CHAPITRE PREMIER

Notions fondaniMitalei,

127. Notre étude élémentaire de la géométrie analytique n'en caractériserait point suffisamment le véritable esprit fondammtal , si ngus ne consacrioas pas la On de ce traité à apprécier sommairement son indispensable extension à la théorie générale des smrfaces courbes, en tant qu'elle reste accessible à l'analyse ordinaire. Outre s^ propre importance scientifique , ce dernier ordre de conceptions doit exercer spontanément une heureuse réaction logique sur Vensemble de la géométrie plane , dont les principales notions » ainsi considérées finalement d'un point de vue sl^)ériettr , deviendront à la fois plus simples et plus systématiques. Quoique cette étude des surfaces n'ait été méthodiquement instituée que depuis un siècle environ, et qu'elle doive ^e jusqu'ici beaucoup moins développée que celle des lignes ; ^ cgMtitue évidemment, par sa nature , un. sujet bien plus

iâO GtiOMÉraiB DANS L'ESPACK.

Taste en même temps que plos difficile , poisqae les surfaces comportent nécessairement pins de yariété que les lignes. Celles-ci , en effet , résultant do moavemeirf d*an simple point, ne peuvent différer entre elles que par la loi d'un tel déplace* ment ; tandis que, outre cette source de diversité, qui alors devient même plus étendue, les surfaces se distinguent surtout les unes des autres d'après la nature des lignes génératrices. Mais Tessor plus récent de cette partie de la géométrie , sous Faccomplissement essentiel de la grande rénovation cartésienne, a dû d*abord y faire ordinairement prévaloir de meilleures habitudes logiques, et y restreindre aussi les études actuelles aux spéculations les plus générales ; en sorte que , malgré sa complication et sa fécondité supérieures , nous pourrons ici la caractériser suffisamment à l'aide d'un développement beaucoup moindre que celui qu*a exigé la géométrie plane. Ses conceptions ne constituent d'ailleurs , à divers égards , qu'une simple extension de celles qui sont propres à la théorie des lignes ; or, notre exposition en ayant fait directement ressortir l'esprit général, le lecteur n'éprouvera aucune grave difficulté à les modifier spontanément d'après cette nouvelle destination. Ainsi, en vertu des avantages inhérents au plan qui caractérise ce traité , cette dernière étude géométrique y devient naturellement susceptible d'une forte condensation , en nous bornant à y indiquer rapidement tout ce qui est essentiellement analogue aux notions déjà établies, et réservant nos ex(riications spéciales pour les seules considérations -qui soient vraiment propres à la géométrie à trois dimensions.

Quoique la théorie des surfaces constitue son principal objet, elle est aussi destinée nécessairement à compléter et à généraliser la théorie des lignes , que nous avons dû réduire jusqu'ici aax courbes planes. Or, l'importance et la simplicité de ce cal ne doivent pas empêcher de reconnaître combien il est paetr

PREMIÈRE PàRTIB, GHAPITAB PREMIER. &21

cidier dans Tens^nble total des figures curvilignes. Car, si les courbes cyliadriqnes , par exemple , étaient étudiées aussi spédalement qae celles qu'on peut tracer sur un plan, elles offiriraient certainement autant de diversité au moins : il en serait de même parmi les courbes coniques^ ou sphériques, etc. Tontes ces formes si variées restent encore enveloppées sous h commoiie dénomination de courbes à double courbure , relative au caractère fondamental qui les sépare des courbes planes : en partant de Fétat rectiligue d'un fil parfaitement flexible en tous sens , celles-ci résulteront d'une simple flexion 'proprement dite, laissant tous les éléments du fil dans, un môme plan ; tandis que les autres , s'écartant davantage de la figure initiale exigeront, en outre, une véritable torsion ^ changeant, en chaque point , la direction du plan de deux élânents consécutifs. Malgré que l'usage de ce terme expressif tende habituellement à dissimuler l'extrême diversité naturelle des lignes correspondantes, on sent néanmoins qu'il existe nécessahrement parmi elles bien plus de variété qu'entre les courbes planes , quoique les géomMres s'en soient jusqu'ici beaucoup moins occupés. L'étude même des lignes ne saurait donc acquérir , en géométrie plane , toute la plénitude et la généralité convenables, outire que les seules figures qu'on y considère ne peuvent d'ailleurs y être envisagées dans leurs plus vastes relations mutuelles. Néanmoins , l'appréciation des courbes n'est presque jamais qu'accessoire en géométrie à trois dimensions, où la plupart des conceptions analytiques, sœt âémentaires, soit transcendantes , ne concernent directement que les surfaces , à l'étude desquelles on rattache les spéculations sur les lignes. Toutefois, on ne doit pas oublier que, dans \e développement historique de la géométrie moderne, ce *rmep ordre de considérations a constitué, entre la géométrie plaae et la géométrie à trpis dimensions, unç sorte de transiticm

