QUATRIÈME PARTIE , CHAPITRE GINQUIÈUE. M

oàron peut aisément vérifier la constante possibilité de la question , cette fonnnle ayant toujours une Yalenr, non*sei^ lemeat réelle, mais inférieure à l'unité , suivant les conditions d'un tel mode.

Considérons enfin le cas de l'hyperbole , envers laquelle il est facile de constater d'abord la permanence essentielle de toutes les notions précédentes au sujet des divers éléments géométriques qui lui sont communs avec Tellipse , c'est-à-dire les deux axes et l'excentricité. La seule appréciation spéciale qui doive ici nous arrêter concerne les asymptotes , dont il importe de sentir nettement l'interprétation conique. On y est naturellement conduit , soit par la figure , soit d'après TéquatioQ , en remarquant que leur inclinaison sur l'axe transverse de l'hyperbole doit être la même pour toutes les sections parallèles, qui, géométriquement, seront toujours semblables, ou, analytiquement , auront des axes proportionnels. Dès lors, en faisant graduellement rapprocher le plan coupant du sommet du cône, sans jamais changer sa direction , on atteindra finale-^ ment une limite où la situation des asymptotes deviendra irrécusable , quand la section se réduira à ces droites , d'après le passage du plan au sommet. Telle est donc l'origine conique des asymptotes de l'hyperbole , toujours parallèles aux génératrices suivant lesquelles le cône est coupé par un plan mené de son sommet parallèlement à celui de la section. On peut d'ailleurs vérifier cette construction^ en reconnaissant, d'après la formule ordinaire des angles trièdres , que chacune de ces génératrices forme , avec l'axe de l'hyperbole , un angle égal

à oelui dont la tangente est ~ ou — ^V/ sinocsin («+26) : car ,

a coso

en considérant l'angle trièdre dont les arêtes seraient ces deux droites et Taxe du cône , l'un de ses angles dièdres se trouverait droit , et cottipris entre deux faces , dont Tune serait

M8 ËiÈÛÊÊBknOE KAHB.

€^.«.^180^, et Tanlve eonstitaerait riocliMMaii ckefchée f , la trcHsième face étant 6 ; il en résalterail dono

COS$= COS <p COS (e+a—^S^**) >

d'oA ¥<m conehtt mie expression de tang f exactement éqnfyalenfo h la précédente.

Suivant ces notions , il existe, sur chaque cône , une limite nécessaire pour le degré d'ouverture des diverses sortes d'hyperbole qu'on y peut tracer, puisque l'écartement des asymptotes ne saurait ainsi excéder jamais celui des génératrices opposées : l'hyperbole la plus ouverte correspond donc toujours à un plan parallèle à l'axe du cônç ; en sorte que , en dépassant cette situation maximum, Thyperbole, au lieu de s'éloigner davantage de la figure parabolique , qui avait constitué son point de départ, s'en rapprocherai! nécessairement. Cette prévision directe est pleinement conforme aux conditions de possibilité qu'exige alors le problème , déjà résolu envers l'ellipse, consistant à placer, sur un cône donné, une courbe donnée. En effet , dans la détermination graphique , les triangles analogue à ANB et BRÂ ne seront plus toujours possibles , puisque ie côté opposé à l'angle connu s'y trouvera maintenant iaférieur au côté adjacent. La limite aura lieu quand ces triangles

deviettiront reotangles, ee qui exwe eosSss ^, d'où langée -;