QUATRIÈME PARTIE , CHAPITRE QUATRIÈME

d'espèce difierente : on voit sans peine qa*une telle distinction est en harmonie spontanée avec la diversité fondamentale des deux figures. Il en résulte que maintenant F un des deux facteurs

est supérieur et Fautre inférieur à - -, d'où il suit , géométriquement, que, de deux cordes sup[démentaires quelconques, Tune est plus oblique à Taxe transverse et Fautre moins oblique que les asymptotes. Cette différence est la suite nécessaire- de la distinction spontanément établie entre les cordes intérieures , jdgnant deux points delà môme branche d'hyperbole , ou comprises dans la concavité , et les cordes extérieures , allant d'une branche à Fautre , ou tracées dans la convexité. On voit dès lorsque Finclinaison mutuelle des cordes supplémentaires n'est plus assujettie , pour l'hyperbo}e, à aucune limite : en partant de deux cordes rectangulaires , qui sont parallèles aux axes, on pourra, sur la même base , poser des couples ofirant tous les d^és d'obliquité, jusqu'au parallélisme rigoureux, relatif aux cordes parallèles à l'asymptote : il est facile de vérifier, en effet, que le cercle d'après lequel on obtiendrait ici, comme envers l'ellipse , deux cordes supplémentaires formant un angle donné , ne pourrait jamais cesser de rencontrer la courbe.

Si Fbyperbole devient équiiatère , ce théorème subit une modification, beaucoup moins remarquable qu'à l'égard de Fellipse, mais pourtant digne de mention : elle consiste en ce que les inclinaisons de deux cordes supplémentaires quelconques sur Faxe de la courbe sont alors toujours complémentaires.

Poqr mieux caractériser, envers l'hyperbole et Fellipse, la vraie nature , trop peu sentie aujourd'hui , d'un tel théorème , il faut maintenant le convertir en définition directe de ces courbes, ainsi décrites par un point dont les lignes de jonction à deux points fixes forment , avec une droite fixe , deux angles ayant toujours des tangentes inversement proportîooneUes* En

974 aioMÉTBiB pun;

Bonmiant f et 4i oe4 deux angles variables , l'équation naturel^ du liea serait donc taogf taiig>!' = k^ Qael que soit le sigoe de ee produit ooDstaut. la discussion préalable indique d'a^rd une courbe ayant toujours pour centre le milieu entre les deox points fixes , et même nécessairement symétrique autour de la iparalléle et de la perpendiculaire qui y sont menées à la droite fixe. La distinction des deux cas s'y présente ensuite spontanément, selon que k est négatif ou positif. Car, dans la première hypothèse, la courbe , qui coupera toujours l'un de ses axes, pourra également couper l'autre { les deni; angles f et i étant alors d'espèce difiërente , les deux droites mobile» ne pourront jamais devenir parallèles , et le lieu Sf^r^ fermé aussi bien que continu. Si, an contraire, k est positif, ces angle» seront toujours de même. espèce, et susceptibles d'égalité j en aorte que le lieu , nécessairement illimité , sera , en outre, discontinu, comme ne pouvant plus rencontrer à la fois se^ deux axes. Quant au passage à l'équation rectiligoe, i^ ne p^ut offrir aucune diflb^nlté , surtout envers de tels ai^s. En.appe;' iBuip et q les coordonnées correspondantes de l'un des points

fixes , on aura tang ç =^- — ? , tang^» = ^\^ ; ce qui con-

duit à l'équation y — kjc^ = q* — Àp% où Ton reconnaît aussitôt l'ellipse ou l'hyperbole , et qui d'ailleurs indique le passage du lieu aux deux points donnés , déjà géométriquement expliqué au sujet de l'ellipse.