1^22 GéOBlÉTRIE DANS L'ESPAGB.

naturelle , dont la première ébauche remonte înwpi*k Cescartes, et qui tendrait à se reproduire spontanément dansk marche générale de l'initiation individuelle, si l'essor diretl des plus larges pensées géométriques n'y permettait aujotirdliri une évolution plus rapide.

128. Il faut d'abord établir ici, comme en géométrie plane, la conception préliminaire des systèmes de coordonnée», sans laquelle , de part ni d'autre , les idées géométriques ne sauraient devenir réductibles à des idées numériques, seul sujet immé^at des spéculations analytiques.

Cet indispensable préambule consiste maintenant à déterminer un point dans l'espace par l'intersection de trois surfaces, dont la nature et le mode de variation caractérisent le système de coordonnées adopté, et dont une seule condition restée arbitraire indique, en chaque cas, la coordonnée correspondante. Dans le système reclilîgne proprement dit , qui , encore plus que pour la géométrie plane, mais d'après dej pareils motîfe, doit ici être presque exclusivement employé, ces trois surfaces sont toujours des plans respectivement parallèles à trois plans fixes, que nous supposerons ordinairement rectangulaires, et qui se coupent selon trois droites, dès tors rectangulaires aussi, que l'on désigne également sous le nom à'axes. Les coordonnées de chaque point sont ses distances à chacun de ces plans coordonnés, mesurées suivant l'axe extérieur, et le plus soiH vent sur ce même axe, où elles représentent d'ailleurs ks projections respectives de la distance du point à Vorigim commune des plans ou axes fixes -. on peut en outre, les former par deux projections successives du point proposé M (Hg. ê&j , SW l'un des plans coordonnés, et de cette projection N sur Fun de? axes de ce plan ; ce qui est surtout propre à mieux indiquer ^ liaison mutuelle des trois coordonnées. Quant k la manil^ dont leurs valeurs combinées déterminent la position du y^nnt

sflWMt <qp|K)sé i FiNrigliie dan» la faraUéU^ifièdd ooMÉnâ tnt kl axes «Tee des côtés égMii ans coordonnée» r^sp^iviif t m s'aidÉuit do la comtniotion analogneen géométria plane, a* peut aom Miployer les coordennée» j? et jr» ^w nMs si»|fo^ seront babilciaUeniieiit brarnBoataloi , 4 détonniner, anmni le «iode ordinaire, la prc|ectioB horixontale N da poitA therdUy dont la hauteur Tortii^ swa iudifnée ensuite pw la troisième ^ocHrdonnée s. Gest trois eaordeiiuées sont évidentnKsnt aiiteep* tiUe» de ^gne , et il est indispensable d'y ayoir ég9std , afn 4a dMinguer soffisanmient ks huit régions dans lesquelles Tespaon fst dî¥i»é par les trois |dans fixes iadéiniaieiit praloiigés en ifjm sena, et dont chacune pourrait égakvi^ contenir à un nlÉiaa gionpede Talews de jci jr^ z, si la considération du si^Mi ne dissipait Fambiguïté géométrique propre àchaqne distance/ Vwcàxf» systôntô ^ui, à défaut du précédent^ soitqiseli|iiefais enployéyOOHBae en géométrie plane, mai» enc(»«piui rarënienÉ, sons le nom de jpoMre, consiste h détcnmner nu poM, dai» l'ea-' pdcey d^i^rès sadisUoee u à un point fixeO (^9. 8t) etlaa deux angles fet >^farniés par cettedroite TariaUe arac deuxaoua inaa Of, 04^, ^e nous supposerons eomnmnéaaoBt reelangtdasias et horMsotttaux. Chaque poûrà M résulte alors de l'intafseelifl^ d'âne ^pbére, à centre fixe, dont le rayon variaMa est Indiqué par la valeur de la coordonnée linéaire 1I9 aTee danx cteas cnr- «olalfes *olts , ayant respectivement pour axes fixes les den» aies polaires, et dont ks angles variaMes sônl égaux aux vafcnrs correspondantes des deux coordonnées angidahres T el +.

