CHAPITRE VL

Application générale de Tétude des courbes planes à la construction des équations

déterminées.

123. En terminant l'étude élémentaire de la géométrie plane, d'abord générale, puis spéciale, il importe . de caractériser sommairement l'application naturelle de l'ensemble des notions ainsi acquises à la constnicHan des équations à une seule inoonnae. Au début de ce traité, nous avons considéré la constraction des formules proprement dites fournies par la résolotion des équations , et consistant dans la simple substitution des opérations graphiques aux calculs arithmétiques indiqués pour l'évaluation de chaque résultat. Il s'agit maintenant d'une transformation , à la fois plus difficile et plus importante, où la figure doit suppléer à l'ensemble total de l'élaboration abstraite , soit numérique , soit surtout analytique , d'une équation qu'on ne saurait résoudre, et dont les racines réelles seront pourtant graphiquement assignables. Cette utile conversion , si soavent destinée à compenser, quoique incom|déteiûent , l'extrême imperfection nécessaire de la résolution des équations , consiste à concevoir ces racines c(»nme les abscisses propres aux intersections de deux lignes convenablement choisies , d'après deux équations à deux variables susceptibles de reproduire l'équation proposée f{x)=:0 par l'éUmination de la variable auxiliaire^. Une telle condition fondamentale pëht être, analytiquement, remplie d'une infinité de manières : puis<^e, au couple quelconque d'équations qui y aurait satisfait, on pour^ i)ût toujours en substituer bemcoup 4'aujtres équivalei^ , dos

MO «KOMéTRIB n.ANE.

à deux combinaisons distinctes, mais d'ailleurs arbitraires, de ces équations primitives. Il est même aisé de sentir qae cette indétermination subsisterait encore après avoir choisi à Tolonté fune des deux équations auxiliaires 7 (^, ^)=0 : car, il suflBrait, par exemple, de prendre l'autre suivant le type ? (•^?^)« ^^ i^^y) -i-fiJ^) = ^' où le second (eLCienr^{x,jr) désigne une fonction tout à fait quckoaque; sans que ce mode analytique soit', à cet égard y le plus complet, il est assez étendu pour faire ici lunteraeni ressortir l'extrême dîTerBité 4e6 systteies de cOBStructioii propres à cbaipie cas. Sons Ya«peot g>te* métrique, cette varîélé est encore mieux év>îdeat«; ovdrela faculté de cMit)i«er les «ibscisses cherdiéeB avec des ordonâées arbitrages, 14 «sC ckir sarlout que , après avoir fixé les ialerseottons proposées , on y peut faire passer, d'une infinité de manières 9 toutes les sortes de lignes qui exigent un plus grand nombre de points pour leur détermination.

GettedoubleapprécâatioiiioëiqaesnffisamTDentqae toute la diffiinilté de oescMMtffUctions consiste essentiellenentè y«ii}pl<rf«r les ligaes les plus œnvenables au but que l'on se propose. Si , comnw il arrive soavent, la figure n'est introduite qu'à litre d*artifice logique , ce* qoA constitue, au fond , la haute utilité d'une telle transformation , on tiendra moins à simpiiipr sm tracé effectif qu'à rendre sa conception pius directe et plus spontanée. Dans ce desseiti, le meilleur mode consiste ordinairement à emn^ biner une ligne droite avec la conrbeeorrespondante à Téquatiott donnée, en considérant , par exemple, isuiyant la forme la plus usitée^ les racines réelles de/ (j:)3=:0 comme les abseisses des points où la courbe ^«/(j?) rencontre l'axe dès x. Mais, quoique ce mode s({it constamment le plus naturel, il faudra presque toujours l'écarter quand, au contraire, il s'agira d'ntiKser finalement la figure dans la détermination effective des racines oonsidérées t on préfère alors compliquer un peu l'une des deux

