La destination propre à ce chapitre complémentaire a

àt nous y réduire à l'examen du cône droit , comme étant la

plus simple surface d'oit puissent résulter les trois courbes du

second degré. Mais il n'est pas inutile de remarquer, en termi-

ant , que l'artifice adopté conviendrait aussi au cône^circnlaire

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oblique , quoique ce ne soit plus une surface de réy<dution , du moins en nous bornant à y considérer des sections perpendiculaires au plan principal du cône , c'est-à-dire , à celui mené par l'axe perpendiculairement au plan de la base , et contenant dès lors les deux génératrices maximum et minimum. En pro^ cédant exactement comme ci-dessus, on y trouvera; pour réquation analogue de la section qui fait un angle a avec l'une de ces génératrices , d désignant toujours la distance de son sommet à celui du cône ,

. , sin«sin(7 + ^— «) ^a ^sin«sin(7+^) ^

•^ *^ smvsmi^ smvsm^

le cône étant alors défini d'après les deux angles distincts 7 et ^ que forment ces génératrices extrêmes avec le plan de la base. La conséquence la plus intéressante que fournisse maintenant une telle.équation, se rapporte à la détermination des sections circulaires. Qn y voit que , pour obtenir un cercle, il faut supposer sin a sin (7 + ^ — a) = sin 7 sin ^ ; d'où résultent les deux solutions a =7, o^=S, dont Tune indique, à l'ordinaire , un plan parallèle à la base, et l'autre correspond, par exception, à une certaine section oblique , que les anciens qualifiaient judicieusement d' anti-parallèle : ces deux directions ne sauraient coïncider qu'autant que le cône deviendrait droit.

Cette proposition remarquable , qu'il convient de noter ici à raison de son utilité spéciale en plusieurs occasions , surtout en géographie, ne constitue d'ailleurs , comme on le reconnaîtra bientôt, qu'un simple cas particulier de la propriété générale d'après laquelle toutes les surfaces du second degré, à l'exception d'une seule, comportent toujours deux sortes de sections circulaires , dont les plans ne se confondent que quand la sur-* face est de révolution.

QUAiaiËlIB PA&TIB, CHAPITHE SIXIÈME. M9