On adopte quelquefois, surtout en mécanique» dus la théorie analytique des rotatioûs, un syattae, que Vextréitie pénUria de notre lapgage géométrique conduit aussi à qnalifkr ordinai^ ïemeiit de polaire , et qui pourtant dilKre b^^ *Bt,iiwi«|ii'tt«i«, eônuBoW.rtelMptotanai^

IMl (HiOlOiTEIS DAN9 t'BSPACB.

fhn fiiiisl noniBié, Il eonsMe à dét^mioer d'abord la projec^ tkm horiiOBtale N da point proposé d'après ses coordonnées ppiatrés planes r et a , pour aboatir ensuite an point M à Faide de rinolinaison o de son rayon vectenr snr nn axe pérpenificalaire an plan correspondant : cette troisième oo(»>donnée est la seole vraiment oommnne ans deox systèmes , en tant qn'^e assajettit aossl le point à faire partie d'nn cône dont Taxe ert fixe i mais les denx premières correspondent à de nouTelles soHIsiees, Tone indiquant on cylindre vertical an lien d'nne q^ère, et Taatre an plan vertical an lieu d'an cône. Toutes les diflficultés qae pourrait , en général , présenter l'exacte appréciation comparative des divers systèmes de eoordcmnées dans Fespace seront tonjoars faciles à dissiper de la même manièie, par un judicieux examen respectif de la nalare et du mode de variati<« des surfaces introduites.

Outre ces systèmes de coordonnées, seub usités, la géométrie analytique à trois dimensions en ponrrait évidemmrat adopter une infinité d'antres, dont la variété y est nécessairement encore plus étendue qu'en géométrie plane , vu la multiplidté et la complication supérieures des lieux ainsi combinés. Si, par exemple/ on déterminait un point d'après ses distances à trois pèles, il résnlterait de l'intersection de trois sphèrps à tentres fixes et à rayons variables. De même, en introduisant les distttces de chaque point à trois axes donnés , il se troaverait à la rencontre des trois cylindres variables construits autour de ces axes. Mais il serait superflu d'insister ici sur des explications directement dépourvues de toute utilité scientifique, et dont l'office logique est déjà rempli spcmtanémBit par l'entière géné^ ralité que le lecteur a hnprtmée babituelienient à une telle notien en gémiétrie plane.

42^, Gett^ conception préliminaire permet d'aftiréoîer inimé. diateamm la corrapond^ipe fondamentale entre Ifs f urfacit

PKBiaÈRK PAETIE, GHAPinB PBBUIEB. i9&

etto équations, institaée d*abord par Glairaut, suivi d'Eider , d'après une heureuse extension de la grande idée mère que Bescartes avait fondée un siècle auparavant.

Quand un point se déplace arbitrairement dans l'espace , ses trois coordonnées constituent des variables entièrement indépendantes. Mais si , sans avoir un trajet fdétermipé , il se trouve assujetti à rester sur une certaine surface quelconque, celle-ci tiendra lieu naturellement de l'une de celles qui correspondent aux coordonnées adoptées, dont deux seulement suffiront alors à l'entière détermination de chaque position , en sorte que la troisième résultera nécessairement des autres , suivant une équation correspondant à la propriété commune aux divers points de la surface proposée , et dès lors susceptible de représenter analytiquement cette surface, dont les moindres variations géométriques, même les plus simples déplacements, affecteront plus ou moins une telle équation, où d'égales valeurs das deux variablesindépendantes devraient procurer des valeurs nouvelles à la variable dépendante. C'est le même principe fondamental que dans la géométrie plane , avec une innovation, capitale, relative à l'indépendance simultanée de deux variables, qui résulte ici de l'indétermination supérieure des lieux considérés : l'étude des surfaces constitue habituellement la première source historique et le meilleur type dogmatique d'une telle pluralité , qui a tant agrandi l'ensemble des spéculations analytiques. Toute surface rigoureusement définie d'après une propriété commune à tous ses points est donc représentée analytiquement par une équation à trois variables entre leurs coordonnées quelconques. Dans le système rectiligne , nous supposerons habituellement,'ponr simplifier le discours^ de manière même k faciliter accessoirement la pensée, que les deux ordonnées horizontales x et y soient les variables indépeur diifttes, et que la fonction proposée se rapporte à TcHrdonnée Yorâcales.

