QUATRIÈME PARTIE, GHAPltRti SmÈMË. 4iâ

poùtoii^ abaisser celui de l'autre. Appliquons maintenant ces notions générales aux équations des quatre premiers degrés.

Sans le premier, les deux ligneà peuvent évidemment, suiyaot cette loi , être de simples droites , et ce cas correspond , en effet, à la construction des formules rationnelles, d'ailleurs entières ou fractionnaires, toujours réductible à un certain assemblages de quatrièmes proportionnelles , suivant les explications spéciales du n° 15.

I Quant à l'équation du second degré j:*+/?j?-|-î = ^» ^^lï^e des deux lignes devra nécessairement'cesser d'être droite, et derenir an moins une section conique. Le mode le plus naturel consisterait à combiner la parabole^ = x^ -^-px avec rhorizojitale^= — ?• Mais cette courbe peut être aisément remplacée par un cercle, que couperait l'axe des x. Car, en faisant j^^O dans l'équation générale du cercle {x — af-\- ( ^ — 6)' =>' , elle devient x'— 2(u:+(a'+6'— r') ;=0, de manière à pouvoir représenter, d'une infinité de manières , toute équation du secwd

d^ré, en posant a=— -/?, r= \/ - p'— y +6% 6 restant

arbitraire , et pouvant toujours rendre r réd. Si l'on place le centre sur l'axe horizontal, la construction reproduit spontanément la formule algébrique ordinaire, pour le cas des racinçs

réelles.

Considérons maintenant les équations du troisième et du quatrième degré, qui, suivant la remarque initiale de Descartes, peuvent, sous cet aspect, être simultanément appréciées, comme exigeant naturellement les mêmes moyens graphiques. On ne pourra plus les construire par la combinaison d'une droite et d'un cercle , ni par celle de deux cercles , qui, d'après une exception spéciale fondée sur la, nature algébrique des équations circulaires, n'a pas, au fond, plus d'étendue analytique, puisque la soustraction de deux équations de ce genre en fournit une du

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premier degré. Le iBode \e plus simple consistera donc ici dan» rialersectiOQ de deux secUons coniques , dont Tune pourra être prise arbitrairemeoi. Soil Téquaiion x^4-/?a:'+ qa:=r. On y peut employa, par exemple^ la parabole j:'=^, et Thyperperbole x^-^P^-hi^^^^^ ^^ Thyperbole plus compliquée jc^'}-px'^'\-qx'=zt : en ajoutant ou retranchant entre elles les deux équations primitives, ou leurs multiples quelconques^ on pourra d'ailleurs substituer à ces courbes une infinité d'antres couples de sections cotiiquesi II en serait de même pour Féquation du quatrième degré a^'\'px^-j-qx*-\"ra:^=s, où, en posant d'abord x^ =^, on aurait ensuite >^"-f"A'**^^ +S^i+''*^ ■='

ou y -^rp^icy •\-qx' + rj:=S.

126. A regard des équations du troisième et du quatrième degré , n faut maibtenant apprécier spécialement le mode trèsremarcjuable suivant lequel Descartes a finalement oMslitaé leor construction effective y en montrant qae^ du moins après qiMilqties f)réparatlotis faciles ^ elle petit toujoars résultai* delà combinaison d'une parabole donnée avec un cercle convenablement choisi, de nianièreà déjpendre du tracé le plus praticable que puisse, évidemment, comporter un pareil cas. Cette expli* cation n'est directement relative qu'aux équations du quatrième degré : mais il sera facile ensuite d'y ramener constamment celles du troisième , en y introduisant artificiellement un nouveau facteur arbitraire x — a^ qu'on prend communément égal à x^ pour plus de simplicité : l'intersection factice ainsi surajoutée devra être soigneusement écartée de la figure définitive.

Soitdoncseul^detit à construire, de cettemailière, réquatioa

Gomme la 'généralité du mode proposé ne doit évidemment, dépendre que de* la disposition relative des deux courbes , et non de la situation de chacune envers les axes coordonnés , on

QUATRIÂHB PAATIE, CMAStVlKB SIXÛÈMË. ki&

pourra toujpurs adopter la forme la plus simple de Péqjoation parabolique ) pourvu que Féquation circulaire reste pleinement générale. Toutefois, il faut reoiarquer que la parabole doit pouvoir s'étendre horizontalement dans les deux sens, afin qae toutes les racines réelles de Téquation proposée puissent être pareillement construites , quel qjoe soit leur signe. Il badra donc employer, pour Féquation parabolicpie ,. la notation inusitée jc*=:my. Sa combinaison avec le type circulaire (x — a)'4-(^— 6)*=R' fournit réqfiation finale