QUATRIÈ1I£ PAXtUt^ £SBAH1!RB SIXIÈME. 411

Hgnfls introriuitM afia de poayotf dayaatag^ «mirilifier Fau(r«, Mvaat une loi de coiapensation nécessaire ci-après ej^Uquée. Iâ4. Psiur apfirécier comrenabkment «eUe applicaikMi foodamentale de l'ensemble de la géométirie plane, il importe de la coBC^oir iMbitaellement comme également oanv^nable à tons ka ^aures possibles d'équations déterminées, stnssi bien transeendantes qu^algébriqnes. Sok à construire, par exemple, réqualioB x lang xssi. Au lieu du mode oatard, qui exigerait la considération d'une courbe trop compKquée j^s^x tang x^ aa pourra d'abord combiner la courbe trigonométriqiie, haie ieonceyoir, ^sstang x, arec Thyperbole éqnilatère xx^i^ Hais on peu de réflexion fait aisément sentir que cette derniène «Qnrbe pourrait étare iwmplanée par nue simple ligne droite ,

sans que ia prcniàre devint réellement plus difficile à tracer :

car, il suffirait de considérer la courbe y = : = cot x

tang X

comme coupée par la bissectrice ^~ x ,* or, cette courbe n'est

aiUre , au fond , que la précédente , déplacée boricontaleinent

de -, et tournée en sens contraire. Une telle ligne étant compo-

sée ^w»B infinité de filets identiques, comK>9 cb^ciin entre deux asymptotes Terlicales, et dont les centres ou loflaKions sesuooè- 4ent, à intervalles égaux, sur l'axe horizontal, la figure indir qnera nettement une infinité de racines réelles, tendant de fUm en plus à se confondre avec les abscisses des asymptotes voisines, eoaformément à la discussion ^traite de réquation proposée. Goosidi^owi encore, dans l'autre classe des équations tranS'^ cmàafAe^» le cas fort simple x log ar=a\ Id te mode le pbw oonvenable consistera k combiner la togaritfamiqnej^aeiog 4: ivec Tbyperboie xy =0" ; s\ on remplaçait , comme cj-dessm , cette dernière courbe par la droite ^ = ^c^ on serait ^lors for/sé

d'employer la courbe transcendante j^= , dont la corn-

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plication supérieure ferait plus que compenser la simplificatioii inhérente à cette snbstitntution. En conseryant donc le prender système , il sera facile de reconnaître que Téquation proposée admet une seule racine réelle.

Soit enfin Téquation a:-|-sin x^a. Le meilleur mode y consistera éyidemment à couper la courbe des sinus^=sin or, composée d'une infinité d'ondulations égales et altematiyes , dont les centres ou inflexions sont équidistants, par la droite y^a — x^ parallèle à la seconde bissectrice , et qui déterminera ordinairement trois intersections de part ou d autre de Taxe horizontal, sauf le cas du contact, qui ne pourrait avoir lieu qu'autant que le terme donné a serait un multiple impair de «r. Cette dernière appréciation résulte aisément de la considération spéciale de la tangente à l'origine , évidemment confondue ici avec la première bissectrice , d'après la limite naturelle du rapport -.

125. Envers les équations algébriques proprement dites ^ les différents systèmes de construction sont nécessairement assujettis à une condition fondamentale qu'il importe de connaître , d'après le .théorème d'algèbre qui assigne, comme limite supérieure du degré de l'équation finale, le produit des degrés des équations à deux inconnues entre lesquelles s'accomplit rélimination. Suivant cette notion générale, les degrés des deux lignes employées à construire chaque équation déterminée doivent donc former toujours un produit au moins égal au degré de celle-ci. Par conséquent , si l'une de ces lignes est droite , l'autre sera nécessairement du même degré au moins que l'équation proposée. C'est pourqud , afin d'obtenir une simplification moyenne , à peu près équivalente à l'égard des deux lignes introduites ) on doit communément préférer, quand il s'agit d'une construction effective, d'élcyer le degré de l'une pour