QUATRIÈME PARTIE, CHAPITRE QUATRIÈME

deax modes de solution, en considérant que, dans cette utile rédaction , chacun des membres connus li , u" , li'^ pouvait également être pris avec le signe — , et que le choix spontané du sigfDe + n'était nullement motivé. Si donc ,.sans altérer les formalesobtenues, on a convenablement égard aune telle ambiguïté, Usera facile de leur procurer toute l'extension convenable à la pleine appréciation du problème proposé. On pourrait même craindre d'obtenir ainsi huit solutions au lieu de quatre, s'il n'était évident que, celte ambiguïté devant être essenliellement relative, elle se trouvera suffisamment représentée par le signe alternatif de deux des trois distances données u', »'', ii^\ en attribuant arbitrairement à l'autre un signe Gxe.

Cette considération est la seule qu'il importât ici d'indiquer expressément y au sujet des divers problèmes relatifs aux foyers , et qui d'ailleurs se résoudront , pour l'hyperbole , de la même manière qu'envers l'ellipse , sans exiger maintenant aucune nouvelle explication , analytique ou géométrique.

lU. Relativement aux tangentes , les propriétés de l'hyperbole sont essentiellement les mêmes que celles de l'ellipse , le changement fondamental de 6' en — h^ ne pouvant exercer, à cet égard , qu'une influence très-secondaire. L'équation ordi-

naire de la tangente est ici y^y'^ -r-, {x — x') -. il en résulte,

comme dans l'ellipse, j:= --^ , pour son intersection avec l'axe

focal; seulement od étant maintenant supérieur à a, et pouvant croître indéGniment , ce point tombe toujours entre le. sommet adjacent et le centre , en se rapprochant continuellement dé celui-ci , avec lequel il se confond quand le contact a lieu à l'infini , conformément aux indications fournies par l'asymptote. Entre la direction de chaque tan^nte et celle du rayon cor-

378 QÉowtnxE PLAim.

respondant, il existe nne relation analogae à celle de Tellipse ,

taog a taDg a'=s -5 • maisles deux facteurs de ce produit constant

ont alors le même signe , et deviennent susceptibles d'exacte coïncidence , quand les deux droites se confondent avec Tasymptote ; en tout autre cas , le coefficient angulaire de la tangente est supérieur et celui du rayon est inférieur au coefficient angulaire de Fasymptote. La comparaison aux cordes supplémentaires subsiste essentiellement , et comporte la môme prévision directe , ainsi que des conséquences équivalentes , sous de pareilles modifleations respectives. A la distinction de ces cordes en intérieures et extérieures , correspond Texistence actuelle délimites , inférieure ou supérieure, jpour les inclinaisons de la tangente ou du rayon sur Taxe focal : la tangente ne peut être parallèle qu'aux cordes intérieures et le rayon aux autre». Enfin , la possibilité d'une obliquité quelconque , reconnue ici envers le premier couple , peut être également constatée 6t expliquée à l'égard du second.

Quant à I4 propriété de la tangente à l'ellipse par rapport aux foyers , elle n'éprouve , sous sa forme la plus usuelle > d'antre modification réelle , dans l'hyperbole , que celle qui j résulte nécessairement de la nouvelie figure générale , exigeant ici que la tangente tombe toujours entre les deux foyers , au lieu de les laisser du même côté; en sorte qu'elle devient alors la bissectrice de l'angle même des deux rayons vecteurs, et la normale celle de son supplément -, les positions de ces droites étant aiusi échangées, comparativement au cas primitif. Il serait superflu de s'arrêter expressément aux conséquences graphiques de cette propriété , pour tracer la tangente , quand on donne successivement son point de contact , sa direction , ou un point extérieur : ces trois constructions sont spontanément analogues à celles du chapitre précédent. Au sujet du

QUATftlàlIB PABTIE9 CHAPITAB QUAT&lÈlfB. 979

^eqûeir cas , il peut seulement devenir ntile de dédnire , soit d'jine telle figure , soit de la solution analytique , la distinction ^, deux modes d'incidence des deux tangentes menées du goipt donné , qui tomberont sur la même branche d'hyperliple oasur les branches opposées, selon que ce point sera com* fir^ dans ceux des angles des asymptotes qui contiennent la courbe ou dans leurs suppléments. Enfin , la situation actuelle de la tangente entre les deux foyers modifierait notablement les suites physiques de cette propriété , relativement à la réflexion , par l'hyperbole ou par Thyperboloïde correspondant , des émanatioi^ issues de l'un des foyers ; la convergence vers l'autre foyer n'affecterait plus alors les droites elles*-mémes , mais leurs simples prolongements : cette diversité , qui n'aurait aucune influence quant à la lumière , ferait disparaître la concentration caustique , qui exige un concours réel , et non purement géométrique.

^ Sous la seconde fo^me essentielle , la plus spontanément analytique, ce théorème ne peut subir ici aucune modification , puisque l'équation ^'+«x''=a' du lieu des projections des foyers sur les tangentes dans l'ellipse ne contient pas b*. Ce lieu est donc toujours un cercle , ayant encore pour diamètre l'axe focal : seulement , au lieu d'être circonscrit à la courbe , il loi jBst maintenant inscrit : le calcul et la figure s'accordent à cet ég[ard. En considérant les asymptotes comme des tangentes , on y peut aisément constater la confirmation sjpéciale de leur commune participation à cette loi.