un» ûéùisimm dans l'ësMcs.

Il mrait superflu d'expfiqner tormellement , à ce ^jet, que, comme en géométrie plane , réqnatioif de chaque lieu sera relative à la nature des coordonnées employées, flmif d'aîlfimrar pleinement indépendante , pour diaque système, de la dhrerslté des définitions.

Nous reconnaîtrons bientM que , la géométrie comparée ètàût aujourd'hui beaucoup plusarancée envers les surfaces qtfenVcrf les courbes , Tart de former les équations propres ai» diTerse» surfaces est déjà susceptible de certaines règles générales , dont l'étude constituera le principal objet de notre élaboration actuelle , et qui ne comportaient aucun équivalent dans la géométrie à deuit dimensions. C'est pourquoi nous pouvons MgagOT cette introduction de toute série d'eiemples prélîminaires relative à cette formation , qui doit être ensuite sofgneusetnent appréciée. J'en indiquerai seulement id, pour fixer les idées, tth très -petit nombre , directement résultés dé h formule é!étnefntaire , d'ailleurs indispensable à connaître , qui détérftiine fil distance de deux points dans l'espace d'après leurs coordontiées rectilignes.

Si les axes sont rectangulaires, ce qui cotistftue le seul cas vraiment usuel , il suffira de concevoir, du point le plus bas , une horizontale menée à la rencontre de la verticale de l'autne^ point : le triangle rectangle ainsi construit , et dont la distance cherchée sera l'hypoténuse , présentera deuit côtés cottnus , l'un égal à la différence des ordonnées verticales des deux points, et l'autre à la distance de leurs projections horizontales , préalablement assignable d'après la formule analogue de géométrie plane. Conformément au théorème de Fjrthagore , ht distance de deux points est donc exprimée , dans Tespace , cmnme sur un plan , par la racine carrée dé la somme des carrés des différences de leurs coordonnées respeetivet : seule ndeni cette formtde se compose id de* trcds pâlottes ati NW dt

PREUIÈftS PARTIBi CttAflTiK IVlBIIEft. . VXt

deux. En snppo^nt les ftxes oMiqties , la formule deyrait être bêau<joap plas compliqaée , et deviendrait

rf*= (x"-x'r+ ( y'-yr+ (z"- zj

+2 (j/'— x') {/'—y) cos XY+2 {x"—x') (z"^z') co8 XZ +2 (y—/) (z' — ar'j cos YZ ,

màvvèi one applicatioii très-sisiple du prineipe des profections» que j'aurai bientôt lien d'iadif oer spécialement.

lyaprèa la formule préeédente^ on peot immédiatement former l'équation de la spbére , si I'ûb définit cette snrface , sflOD aa plus simjde propriété , comme le lieu des points équA^ distants de son centre. Il en résulte anssitM réqaation

envers des axes rectangnlaîred , par rapport auxquels a^b,c^ désignent les eoordomtées du centre : tel est le type analytique fondamental qoi doit faire invariablement reconnaître la sfbèce, quelle que puisse élre la diversité de ses définitions géométriques.

On pourrait ainsi , par exemple , manifester aisément la nature sphérique de la surface qui comprend tous lei points de Fespaoe éclairés par deux lumières , en généralisant la re^ cherche du n"* 21. En plaçant Torigine à Tun des points fixes , et dirigeant Taxe des z vers Fautre , cette définition fournit immédiatement , diaprés la formule des distances , Péqnation

a {x'+y+ {z—dy)=: b {x'+y+ z*) ,

qui, ocmiparée à la |Hrécédente, Mt avamtM reconnaître b sphère indiquée à la fin d« n» cité.