Qr, en la confrontant à la proposée , on reconnaît aussitôt' que femr ittentification ne saurait devenir possible tant'qtie celle-ci contient' Ife terme en x', qui manque a l'autre: Ce mo^fe grapMique exige donc une certaine préparation algébrique, tfaiîleurs peu gênante , consistant' à faire d'abord' disparaître ce

terme, par le changement de x en j: — ~^, qai éqjaivaut géomé-

triquement à déplacer Torigine de £' vers Ik gauche. Ainsi, la

OQDstiniclioa relative à. réq|iatM»i. con^nablement préparée con?iendna)aa8si à réqiiaiion primitive ,. à Taide d'an égal déplacenifiiit inverse de liorigine oûrrespondante.

En^ sappssmt maintenant que Véquotion proposée sdt déjà pnvée desoB seeond tecme, la? comparaison précédente donne, pottr tes- éléments^ géeaiâtri€pies«i}u!oerole*chencbé>s le» formules

tJi ;^ X, «= JL , R= Jl^/r--|-//^> -îO*+W.s. 2 2w 2m 2m

Les coordonnées du centre resteront toujours réelles et finies , quelquesoit'm : lèrayonçourraJ'être aussii(|aaiidtaiénae»«B»tt oigaiif ^^sans «m'ilen résulte , pour ce paramètre , aucune autre nrtrictiw^qpa celle relative à uut certaine limite inférieure, Â

une parabole quelconque , on pourra donc constamment adapter un cercle, de manière à construire toute équation du quatrième degré convenablement préparée. Quand cette équation résultera d'une équation primitive du troisième degré , il convient de remarquer que , suivant le mode le plus ordinaire , le cercle passera toujours à l'origine, -qui constitue alors l'intersection factice , finalement superflue, d'après la multiplication préalable par X : on pourra donc, en ce cas, borner la construction à la détermination du centre , sans aucun besoin de calculer spécialement le rayon , de manière à rendre inutile la plus compliquée de ces trois formules.

Dans l'usage matériel d'un tel procédé graphique , la facnUé de choisir à volonté le paramètre de la parabole acquerrait beaucoup d'importance réelle , en permettant de dispenser d'abord de la plus pénible partie de chaque construction particulière par l'uniforme introduction d'une seule parabole soigoensement exécutée d'avance , et qui y diversement combinée avec des cercles convenables, pourrait également convenir à toutes les équations, successives du troisième ou du quatrième degré.

L'intersection des deux courbes aura lieu habituellement en un ou deux|couples de points , ou sera totalement impossible. Ces trois cas, pareillement normaux , seront séparés par deux sortes de cas exceptionnels relatifs au contact , et ccHuportaot une seule rencontre ou trois. Il est aisé de sentir la concordance spontanée de ces diverses indications géométriques avec la notion algébrique sur la conjugaison nécessaire des racines imaginaires.

Appliquons, par exemple , ce mode spécial à l'équation delà

3 h trisection de l'angle j:^— --j:-|--=:0, où h désigne le sînus de

l'angle donné, et x celui de son tiers. En l'élevant au quatrième degré , par l'introduction du facteur x , la réduction préalable

QUATEIËIIB PARTIB, CHAPITRE SIXIÈME. fclT

s'y troave spontanément établie , et les coordonnées du centre

do cerde sont 6 = - , a = — - , si Ton prend le paramètre de la

parabole ^al à Tanité , c'est-à-dire an rayon trigonométrique* Envers nne parabcde tracée d'avance, cette relation servira, an contraire, à ajuster convenablement ce rayon, et, par snite, la ligne donnée b , d'après le mode que j'ai expliqué en son lien poar la détermination graphique de ce paramètre.

Soit encore l'équation très-simple ^=2^^, qui se rapporte directement au problème de la publication du cube. La préparation algébrique y est pareillement spontanée , et l'on trouve

mrs €=-/», a ==— - : en sorte que le cercle sera très-facile à

construire, même en laissant m quelconque par rapport à a.

En multipliant de tels exercices , le lecteur devra s'attacher, soit à y comparer judicieusement ce mode spécial avec les divers autres systèmes graphiques , soit aussi à y faire sufi^mment concorder les indications particulières de la figure avec celles que fournit directement l'appréciation algébrique de chaque cas. Sous ce dernier aspect, il serait aisé, par exemple, de constater , envers les deux équations précédentes, que la construction y confirme l'existence nécessaire de trois racines réelles dans la première , et de deux racines imaginaires dans la se* conde , quelles que soient les données respectives.