QUATRIÈME PARTIE, CHANTRE QUATRiiMB

conjagué de eclai-ci passera donc constamment an milieu de la partie de cette droite comprise entre les asymptotes : or, le miliea de la corde , extérieure onintérienre, que cette ménie droite forme dans Fhyperbole étant aussi situé nécessairement sur ce dernier diamètre, il s'ensnit que les deux portions de la transversale interceptées , des deux parts , entre la courbe et Fasymptote , telles que MN et M'N' {fig. 75} ou LD et L'D', ont sans cesse une égale longueur.

Cette belle propriété fournit spontanément le moyen le plus simple pour décrire par points un hyperbole, d'après les asymp^ totes , et un point donné M , d'où il suffira de mener une trans* Tersale quelconque NN' entre les deux asymptotes, afin d'y reporter, à partir de l'une, sa portion MN marquée par l'autre, de manière à obtenir le second point M' de la courbe qid s'y trouve situé : chacun des points ainsi marqués pourra d'ailleurs devenir , à son tour , le centre d'une pareille construction^ pour éviter la confusion graphique inhérente à raccumulation d'un trop grand nombre de lignes autour d'un même point.

Quoique une telle description doive, par sajnature, être jugée caractéristique , il importe cependant de le constater expressément, en déduisant l'équation de l'hyperbole de cette seule propriété. Mais , auparavant , il convient de simplifier id l'équation naturelle M'N' = MN, soit pour sa discussion directe, soit pour le passage à l'équation rectiligne , en la remplaçant par la relation, évidemment équivalente, M'E=NB, entre deux longueurs dont la direction est invariable , et que déterminent les parallèles menées respectivement de M et M' aux asymptotes opposées. Sous cette forme mieux appréciable, cette déGnition indique d'abord que la distance M'E du point décrivant M' à la droite donnée OX peut diminuer autant qu'on voudra, sans cependant s'a^nnuler aiutrement qu'à VinG^ii

eomiKie la loagiieiur MB elle-^aénie , à mesiire qae la iraasrer* «aie NN' tend vers la direclion OX : ainsi, indépendiuniiieBt 4e tonte notion antérieore , le lien cherché doit être asymptotique à diacnne des deuii droites fixes. On voit anssi que le point donné M en doit faire partie , en oonsidàrant la traaa^ versale qni y anrait son milieu , et qoi dès I^hts y deYiendrail une tragente, d'après la coïncidence spontanée des deux points M et M'.

Ponr transformer cette équation naturelle, M'E=:MB, en équation rectiligne , il convient de diriger les axes suivant les deux droites fixes OX et OY , en vertu de leur asymptotisme. En désignant par af exy les eoordonuées correspondantes du point variable M' , et par « et € celles du point donné M, réqnanon de la transversale sera

ti il faudra exprimer que la valeur dej^ — 6 qui y correspond < à jr=0 équivaut constamment à y. On trouve ainsi l'équation jt/y s=a6 , qui annonce évidemment Thyperbole.

£n considérant directement la forme que doit prendre l'équation de l'hyperbole par rapport à ses deux asymptotes , il est aisé de prévoir, comme je l'ai indiqué au n'> 91 > qu'elle contiendra senlenient le terme en xy et le teraie constant, puisque ■les devx termes propres à chaque variable doivent à la fois disparaître, d'après l'asymptotisme de l'axe correspondant. Cette ^nation a^=m^ indique géométriquement que le parail^k)gramme MPOB, construit sur les coordonnées asymptotiques d'un point quelconque M de l'hyperbole, a une aire invmaUe : lï'est sous cette forme que les anciens connaissaient , à leur matlière , cette relation nécessaire. Si l'on considère en particulier ie losaage ainsi formé au sommet , et dont le côté équivaut évi-

QUATRIÈME PAETIB» CHAPITEE QUATRIÈME. -387

llemœeiit, d'après les notioos anlérieores^ à la demi-distance da foyer au ceotre, on reconnaît que cette constante m représente m la demi-excentricité. L'ensemble de ces prévisions est aisément confirmé par Texécution du calcul de transposition qui, en partant de Téquation primitive,ay— è'jc"=— a'6%relati?e aax axes de l'hyperbole, fournit» par rapport aux asymptotes,

l'équation j:j^ = — 31 — ^ suivant les formules ordinaires

«=«' cos X'+y C08 ï', ^=y sin X'+y aià Y , en ayant égard aux hypothèses actuelles ,

taneFs-, taiigX'= .

a CL

Cette équation xyz=iiv? serait plus propre qu'aucune autre, à raison de sa simplicité supérieure , à Fétude spéciale de la courbe, si les axes correspondants étaient rectangulaires : mais cela n'a lieu , comme on sait , que pour Fbyperbole équilatère, dont l'étude particulière ne mérite plus aujourd'hui une attention séparée. Envers tout autre cas , les inconvénients attachés i l'obliquité de tels axes font plus que compenser ordinairement l'aptitude algébrique d'une telle équation » sauf envers les rech^ches géométriques où la rectangularité des axes ne constitue ancun avantage important. On peut remarquer ici cette exception au sujet des tangentes , dont le coefficient angulaire , ainsi

devenu ^ , fournira un résultat fort simple relativement à la

sous-tangente correspondante , maintenant égale à l'abscisse asymptotique du point de contact. Toutefois» il faut reconnaître que cette notion ne constitue, au fond, qu'une conséquence facile du théorème des transversales, qui , poussé jusqu'à sa limite , indique aussitôt l'égalité constante des deux parties de la tangente compiises entre le point de cwtact et le» deax