La troisième forme géométrique de cette propriété n'éprouve réellement aucune modification dans l'hyperbole *. la valeur effective du produit constant des distances des deux foyers à une tangente quelconque y est pareillement indiquée par les sommets ^ et en outre par l'asymptote , seule tangente qui soit alors èqoidistante des deux foyers.

C'est ici le lieu de mentionner nn problème intéressant , que j'ai omis envers Tellipse, afin d'éviter toute répétition superflue, mais qui, par sa nature, convient également aux deux courbes , et même , en certains cas, à la parabole. Il consiste à déterminer une courbe du second degré d après son foyer et trois tangentes. Sa solution analytique ne présente aucune difficulté , et n'exige aucune explication nouvelle. Quant à la solution graphique, elle dépend de la considération des projections du foyer donné sur les tangentes. Lorsque ces trois projections seront exceptionnellement en ligne droite , la courbe sera une parabole, dont la détermination ultérieure a déjà été expliquée en son lieu. En tout autre cas , on tracera le cercle correspondant, et , selon que le foyer donné s'y trouvera intérieur ou extérieur, on aura une ellipse ou une hyperbole : son axe focal étant ainsi obtenu, de grandeur et de position, il sera aisé

d'achever la construction, conformément à la nature de la

courbe. Si Tensemble des données était disposé de manière à faire passer ce cercle auxiliaire par le foyer connu , cette indication se rapporterait évidemment à un nouveau cas d'impossibilité , autre que ceux relatifs au parallélisme des trois tangentes, ou à leur concours en un même point , ou à la situation du foyer sur l'une d'elles.

Au sujet des lieux plus ou moins remarquables qui résultent de la considération des tangentes à Tellipse , il faut seulement noter, envers Thyperbole , la modification de celui qui se rapporte aux intersections des tangentes rectangulaires. Son équation devient ici j7'4-j^'=a' — 6% en sorte que sa nature géométrique reste la môme , le rayon du cercle étant seulement changé. Mais ce changement se trouve tel que , si Thyperbole est plus . qù'équilatère , ce lieu n'existe plus, après s'être réduit au centre pour l'hyperbole équilatère elle-même. On peut aiséinent expliquer ces résultats , en considérant que , lorsque Vby-

QUATEIÈUE PARTIE, CHAPITRE QtATRIÈllE. 381

perbole est contenue dans l'angle obtns des asymptotes , aucun point du plan ne saurait fournir de tangentes rectangulaires : puisque les deux tangentes qui en émanent forment toujours on angle supérieur à celui-là ou inférieur à son supplément selon la situation de ce point , d'après la remarque déjà signalée sor les incidences respectives des deux tangentes correspondantes : rhyperbole équilatère ne comporte d'autres tangentes rectangulaires que celles tirées du centre, c'est-à-dire les asymptotes.

115. La nature des diamètres , et leur réciprocité ou conjugaison , n'éprouvent aucun changement essentiel en passant de Tellipse à l'hyperbole , soit qu'on les découvre analyliquement, soit qu'on les déduise spécialement du théorème des cordes supplémentaires. Seulement, la relation fondamentale entre les directions de deux diamètres conjugués quelconques subit ici la modification que nous avons déjà appréciée envers les cordes supplémentaires , et ensuite à l'égard d'une tangente comparée à son rayon. Par rapport aux diamètres, elle indique que les deux droites de chaque couple , alors contenues dans la môme région du plan , sont toujours situées, l'une au-dessous, l'autre an-dessus, des asymptotes : en sorte que l'une d'elles rencontre la courbe et l'autre ne peut la couper, conformément aux exigences géométriques de sa figure générale. Les deux coeffi^ cients angulaires tendant ainsi vers Tégalité ^ les deux diamètres comportent une obliquité quelconque , et se rapprochent continuellement l'un de l'autre en s'écartant des axes correspondants , de manière à admettre l'asymptote comme leur limite commune. Il est d'ailleurs évident que la distinction des diamètres en transverses et non-lransverses correspond spontanément à celle de leurs cordes en intérieures et extérieures. D'après les motifs déjà expliqués pour l'ellipse, en rapportant )']i)y perbole à deux diamètres conjugués quelconques , ^on

éqaation prendra finalement la même forme qa'envers ses axefî, a!y^—b"'jd^=—a!''b'\ les constantes a" etfc'' étant pareilment exprimées par les formules

b^ cos 'X'— a' sin 'X" a' ûn'Y'—b' cos 'ï'

qui résultent, soit du calcul de transposition, soit de l'équation polaire relative au centre. Le coefficient b\ propre au diamèti'e non transverse, n'a d'abord, comme b lui-même, qu'une définition purement abstraite : mais elle devient tout aussi aisément susceptible d'interprétation concrète , à Taide des asymptotes. Car, leur équation ne pouvant être affectée par Tobliquité des axes, sera toujours, envers un système quelconque de diamé-

très réciproques, y=.±: -yx\ et donnera semblablement

y=±b'y pour a:' = a' : en sorte que la longueur d*un diamètre non transverse équivaudra encore à 1â partie de la tangente parallèle qu'interceptent les asymptotes. On pourrait d'ailleurs continuer aussi à regarder sa moitié comme uAe moyenne proportionnelle entre les distances d'un point quelconque de l'hyperbole aux deux asymptotes, estimées parallèlement au diamètre cherché. '

