CHAPITRE V

Appréciation des courbes do second degré comme seetions coniques.

119. Après avoir suffisamment étudié les principales propriétés de la parabole, de l'ellipse, et de Fhyperbole , il nous reste à considérer ces trois courbes sous un dernier aspect commun , plus propre qu'aucun autre à faire nettement saisir Vensemble de leur figure , en y voyant , suivant la notion initiale des anciens , les sections d'un cône ou d'un cylindre par un plan diversement situé. Toute ligne peut être envisagée , d'une infinité de manières, comme l'intersection de deux surfaces ; et, qaand celles-ci peuvent être facilement conçues y en tant que résultant du mouvement de lignes plus simples , aucune description directe ne peut aussi clairement caractériser la forme d'une courbe qu'une telle pénétration : c'est ainsi , entre^ autres, que les courbes du n"* 22 sont surtout appréciables à titre de sections planes d'un tore. En partant de la ligne droite et do cercle , naturellement indiqués dans une foule de phénomènes journaliers, les premières courbes régulières que l'esprit hamain ait réellement inventées furent , en effet , imaginées d'après ce mode , quand les géomètres grecs pensèrent à combiner entre elles les plus simples surfaces'engendrées par ees deux lignes primordiales.

S'il s'agissait ici de considérer, en général , toutes les intersections de surfaces propres à produire. les courbes du' second degré , la question exigerait nécessairement la géométrie à trw dimensions. Mais, devant nous borner i la combinaisoola ptan

iM6 BiOÊtJhUE 9tASB.

propre à perfectionner Fétade de ces lignes , cette appréciation complémentaire , sans appartenir spontanément à la géométrie plane , y peut aisément rentrer, à Taide d'un artifice spécial , qoi , généralisé autant que possible , s'étendrait également aux sections planes de toute surface de révolution. Nous rappliquerons seulement an cylindre et au cône considérés en géométrie Mémeataire , c'esti^-dire à la fois circulaires et droits , et qui , comme on sait , deviennent alors exceptionnellement les plus simplea corps ronds. Quoique le {Nremier cas smt fadlement compris dans le second, et malgré que le cylindre ne puisse fournir que l'une de nos trois courbes, sou image plus daire encore et plus familière doit nous détermiaer à Teavi- Mger d'abord distinctement.

En concevant un cylindre engendré par une droite AN { fig. 78), autour d'un axe parallèle IL , les sections planes de cette surface sont immédiatement connues , comme envers toat autre corps rond , quand elles sont perpendiculaires à Taxe : or, c'est en partant de tels cercles , que , par une méthode spédde , on peut découvrir la nature ou former l'équation de la eoupe qui résulterait d'un plan quelconque , sans sortir réellement du domaine de la géométrie à deux dimensioDS. Quel que soit ce plan, la section sera nécessairement toujours symé- Iriipie autour de sa trace AB sur le plan qui lui serait meué perpendiculairement par l'axe de la surface : quant an cylindre en particulier, la courbe aura d'ailleurs pour centre évident le point où sou plan coupe cet axe. Plaçons donc en ce point Tori^ fine de deux axes rectangulaires situés dans le plan de cette courbe , et dont l'un coïncide avec cette trace. Afin de trouver la relation d'une abscisse quelconque OP à l'ordonnée correspoadaùte , il sidit de mener par P, perpendiculairement à l'axe 4a cylindre , ua plan auxiliaire , qui coupera la surface soivafit

carde dont CPD a^ala diamètre : dès tors, cette ordonoée,

QUATBIÈfllE PARTIE^ CHAPITIUB GINQUIÈBIE. ^889

sjiontaQéineat commaoe aux im% courbes, fournira , d'après la flecoode , la relatioa constante ^'=PDx PC , qu'on peut kà considérer comme l'équation naturelle de la section oblique. Ponr en déduire l'équation définitive , il ne reste plus qu'à ra{h jporter les facteurs PD et PC à Tabsdsse OP ou j?, à l'aide des constantes du problème , qui sont le rayon r du cylindre et l'inclinaison a de son axe sur le plan coupant. Or, la somme de ces dtox lignes étant comuie , tout se réduit à calculer PJD , d'après le trîaôgle P AD , qui donne

H)= APsîna =s (AO — ^j:)sina= ( -. x\ sîna =r— x sina.

^sma J

Ben résrite aussitôt l'éqoation de la courbe cherchée

Cette section est donc toujours une ellipse , dont le petit axe éfiivaat constamm^itaa diamètre du cylindre, le rapportées axes y étant égal au sinus de l'inclinaison de son plan sur l'axe delà surface. Tel est le mode le plus simple d'après lequel on poisse n^temoQt se représenter me dlîpse* On voit ainsi «pie, sor un même cylindre , on pourra concevoir des ellipses de toute forme, en cbangeant l'obliquité des coupes, mais non de toate grandeur. L'excentricité est ici égala à la projectinn Œ du demi-grand axe OA sur Taxe du cylindre ; ce qui permettra de marquer aisément les foyers.