La même fo9-miile conduirait aussi fadlemmt à TéqucliOB 4n .quatrième degré

(28 GdOMiTRIB OpS l'ÈSPACS.

pour le lieu des pointe de l'espace dont les distances à ieax pôles sont inversement |woportionnelles , en généralisant la définition dn n"" 22.

130. Quant à la représentation analytique des ligfnes dansr l'espace , notre principe fondamental , snr l'exacte appréciation du degré d'indépendance des variables propre à diaque cas, démontre directement qu'elle doit ici s'accomplir suivant un tout autre mode qu'en géométrie plane. Car, le trajet du point décrivant se trouvant alors fixé , une seule de ses trois coordonnées reste arbitraire , et les deux autres en résultent nécessairement à la fois , la ligne donnée suppléant naturellement aux deux surfaces qui leur correspondent ordinairement. Or, une équation unique ne pouvant jamais déterminer qu'une variable unique , ce lieu plus restreint ne pourra donc être analytiquement caractérisé que' par un couple d'équations » dont chacune , à cet égard , serait isolément insuffisante , et qui sabordonneront , par exemple , les deux coordonnées horizontales X et y h l'ordonnée verticale z , que nous j supposerons habituellement indépendante. Ce dualisme indispensable , qui constitue une profonde différence entre la géométrie à trois dimensions et la géométrie plane relativement à la théorie analytique des lignes , correspond géométriquement à la considération de toute ligne oonmie l'intersection de deux surfaces , respectivement résultées de l'interprétation séparée de chaque élément d'un tel couple analjrtique. Rien n'est plus propre qoe cette notion fondamentale à faire déjà sentir nettement que l'étade des surfaces constitue surtout le sujet naturel de cette seconde moitié de la géométrie géniale , où l'analyse ne peut exprimer les idées de lignes que d'après une combinaison indirecte et compliquée. Si jamais les divers ordres de courbes à double courbure, soit cylindriques , soit coniques , soit sphériques , etc. , sont aussi ppécialementétudiés que les cotirbes planes, il faadr? i

PBBMIÈftB PAÂTIE, CHAPITRE PUBMIEB. ilHd

Éikmioxkie, en revenir, à lenr égard, comme pour oellcs-ci , à rasage d'one seule équation à deux variables , envers des coordoonées convenablement choisies , en chaque cas , d'après la nature de la commune surface considérée : telles seraient , par exemple , quant aux courbes sphériques, des coordonnées sphériques analogues à celles employées en géographie et en astronomie. Mais , tant que toutes les sortes de lignes rèsicaront assujetties , dans l'espace , à une même appréciation analytique ^ on ne saur^t éluder la nécessité de représenter analy tiquement chacune d'elles par la coexistence de deux équations à trois variables , quels que doivent être évidemmait les graves incon* vénients d'un mode aussi pénible et aussi détourné.

Un tel dualisme analytique comporte nécessairement , envers chaque ligne , une infinité de formes différentes dans un même système de coordonnées ; car , les deux équations primitives n'étant alors conindérées que rdativemept à leurs solutions communes, on en pourra déduire une foule de comlrina^sons &tinctes , dont deux quelconques constitueraiei^t un couple équivalent au premier , quoique composé d'éléments diSn^ents. Géométriquement, cette diveri^té nécessaire devient enc(»re plus sensible , puisque la même ligne pourra toujours résulter d'one infinité d'intersections de surfaces , celles-ci n'étant assujetties qu'à faire partie de celles sur lesquelles on peui^tracer k ligne considérée. On utilisera souvent une telle variété , conçue suivant toute son ^tension , en choisissant les surfaces dont les équations peuvent être le plus simplement formées : c'esi ainsi , par exemj^e , que , de toutes les cond>inaisons géoméques propres à produire le cercle, celle de la sphère avec le plan s'adaptera mieux^ qu'aucune autre à l'expression analyti- ^ de cette courbe dans l'espace. Mais, quels que soient les aiuntages réels de cette multiplicité, elle devient, aous un