388 GÉOBnBTRlB PLANE.

asymptotes : en sorte que cette propriété caractéristiqae de rhjperbole y fournit spontanément la meilleure solution spéciale du problème des tangentes. Nous allons bientôt apprécier, pour la question plus importante des quadratures, l'avantage essentiel que présente y à certains égards , la simplicité supérieure de l'équation asymptotique de l'hyperbole.

Le judicieux emploi des propriétés relatives aux asymptotes rend plus facile envers l'hyperbole qu'envers l'ellipse la con-' strnction finale suivant laquelle on détermine graphiquement tous les éléments géométriques de la courbe, d'après une portion quelconque de sa circonférence. On commencera , comme dans l'ellipse, par tracer, à l'aide de deux couples distincts de cordes parallèles , un système de diamètres conjugués , dont la longueur se trouvera spontanément connue ainsi, quanta celai qui sera transverse, et ensuite aisément assignable pour l'autre, à l'aide d'un des poiuts de l'are donné , selon nos explications antérieures. Maïs, après ce préambule graphique commun aux deux courbes , tout le reste de la construction pourra prendre ici une marche plus simple que dans l'ellipse , en déterminant aussitôt les asymptotes, parles diagonales du parallélogramme correspondant aux deux diamètres obtenus. Gela posé , la direction des axes de Thyperbole résultera inunédiatement de la bissection des deux angles asymptotiques , et la longueardc j chacun se trouvera finalement sous plusieurs formes commodes, surtout comme moyen proportionnel entre les distances d'un point de l'arc aux deux asymptotes, mesurées parallèlement à l'axe cherché, ou entre la coordonnée correspondante de ce point et celle de^ l'intersection de sa tangente avec cet axe, etc., de manière à fournir aisément divers modes de vérification pour l'ensemble du tracé.

117. Parmi les nombreux problèmes, déterminés ou indéterminés, que sug^re naturellement la théorie de l'hyperbcrie,

QUATBIÈME PARTIE, GHAPIT&B QUATEIÈUS. 389

il suffira d'en choisir ici quelques-uns, qui permettront au lecteur de multiplier spontanément ces utiles exercices.

Considérons d'abord la détermination d'une hyperbole d'après une asymptote et trois points. La loi des transrersales y ifldiqae aussitôt une commode solution graphique, fondée sur la construction préalable de la seconde asymptote , dont ce théorème fournit aisément deux points, à Faide des deux cordes qai joignent Tun des points donnés aux deux autres, prolongées d'abord jusqu'à l'asymptote connue. Quant à la solution analytique , on la simplifiera beaucoup ^ si les axes sont disponibles, en prenant pour axe des j^ Tasymptote, et faisant passer l'axe des ai par deux des points : l'obliquité de tels axes n'apportera d'ailleurs aucun obstacle à cette recherche , d'après la nature des conditions proposées. L'équation de l'hyperbole sera ainsi, en vertu de l'asymptotisme,

En ayant égard aux abscisses x^' et a/" des deux premiers points donnés , lesquelles devront devenir les racines de l'équation cx^-^-ex^i, et formulant ensuite le passage à l'autre point a/, y, on obtiendra fihalement

1 x''+a/'' ^ x'y ^+ a/*— af (a/^+ J/^)

D'après ces formules , tous les cas d'impossibilité seront nécessairement de nature précise, conformément aux indications géométriques ; elles deviendraient infinies , si j/' ou a/" s'anaulaient , ce qui placerait l'un des deux premiers points sur l'asymptote ; en outre, la troisième pourrait l'être aussi, d'après l'annulation de a/ ou y, d'où résulterait la situation de Tautre pcrfnt ou pareillement sur l'asymptote on en ligne droite avec les précédents. On ddt enfin remarquer le cas de frs 0, qui

9M oÉOBnéniiB flahs.

n'est pas plas admissible qae cenx-lk : il y ftmt coDsidé«<er le numératear comme équiralent au prodait (a/— s") (jp*— a/"), en sorte que cette hypothèse revient à a/ sz j^' ou a^ =» jc/"^ c'est-ànllre qne Fane des denx cordes menées da dernier point taiL deni premiers deviendrait parallèle à l'asymptote donnée. Les analogues graphiques de ces divers symptômes d'impossi- Mlité sont faciles h apprécier.