120. Considérons maintenant le cas du cône , principal objet de ce chapitre, en concevant cette surface comme engendrée par la rotation d'une droite G'SG invariablement liée à l'axe fixe CSG 9 qu'elle rencontre toujours en S : chaque cône sera suffisamment défini par l'angle constant € de cette génératrice avec cet axe. En supposant que la figure 79 soit tracée dans le plan mené par l'axe du cône perpendiculairement à celui de la section cherchée , nous rap^rterons cette courbe à deux axes

400 eÉOMÉtHIE PLANS.

rectangulaires, dont Ton AX coïncide, de même qa'envers le cylindre , avec l'intersection de ces denx plans : nous placerons d'ailleurs , pour plus d'uniformité , Torigine au point A, où Ton peut aisément constater que la tangente à la courbe sera constamment perpendiculaire à son axe géométrique AX. Gela posé, en menant, comme ci-dessus, par l'extrémité P d'une abscisse quelconque, une section auxiliaire, perpendiculairement à Taxe de la surface , on aura pareillement y =PDxPE ; sauf à exprimer en x ces deux facteurs yariables , à Taide des données, linéaire et angulaire , qui définissent le plan coupant, d'après la distance d du sommet de la courbe au sommet du cône et l'inclinaison a de son axe géométrique sur la génératrice SA. Or, le triangle APD fournit immédiatement l'exprès-

sion de PD= jc — -. Quant à PE , on le rapportera provisoirement à PB ou AB — a:, dans le triangle PB£, qui donne

PE = (AB— jir)?îï^^^i^\ en évaluant l'angle B d'après le

cos€

triangle BAS : ce dernier triangle permet ensuite d'éliminer

d%\ik 26 AB= .-- — --— . Il en résulte finalement, pour la courbe

sm(a+6) ' ^

chercbée, l'équation

- , sinasin(a+2S) « ^ , . .

yj i-J- — : 0?'— ârfsmatangg.jc = 0.

cos'6

La section d'un cône par un plan est donc toujours une courbe du second degré : c'est en cela que consiste ici notre proposition principale ,* car, d'après cette notion , l'inspection directe de la figure permet aisément de caractériser les situations propres à fournir successivement la parabole , l'ellipse et l'hyperbole. D'après la règle analytique ordinaire , ces trois cas correspondront à a+2ê = 180% a+26<180% a+26>18ô'; ce qui indique le plan coupant , soit comme parallèle à la gé«

QUAniÈME PARTIE y CflAPITRB CINQUIÈME. 401

iiéiatrice opposée , soit comme la rencontrant aa-dessons da «nuBet S , soit enfin comme la rencontrant au-dessus de ce point I on voit , en effet , que le lieu sera dès lors limité d'un côté et illimité de l'autre , ou fermé de toutes parts , ou enfin illimité et discontinu entre les deux nappes du cône. En concevant ainsi les trois courbes du second degré, Vellipse se présente d'abord spontanément , puis la parabole , et ensuite Fhyperbole , en s'écartant graduellement de la section perpendiculaire à l'axe , qui constitue ici le point de départ naturel : la situation parabolique devient alors la commune limite des situations elliptiques et des situations hyperboliques. Pour les anciens , qui ne c(msidâraient habituellement que des sections perpendiculaires aux génératrices , ces trois lignes exigeaient chacune un cône différent : la parabole correspondait au cône rectangle , où l'angle des génératrices opposées est droit , l'ellipse au côlie acutangle , et Thyperbole au cône obtusangle.

On peut envisager l'équation précédente comme représentant aussi les sections cylindriques , en y supposant nul Tangle du cône 6; mais il faut alors transformer le dernier coefficient, afin d'éviter l'indétermination qu'y produit d'abord l'hypothèse simultanée de d inOni , en remplaçant cette longueur par une autre qui doive rester finie , telle que la distance r du sommet de la section à l'axe de la surface , laquelle équivaut à dAn 6. En faisant ensuite 6 = 0, on obtient l'équation j^'^+sin' a. jc'* — 2rsina.x = 0, qui ne peut plus représenter qu'une ellipse , conformément au n*" précédent, où l'origine, maintenant au sommet, était au centre.

Quoique l'artifice employé dans ces deux cas doive être bientôt remplacé par les méthodes générales que fournit spontanément la géométrie à trois dimensions pour toutes es intersections de surfaces quelconques, cependant, comme il est toujours utile, au moins logiquement, de généraliser

antaot que possible chaque procédé scientifique , il ooftiiiwl de sentir que celui-ci est plus étenda qu'on ne le- su^ese (»-dinairemeni, et qu'il devient essentiellement applicable à tons les cocps ronds^ d'après la connaissance préalable de leur courbe méridienne. Pour s'en mieux convaincre^ le lecteuD devra l'appliquer à quelque autre surface de révolution suffirsamment simple , en^ étudiant ainsi ,. par exismple , les sections flânes du paraboloïde.