Hfi%vel 9ef^ , k 3wr$Q uéc^i^ftir^ d'une flich^ise ai&bigvité)

MO «ipNiina bans i.*bspagb.

particttUàre à la géométrie à Iras dônenricms, oa l'cH^est ikui exposé fréquemment à juger distinctes des lignes qui pourtant coïncident , quand les deux équati(ms de la première , quoi^ie séparément différentes de celles de la seconde, constUue^t pourtant un couple^ géométrique ou analytique, pleinement équivalent.

n importe donc d'apprécier maintenant » avec toute la généralité convenable , le procédé fondamental , tn^ étroitemsnt conçu jusqu'ici , d'après lequel on peut réparer cet inévitable inconvénient, en organisant un mode invariable pn^re à faire toujours reconnaître, sana aucune équivoque, chaque Sgne spéciale dans un même système de coordonnéeSh En oonsidérant d'abord ce procédé sous le simple aspect analytique , il consiste, en général, à séparer, par une douMe éUminatioa , les deux fonctioiis que contiennent simultanément les deux équatiom primitives, /,(j:,j^,z)=0 et/, (o:,^, 2) = 0,de la ligne proposée. Puisque, en efiet, les valeurs de z détenrimntatara celles de jç e( j^, on conçoit que l'ambiguïté n'existe qu'^n vertu du mélange de ces deux fonctions, qui peut s'opérer d'une infinité de manières. Si on les sépare , en éliminant , Vmiùiyi tantôt jc y entre les deux équations données , ces deux résnttats j?=<P (zjet^ss+Cz), ou?(j:, z)=0et4^ ix-, z)=0,sere* trouveront nécessairement toujours les mêmes, du moins ao fond, quel que soit celui des div^s couples équivalents d'on ils aient pu être successivement tirés : toute dffièraiee réeBe, aoit envers tous deux , soit même quant à m seul, constaterait certainement la discordance effective des coD^inaisons conrespondantes.

Pour mieux aiq[)récier la destination de cette double éUmir nation , il nous reste à concevok son int^prélation géométrf que^ qui varie inévitablement selon le système de co(NrdonB^ .aâi^lé. Bans le système reotaigae, l'êquatêMi déMmisêei^

pftBMiiw ifjMm^ mAPmn p«bmier. 431

^W»4ak TamUes doit cooTenîr, oon-feolemeot au dirers fm^ de la ligne propoiée, mais aussi à toos eeia des droites tadéfioies qai s'y dirig«paieiit parallèlemeat à cette coordonnée, ^ dfwit l'ensemble fomierait la surface cylindrique qoi senri- •mit A projeter la ligne sur le plan des deux coordonnées que mfenvie exfiosîyemeat une telle équation. Ainsi , ce mode analytique C(H|siste, géométriquement, àcluûsir uniformément, jmpi riufinité de surfaces contenant cbaque ligne donnée» les àmi cylindres correspondants à ses deux projections Ter ticales; leur 4^(Niibiiiaiao9 ima toujours pleinement caractéristique , puisque, constamment unifies pour une même tigne, ils ne psufcnt d'ailleurs nullement yari^ sans la faire aussi changer néoumirement. On voit que la préférence sprataném^t aepCMrdte à ce couple géométrique , entre tous ceux qui auraient pu égakuaient earactémer chaque lieu , doit surtout résulter de la plus grande facilité qu'on trouve à y aboutir analytique* ment, de quelque autre combinaison qu'on soit d'abord parti.

fdtte est la priocipak destination de ce système, primitivement smggéré par la consklération des deux projections, d'où Descartes faisait dépendre la détermination de chaque oouri^e à double courbure. Mais , en conservant cette appréciation initiale, il importe de sentir toujoursque chacune de ces équations k deux variables if{x,z)^0 et 'l'Cj', z)»0, représente, à proprement parler, l'ensemble du cylindre projetant, et non la seule projection eorrespoodante , qui exigerait, en outre, que , par une restriction expresse ou tadte, on supposât nulle la vwriable qui n'y entre pas. A quelques abréviations de langage qu'on puisse être gradudlement conduit , il ne faut janiMS «Aiier 4M > dans l'eiq^ace , toute équation isolée , même à une tariable unique , représente nécessairement «ne surface , et MmmM Ugte ne peut s'exprima* que par la combinaiscmde éfaati[)ns»

43â 6É0MÉTAIB PANS L*£âPACB.

