément. L'inclinaison de ses asymptotes sur cet axe commun des deux courbes est évidemment égale à l'angle donné. On voit par là , conformément à la théorie générale de la similitude, que les hyperboles de même espèce correspondront au mouvement du méme'angle autour de diverses paraboles ; chaque parabole , au contraire , donnera naissance à

tontes les figares hyperboliques en y faisant mouvoir différents angles , quoique les axes de ces hyperboles doivent d'ailleurs, à raison d'une telle communauté d'origine , conserver entre eox quelque relation constante, inutile à déterminer ici.

Au reste, il faut peu s'étonner que les trois courbes du second degré puissent ainsi, directement ou indirectement , dériver du cercle , puisqu'elles en sont historiquement issues ,. sous leur nom antique de sections coniques , par une construction en relief il est vrai, mais pourtant fort simple, comme nous le reconnaîtrons au chapitre suivant : il fallait bien que cette source primitive trouvât quelque équivalent plan.

112. Quoique Tétude de l'hyperbole, si elle était immédiate, dût naturellement offrir un peu plus de diflSculté que celle de l'ellipse , elle se simplifie beaucoup quand on ne l'aborde qa'après celle-ci , puisque l'analogie des équations dispense alcHrs de reproduire les divers calculs relatifs aux recherches vraiment communes, ense bornant à en modifier les résultats par le simple changement de b^ en — 6^, pour n'insister spécialement que sur les modifications géométriques correspondantes. Appliquons d'aborà cette marche didactique au théorème des cordes supplémentaires, dont nous avons reconnu , envers l'ellipse , la haute importance , et qui doit ici persister essentiellement , à titre de conséquence directe de la commune équation.

La modification qu'il y éprouve consiste en ce que le produit constant des deux coefficients angulaires devient alors positif : comme le losange des sommets disparaît , on doit maintenant

mentionner expressément la valeur propre -, de ce produit,

a qu'aucun couple particulier ne pourrait plus indiquer assez aisément , si ce n'est à la limite. Ce changement de signe annonce que les deux angles correspondants sont ici simultanément aigus ou ohtus , tandis que ; dans l'ellipse j ils étaient toujours