121. Afin d'édairci^ autant que possiblelanotion des courbes du second degré comme sections conique», il faut maiiiÉeiiant retrouver sur le cOne les pribcipaux éléments géométriques que nous a suocessivement oflbrts Fétude^q^édalb de chacune belles.

Cette appréciation fibale est d'abord très-facile envers la parabole, dont l'équation est ici ^'*=Wrfn''?.jr, d'après l'hypothèse caractéristique a+26=:180''. De cette expression de son paramètre , on peut aisément déduire la constructibn conique de son foyer, où l'on doit ainsi voir la projection , sur l'axe de la parabole, de la projection du sommet de cette courbe sur l'axe du cône. Il en résulte, réciproquement , un mode fort simple pour transporter, sur un cône donné, une parabole donnée : car , en y regardant la distance du foyer au sommet comme la base d'un triangle rectangle dont l'angle opposé soit égal à celui du cône, l'hypoténuse de ce triangle mesurera la distance du sommet de la parabole à l'axe du cône; ce qui permettra de placer facilement la section.

Quant à l'ellipse , on déterminera ses axes en comparant l'équation générale du n** précédent à celle de cette courbe rapportée au sommet,

a Al

QUATBIÈtfB PAETIB, CMà^ltU CINQUIÈME. 4418

ee pi donne

b^ rfnasin(a4-2€) tt

De la combinaison de ces deux relations, il résulte les formules

§La [H*emière indique que le grand axe de l'ellipse est toujours la droite AB , résultant de Tintersection de son plan avec celui qui lui est mené perpendiculairement par l'axe du cône , sui- Tant les évidentes indications du sujet. Quant à la seconde, l'interprétation coniqu^ en est moins directe; mais il est aisé d'y reconnaître le demi-petit axe comme une moyenne propor. lioonelle entre les distances des deux extrémités A et B dugrand axe à l'axe du cône. En combinant convenablement ces deux déterminations , on en déduirait la construction conique des foyers : mais on peut aussi l'obtenir immédiatement avec plus âe simplicité , de manière à mieux éclaircir l'ensemble d'une telle concordance. Il faut remarquer que , d'après ces notipns» la distance des foyers est toujours égale à la partie AN ou BR de la génératrice comprise entre les deux plans perpendiculaires à l'axe du cône , qui circonscrivent l'ellipse considérée : cette relation résulte d'un théorème élémentaire^ peu connu et d'ailleurs peu utile , constituant une conséquence indirecte du tbéorèKie de Pylfaagen^ , et consistait en «œ ifue , dans ^timt

trapèze isocèle tel que ANBR, le carré delà idiagonale équi- Taut au carré du côté égal plus le rectaqgle des côtés inégaux. Sf donc dn porte sur AB , de part et d'autre de son milieu , la moitié de AN, on y marquera les deusL foyers de l'^ttyise.

En renversant les relations précédentes , il devient facile , réciproquemerit , deiplacer^ isur «n^iie adonné ^ une ellipso

kJèk eét^ÊÈtBÏB PLANE.

doonée. Graphiquement , on peat d'abord reproduire Siisément, dans le plan de l'ellipse , les triangles AMBet BRA, en prenant pour base commune la distance entre les foyers, et pour angle adjacent le complément de Tangle du cône ou le supplément de ce complément, le côté opposé étant d'ailleurs égal au grand axe : les troisièmes côtés ainsi obtenus indiqu^H>nt les doubles des distances de l'axe du cône aux deux sommets A et B de l'ellipse proposée; ce qui permettra de la placer facilement. Cette construction montre la question comme toujours possible quels que soient l'ellipse et le cône, puisque ces triangles ne pourront jamais offrir le oas d'impossibilité, le côté opposé à l'angle donné y étant constamment supérieur au côté adjacent. Un même cône quelconque peut donc ^rnir toutes les ellipses imaginables : autour d'un sommet fixe A, il présentera tons les degrés d'ellipticité , en y faisant yarier l'inclinaison a, depuis la direction circulaire du plan coupant jusqu'à sa situation parabolique : ensuite , pour chacun de ces degrés , les dimensions varieront à volonté en transportant parallèlement la section à une distance convenable du sommet du cône.

Si , au lieu d'accomplir graphiquement cette double détermination , on veut l'opérer algébriquement , il suffira de renverser les deux relations fondamentales, en y concevant donnés aetb^ afin d'y chercher a et d, La seconde inconnue résulterait aisément de la première , qu'il s'agit donc de dégt ger dans

1,. ,. , . .4 . sinasin(a4-26) i"" ^ , . l'equation trigonometrique -^ = -- . On la sim-

COS b à"

plifiera beaucoup en y transformant le numérateur , d'après un

théorème connu, en -(cos^26 — eos2(ce4-6)),cequi donneit

pour l'angle auxiliaire 2 (« -f €), le résultat fort simple c(»s2(«+6) = 2co«'e( 1 — ^^ — i,