Enfin, quant à cette notion fondamentale, qain*a pu ironà d'analogue en géométrie plane, il convient, pour en miôai saisir l'esprit géométrique , d'en considérer aussi Vinterprél^ tion d'après un autre système de coordonnées, afin d'en écarter le caractère absolu qui Faltère communément. Dans le premier des deux systèmes polaires, par exempte, la doidde éliminalioB ci-dessus expliquée , et qui aura toujours le même office analytique, conduira à deux équations/ (w , f) = 0, /,(» , 4')=0, dont chacune, pouvant également convenir à toutes les posifioM résultées de la rotation d'un point quelconque de la ligne proposée autour de l'axe polaire correspondant , représentera, non plus un cylindre , mais une surface de révolution. La séparfr tion analytique des deux fonctions angulaires y et 4» de II vai'table linéaire u , consistera donc alors , géométriquement j à concevoir chaque ligne comme l'intersection des deui^ corps ronds qu'elle produirait en tournant successivement aatoor des deux axes polaires. Si l'on eût au contraire, éliminé », réquation entre les deux angles eût indiqué un cône ayant pour base la courbe proposée et dont le sommet resterait uniforme» ment fixé au pôle.

Telles sont les notions fondamentales qui démontreât qae > quoique , dans l'espace, comme sur un plan , la pensée géométrique de ligne corresponde toujours à la conception analytique d'une seule variable indépendante , ces deux cas géi^raùx diffèrent profondément en ce que la l^fue , d'abord caractérMe par une fonction unique , ne peut l'être maintenant que par im couple de fonctions de cette commune variable , mutnelieaiBit solidaires à cet égard , et dont chacune isolément convi^aMtt à une certaine surface^ de nature appropriée à cette du 9^ tème de coordonnées adopté.

131. Réciproquement envisagée , l'idée mète de là gédfiiftiv analytique à trois dimensions consiste à concevoir la repréfl^

PREUi^taBtB PAMIB, GOAPITBfi P&EMIGR. hSi

mm nécessaire de toate étpjAiion à tro»» variables, en chaque qfatèmed&coordonnées, par une siffface déterminée, que cette piemiére. définition abstraite caractérise tonjonrs* suffisamment fiieoDsidfrant, par exemple^le système rectiligneordinaire^ ûmt tfabord aisé de concevoir qne le lien géométriqae doit être al(m {dusétendn qu'une simple ligne, pour correspondre à riaràétermination supérieure d'une telle équation, où deux des varia- Uesresteot indépendantes, ce qui permet au point décrivant de tenir une route entièrement arbitrage suivant, chacun des deu axes horizontaux, sa hauteur verticale étant seule fixée d!ar près sa projection horizontale. Mais on peut établir plus cMreqient cette notion fondamentale, et de manière à caractérisa la marche générale . propre à la discussion géométrique des équations à trois variables, en s'aidant convenablement des discussions déjà accomplies en géométrie plane.

Supposons , en eiTet , que , dans l'équation quelconque / {x^jr^ z) =0, on attribue à Tune des variables, z par exenp|de, une certaine valeur constante c, elle se réduira ainsi. à deux .variables, sous la forme/ {a:, y, c) = 0, dès lors restreinteaux points du lieu que contiendrait le plan horizontal z=c : or, en cet état, elle représentera une certaine ligne, que .la géométrie plane nous fera connaître, et qui changera nécessairement, au .moins de position, quand cette constante c, qui y figure à titre de paramètre plus ou moins influent, prendra une nouvelle valeur. Le lieu géométrique de l'équation proposée se montre donc composé, non d'une ligne, mais d'une infinité de lignes, régufièrement superposées par couches horizontales , et constituant, dans leur ensemble, une véritable surface, d'ailleurs fermée ou illimitée, continue ou discontinue^ suivant que les valeurs constantes de z seront ou non assujetties à certaines limites, sapirieuresouinférieuresyhors desquelles Téquation/Cx,^, c}=0