Supposons maintenant que deux des points qui précèdent soient remplacés par lesommet. En le considérant comme équidistantdes deux asymptotes, la construction restera presqu'aussi facile pour trouver d'abord la seconde asymptote, ainsi tangente à un cercle aisément assignable, et passant encore en un point connu: seulement y ce tracé signale icl^ outre les cas précis d'impQSsibilité déjà remarqués , un cas vague tenant à la sitaa<* tion de ce point dans ce cercle. La solution analytique devra maintenant faire préférer des axes rectangulaires , l'asymptote et sa perpendiculaire au sommet. En partant de la même équation que ci-dessns , l'abscisse ^ de ce dernier point y et les coordonnées x\ y du premier, y fourniront d'abord les deox conditions

qu'il faudra compléter en caractérisant analytiqaemeot le som* met. Pour cela , le mode le mieux en harmonie avec l'ensemble de la question actuelle , consiste à exprimer ré(]uidistance aux deut asymptotes, comme dans la solution graphique. Car, id^ la méthode subsidiaire conduit aussitôt , [mr une diyision mo*

nome, à l'équation de la seconde asymptote j^ = — -x — -,

4ont la distance au sommet donaé fournit aisément la troirièuie

chercbée 2c«a?4*e^=B^^â?*. Les deux premièrea per^

I sMia difficulté la réduction pi^éatable de c et « à la

kJ;iLinut]i

QUATRIÈME PA&T|B, CHi^mUS QUATRIÈME.

seule incoDAue b , dâs lors déterminée par UDd éfwttcm dO second degré , que j'engage le lecteur à discuter.

Ensttppriinanl) dans cette question, le second poi«t domé y, y, elle devient indéterminée, mais suivant la juste mesuf^ qnj comporte la recherche des liens. Proposons-nous detrwver celai des foyers. Les axes précédents restent trés-oonveiiables > d'après VéTidente symétrie d'un lel lieu. Mais, quoique Téqua* tioo ci-dessus permit^ sans doute, suivant nos principes gêné* raux, ou conformément à la construction spéciale» rinlfodmv tioD du foyer > il est préférable d'employer un a«tre typa analytique, directement fondé sur Téquation focale

OÙ les conditions d'asymptotisme donneraient d'abord 7=^1) /•= — o, pour la suppression nécessaire des termes en y seul. Ainsi devenue, comme précédemment,

le passage au sonoonet donné y fournirait une première condition (itr*—!) €? -[-2 (a— /?6) //=«*, qu'il resterait à compléter d'après le caractère d'un tel point. Parmi les divers modes qu'il comporte , le plus simple consisterait ici dans la rectangularité entre la tangente correspondante et la droite qui va de ce

point au centre j: = 0, v = 6~ -. Cette seconde relation étan^ *~ ' . /^ •

une fois formée , elle permettrait d'éliminer p à l'aide delà pre-

' éPix-^d) mière, de manière à fournir l'équation cherchée^* = — "nr^i

par UB calcul dcmt je laisse l'exécution au leetemr.

La déGnition de ce lieu indique naturellement, en aynt égard aux notions spéciales, une descriptioii par points, ^ conduirait plus simplement à l'équation préoédenta, et ^ d'aiUairs annoniae déjà la figure géainde 4'uim telle

S9B QÉOXÉTME PLANE.

Car, en considérant l'asymptote donnée comme le lien spontané du centre , chaque position G de ce point déterminerait la posi-

lion correspondante du foyer F (fig. 76) par Fintersectlon de la droite CD qui le réunirait au sommet fixé B avec un cercle décrit de G et passant en £, où la perpendiculaire DE à l'axe yariable de l'hyperbole coupe Tasymptote OY. D'après cela, quand cet axe GD tend vers sa limite horizontale OX, l'ordonnée FP, toujours inférieure à DO ou d, tend à lui devenir égale , suivant la constante similitude des triangles FDP et EOD , dont les hypoténuses tendent alors vers l'égalité. Ainsi , la partie droite de la courbe cherchée est symétriquement comprise entre deux asymptotes horizontales, BG et B'G', menées à la distance d de son axe OX. Une comparaison analogue montrera, en sens inverse, que ces asymptotes conviennent aussi à la partie gauche, correspondante au second foyer F', dont l'ordonnée F'F décroîtra simultanément, en tendant vers sa limite Inférieure d. Si maintenant on rapproche , au contraire , l'axe variable DG de sa limite verticale DI, on voit que le foyer F tendra vers le sommet donné D , tandis que l'autre foyer s'avancera continuellement vers la verticale opposée D'U, qu'il ne cessera pourtant de dépasser qu'à l'infini ,- en sorte que la seconde portion du lieu , interrompue de OY à FL', se trouvera Sjrmétriquement comprise entre des asymptotes rectangulaires. Le le^eur reconnaîtra facilement la conformité de l'équation ci-des9ps obtenue avec la figure générale que notre définition graphique assigne ainsi à cette courbe remarquable du troisième degré.

En renversant la question précédente , on est conduit à chercher le lieu des sommets de toutes les hyperboles ayant une même asymptote et un foyer commun. Si , par un motif évident de symétrie, on rapporte encore l'hyperbole à l'asymptote domiée et à là perpendiculaire menée du foyer donné , son