Pour mieux lier les notions géométriques relatives aux diverses longueurs des diamètres non transverses , il convient de considérer la courbe résultée de leurs extrémités. La formule précédente de ^" en fournit spontanément l'équation polaire, qui, convertie, suivantle mode ordinaire, en équation rectiligne, conduit enfin à ay-^b'x^^a^b^. Ce résultat indique une hyperbole , nommée quelquefois la conjuguée de la première ; leurs axes sont les mômes, mais en sens inverse , conformément & la définition. Elles ont donc les mêmes asymptotes , dont chacune d'elles occupé les angles interdits à Taûtre : feiir figure est Hàbi-

OÛATRIÉMB PARTIS, CHAPITRE OIÎATRIÊMË. 383

tnellement opposée, et elles ne coïncident que dans le cas équilatère.On peat aisément constater que ces deux courbes ont nécessairement les mêmes diamètres, mais toujours par contraste : en sorte que leur office spontané pour représenter distinctement les longueurs des diamètres non transverses se trouve nécessairement mutuel. Si l'on s'habitue à ne pas séparer de l'image d'une hyperbole, celle , non moins naturelle, de sa conjuguée, les deux sortes de diamètres deviendront également intelligibles.

Les longueurs des deux diamètres conjugués étant chacune illimitée et d'ailleurs croissant à la fois , il est impossible que le premier théorème d'Apollonius ne soit pas profondément modiOé envers rh;perbole, où il devient, en effet, d'' — i"=«*— ^% suivant le changement accoutumé. Il en résulte que jamais d et V ne peuvent élre égaux, à moins que a ne soit égal à 6, auquel cas d équivaut toujours à V . Ainsi, en aucun sens, il n'existe^ dans l'hyperbole, un système spécial de diamètres conjugués , caractérisé par une égalité de longueur qui n'est jamais possible qu'autant que la courbe devient équilatère, et qui alors a lieu indifféremment. On sait dé|à, en effet, que la position des diamètres égaux de l'ellipse correspond à celle des asymptotes de l'hyperbole, lesquelles ne sauraient constituer mutuellement aucun couple de diamètres conjugués, puisque chacune d'elles représente à la fois les deux éléments d'un tel oouple.

Quant au second théorème d'Apollonius , dU sin V = ah^ il ne peut subir ici aucune modiûcation, d'après la compensation des changements simultanés qu'y éprouvent /^ et b\ Celte persistance analytique s'explique géométriquement , malgré l'illimitation commune des loagueurs a! et h\ par la suppression nécessaire de toute limite d'obliquité : à mesure que les deux diamètres s'allongent à la fois en se rapprochant tous deux de

38k GÉOHÉTBIE PLANE.

rasymptote, la diminntioa, non moins indéfinie, de leur angle permet de concevoir que l'aire du parallélogramme correspondant demeure invariable, quoique sa constance soit alors encore plus remarquable que dans l'ellipse.

Au sujet de ces deux théorèmes , il convient de noter ici que la modification nécessaire du premier y interdit l'emploi de l'artifice spécial qui , pour l'ellipse , nous avait conduits à simplifier beaucoup la détermination, soit algébrique, soit surtout graphique, de la longueur des axes d'après deux diamètres con*jugués quelconques, donnés de grandeur et de position. Mais, en ajournant un peu cette solution , de manière à pouvoir y employer le nouvel ordre de propriétés , éminemment caractéristique , que présente l'hyperbole envers ses asymptotes , on reconnaîtra ci-dessous que l'ensemble de cette recherche , comporte finalement encore plus de simplification dans l'hyperbole que dans l'ellipse , quand on y emploie judicieusement , de part et d'autre , les moyens les plus convenables.

116. En considérant l'équation des asymptotes de Tbyperbole rapportées à deux diamètres conjugués quelconques,

y =± -> .r', on aperçoit d'abord l'entière généralisation de leur

construction primitive , en reconnaissant, d'après l'hypothèse j/:=:a\ qu'elles coïncident toujours avec les diagonales du parallélogramme construit sur ces diamètres. Mais, une plus complète appréciation géométrique de la même équation conduit ensuite à un théorème très-remarquable, qui constitue réellement la plus importante propriété spéciale de l'hyperbole. Ou y voit, en effet, que chaque valeur de Tune des coordonnées a/ X)\iy donne toujours à l'autre deux valeurs égales envers les deux asymptotes. Gela posé , toute transversale tirée au hasard dans le plan de l'hyperbole pouvant y être regardée comme parallèle à quelque diamètre , transverse ou non transverse , le