113. L'application de la théorie des foyers à l'équation simplifiée

de l'eDipse nous a fourni les deux systèmes 6 = 0, a = V^/ï'— *»,

et. a s 0 y 6 =|/i»--û«^ dont chacun est tour à tour seul acceptable , selon la grandeur relative des deux dimensions a et b* Pour l'hyperbole , le changement de b^ en — b"" indique , au contraire , que, le second ne. pçut jamais convenir, et que le premiw subsiste toujours, quel que soit l'ordre de grandeur

QVATRIÈMB PARTIB 9 CHAPITKB QUATAlilIB. 375

d^ axes., Les deux fqyers sont d^nc ici oonstampient placé^ sur Taxe transverse , et non sur le grand axe. En général, tout ce fjui, pour Tellipse, s'appliquait au grand axe, convient, pour Thyperbole, à Taxe transverse, et de même envers le second axe respectif. Quand on a besoin d'une dénomination commune «fin de désigner la droi^te qui , dans rtiypa^bole, joint les deux sommets, et, dans Tellipse , constitue le plus long diamètre, le nom d'axe focal se présente donc naturellement, comme seul paiement propre aux deux cas.

Suivant la modification précédente, rexcentricité c vaut

ici \/ât*+6% et représente la dislance du centre de Thyperboie au point où Fasymptote coupe la tangente au. sommet : ks foyers se trouvent donc situés au delà des sommets , tandis que ceui^ l'ellipse les précédaient. Mais cette, diversité ne fa^ que maintenir une conformité plus essentielle , conaistaixt en ce que, de part et d'autre», les foyers tombent toujours dans )a concavité de la. courbe, suivant les conditions nécessaires de.l9 lK>tioa primitive. Une telle difiërence ne constitue donc qu'une nouvelle conséquence , facile à prévoir , du contraste fondaneotaji des deui^ figures.

En formulant les distances rationnelles,

ex ex '

du foyer à un point quelconque de la courbe, il faut ici ren« verser , envers la première , l'ordre de soustraction convenable à l'ellipse , puisque c et x sont alors supérieurs à a. Il en ré* suite que la différence de ces distances variables devient maintenant constante au lieu de leur somme , conformément à notre distinction primordiale des deux courbes. La position des directrices est également déplacée , puisque leur commun écar-

tement du centre -- est ici moindre que a j en sorte qu'elles

376 GÉOMÉTEIE PLANE.

tombent entre les sommets, e1 non au delà. Mais, comme envers les foyers, cette modification maintient une conformité nécessaire, afin que, des deux parts, les directrices résident dans la convexité de la coarbe , qu'elles ne doivent jamais cou-

per. Enfin , le rapport spécifique - surpasse désormais l'unité,

conformément au contraste déjà apprécié au n"" 23.

Si nous reprenons , envers Thy perbule , le problème , d'abord traité pour l'ellipse, qui consiste à déterminer la courbe d'après un foyer et trois points , nous en pourrons maintenant compléter la solution, soit graphique , soit analytique , toujours assujettie à la même marche. Quant à la première , la construction déjà expliquée supposait tacitement que la directrice cherchée devait constamment laisser les trois points donnés d^un même côté, comme l'exige nécessairement l'ellipse, et aussi la parabole. Mais, pour l'hyperbole, il en peut être autrement, et dès lors ce tracé ne donne pas toutes les solutions admissibles : il faut ici, envers chacun des points de la directrice ainsi détermioés, accepter en outre la position comprise entre les deux points donnés correspondants , et que marque , sur la droite de jonction, la bissectrice dé l'angle dont nous avions considéré seulement le supplément. Il en résulte finalement quatre solntidns : les trois nouvelles ne peuvent jamais convenir qu'à des hyperboles ^ la première seule sera hyperbolique, elliptique, pu même parabolique, selon que la directrice obtenue se trouva*a plus rapprochée, plus éloignée, ou aussi écartée des points donnés que l'est le foyer.

L'appréciation analytique ne semble pas d'abord susceptible de reproduire cette inévitable pluralité, surtout quand on ramène au premier degré les trois équations de condition, comme nous avons dû le faire au n° 106. Mais, avec plus d'attention, pn reconnaît aisément l'exiicte correspondance nécessaire des