QUATRIÈME PARTIE, CHAPITRE QUATRIÈME

équation sera , d'après le type focal , et eu égard à Tasympto-

tisme,

d désignant la distance du foyer à l'asymptote , et /? le coefflcient variable de la directrice. On introduira ici le sommet

comme étant à la fois sur Thyperbole et sur la perpendiculaire

jr:= ► (jc—d), menée du foyer à la directrice ; ce qui , par l'élimination de j9 , conduira aisément à l'équation cherchée

jc\d—jr)

f= -7-T- , déjà discutée dans la troisième partie de ce traité.

La description spéciale , dont cette courbe serait encore plus facilement susceptible qae la précédente , confirmerait clairement la forme résultée de cette équation, qui pourrait d'ailleurs être ainsi obtenue très-simplement.

Si , dans ce dernier problème , on remplaçait le foyer donné par une directrice , il serait superflu de chercher aucun des lieux correspondants ; car, la théorie de la similitude indique d'avance , envers toutes les hyperboles ayant une asymptote et une directrice communes , qu'il n'en pourra jamais résulter que des lieux rectilignes , convergeant tous vers Tinter* section de ces deux droites.

118. nue nous reste plus maintenant à considérer l'hypea*bole que relativement à sa quadrature. En partant de l'équar

tion aux axes j^ = ~ y/x^—a' , la mesure du segment hyper-

bolique ne deviendrait accessible à nos méthodes élémentaires que sous forme de série : seulement on aperçoit aussitôt, comme dans l'ellipse , d'après le principe de Wallis , la réduction spontanée du cas général à cdui de l'hyperbole équilatère , dont il sera dès lors permis de s'occuper exclusivement , quoique cette simplification n'offre ici aucun avantage imp(Hr-

t9k «ÉMÉniB WtAMB.

tant. Mais , m considérant l'équation aqrmptotiqiie xy s m\ on peut y décoavrir une loi très-remarquable pour Taire correspondante SDMP i/tg. 77) , comptée do sommet. Si Ton transporte rorigine en D , conformément à nos Iiabitudes de

quadrature , cette équation devient ^= — ; — , et le dévdtop-

pement du quotient en série, donne aisément

j^=:m — x-A —+etc.

mm

n en réndte , pour l'âire cherchée, la lérie très-simple

m' OÙ l'algèbre apprend à reconnaître le dérdoppement da

ritbme népérien de 1-| — .On trouve ainsi finalement , en re-

venant à Tancienne origine des abscisses , la formule

S=/»"/ [ — ^ , d*après laquelle ce segment hyperbolique, d'oii

tout autre pourrait dériver, crott comme le logarilhoie du rap^ pctt't de ses denx âbsdsses extrêmes.

Cet important résultat peut être essentiellement oontoné^ indépendamment de notre thécwie générale des quadratin^s , par une appréciation spéciale de la somme des rectangles élé^ mentaires qu'on substituerait d'abord au segment SDMP, en y considérant divers points intermédiaires M', M", etc., dont nous ne fixons pas encore la répartition. Si ^', y et j/', y, etc. désignent les coordonnées de ces sommets auxiliaires , les reetangles successifs auront pour mesure rs=sy {x! — m), ff=:y*{af—Af) , r^'=:y(a7'''— x"), ctc. En y rapportant les ordonnées axxx abscisses , d'après l'équation xy^^nù^ on aura finalement

QUATRIÈME PAHTIB, OUt^fÈM QUATRIÈIIE.

.= «.«(1-^), / = ^*(l-J), ^' = -*(l~$). etc.

Or^ ces expressions montrent que tons ces rectangles partieb deviendraient équivalents , en faisant croître les abscisses in-> tennédiaires , ou décroître les ordonnées correspondantes , en progression géométrique , comme pour notre première mé' thode élémentaire de quadrature , quelle que fût d'ailleurs la raison de cette progression. Dans une telle hypothèse, un

second segment hyperbolique MPNQ équivaudrait nécessaire-

ment au premier, si son ordonnée finale NQ était en progression géométrique avec les ordonnées extrêmes SD et MP de celui-ci ; puisqu'on y pourrait ainsi inscrire un pareQ nombre de rectangles égaux à ceux de la série primitive , en tant que leurs hauteurs prolongeraient la même progression , la relation constante de ces deux sommes analogues devant d'ailleurs s'étendre jusqu'à leurs limites respectives. L'aire SDMP augmente donc en progression arithmétique , quand son abscisse finale OP croit en progression géométrique ; ce qui est exao* tement conforme à la loi analytique obtenue ci-dessus , suivant la correspondance fondamentale entre la marche des logarithmes et celle des nombres. Toutefois , cette considération spéciale est moins complète que notre appréciation générale , en ce que la loi de variation des aires hyperboliques n*y assigne pas la mesure propre de diaque segment, mais seulement son rapport effectif à un segment initial , dont la détermination resterait alors inaccomplie.

On voit ainsi comment la quadrature de l'hyperbole, ordi^ naire , que nous avons vue , au n*" 80 ^ échapper, au moins di* rectement, à la règle analytique qui convient à toutes les autres hyperboles , est assujettie à une loi distincte , qui rentre pourtant , à sa manière , dans cette commune formule , quand on y applique les moyens propres à l'évaluation dea symboles

indéterminés. Si l'on considère l'ensemble de l'aire hyperbolique , depuis le sommet jusqu'à l'une ou à l'autre asymptote , les deux démonstrations précédentes annoncent pareillement que ces deux aires , actuellement égales , sont toutes deux infinies , soit comme proportionnelles au logarithme d'un nombre infiniment grand , soit comme augmentant indéfiniment par degrés équivalents j tandis que, envers toute hyperbole d'un plus haut degré , nous avons reconnu que Tune d'elles est finie

et l'autre infinie.

Notre théorie des quadratures fournit aisément la, mesure des volumes résultés de la rotation de l'hyperbole autour de chacun de ses axes. Si l'on considère d'abord Thyperboloïde discontinu , produit autour de Taxe transverse , il faudra , pour ne pas troubler nos habitudes analytiques , porter l'origine au sommet , où seulement commence le segment générateur, en

ta

adoptant l'équation j^'ris—.Cx'-j-S^-^). D'après la règle ordinaire, qui ramènera cette cubature à la quadrature d'une para-

ana-

V /l \ bole , on trouvera ainsi la formule V = tt - j:'( - x-{-a \ ,

logue à celle du segment sphérique. Quant à l'hyperboloïde continu , correspondant à la révolution de la courbe autour de son axe non transverse , on pourra conserver l'équation ordinaire ay — 6*j:'= — a'&% en y dégageant x au lieu d'j^, puisque la rotation se fait maintenant dans l'autre sens. Le résultat, dépendant encore de la quadrature de la parabole , sera dés

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