]|fti«oinporterait aucune ligne, cwime n'ayant plus de solutions

fMlflft» Mkm aw aiiiliioali0is antérienrai. Toute sinriwe fo» «•Bt élre engendié par une Ugoe dèternûDée niais BiobOe^ qn xm f alifaront habîtadlemant degénérairice^ gliBiaiit, d'aprti «e kM domite, sur one antre ligne ixe, que noua nonmaroin éktciriee , le Mea géométrique de Véqmtion proposée résoUm 4a MMiTQBiient delaligne/(j:,^, c)=Q, dont la natare défaad snrtottt du mode sniTant lequel eette éqaalioa ocmtiaiU Hjr, et dont le geure de yioriatiOQ se rapporte à sa oomposltioa en ft : il snfira d'assnjettir cette ligne à rencontrer toajoors, par eiienqple, Tune des traces Tertieaies de la surface cberchéé, fn*on déterminera en annnlant^ on jt. Si les trois yariabki n'entrent pas semMablement dans Féquation ^ les trois sortes de conpes de la surface correspondante par des séries de pians parsiléies a«x trois |rians coordonnés ne seront pas égaknMt propres à donner une idée claire de sa génération , et il fondra lyre entre elles on choix plos on moins important. Qn^qnefoiSi d'aSlenrs , les {dus simples sections résulteraient de pians pafalléles dirigés obliquement mx axes coordonnés. Il pomvi même arriver que les coupes les mieux comparables correspondent à des plans non parallèles, dont la succession serait réglée, par exemfde , comme tournant autour d'une certaine droite, ou selon toute autre loi, Enfin, pour indiquer déjà , à cet égard, la plus reste conception géométrique, il faut considérer, en général , que la série de surfaces auxiliaires la plus propre i fournir des sections nettement appréciables pourra, quôi^oe rarement, ne pas se composer de plans, mais pbtôt de sphères, ou de cylindres, ou de oftnes, etc., suivant la nature de la surfiice cherchée. Mais , quel que soit le mode de réduction de la discussion des surfaces à celle des lignes , on voit ainsi que le lieu géométrique de toute équation à trois yariablef se présentera toujours, plus ou menus cfeirement, oomine engendré par une ligne déterminée, ordinairement |daif0)

PREMltM PÀRTa» aUÊtTÊ^ IpHEHIER; 49^

iflimnt , imivaiit une loi toonme > enr «ne ceirtflkie dirèctriee.

La seconde partie de ce tmtté élémenlaire de fèoméMeéM-

IjUipaé à trois di&eosioi» montrera bientét q«e TélabonAion

■ûissanle de la géométrie comparée d'après la grande coBcefh

lion de Monge a déjà pei^mis de sonmettre atijourffhui à^oél-

qofes TtMtables règles cette disonssioa générale «es éqaaliOÉS

des*rfeces^ aussi bien que leur formafion ; ce qui doit ici nous

dtepeiser essentiellement, soasl'un et l'anlwj aspect, des deux

séries d'e&erdces qui ont été indispensables , en géoméMe

phne, pour caractériser suffisamment un wdre de eonsiidé^â-

nom qui n'y eu point réductMe encore à de Trais principes

r&timnelâ. Je val» ddmc me bonier maintenant, iiuant à la dls-

co^oiÉ , comme je l'ai fait d-dessus quant à la fiarmation , à dès

^lofiplès fort sifnples, uniquement destinés à édd^Et^ ce que

*l explications précédetttes pourraient ofrir^e trop abstrait.

Sdlt , d'abor* , Téquatîon x^+y + 2' ==. i , qui , ^ofique éVîdétonnent comprise dans un type connu , doH être actuellement eoDSidéréè indépendamment de toute notion antérieure. En y ifupposant z coosrtant , il en résulte la courbe ctr'+y =4 —<:*■; ainsi le^ coupej fieî*izontalës du lieu sont toujours desc^des ayant leurs centres sur l'axe vertical , et dont les rayons déeroissent à mesure qu'on s'éloigne du plan des jcy^ jusqu'à 4a banteurl, où le cercle se réduit à son centre, après quoi la courbe n'existfe plus, de manière à indiquer les'limites verticales de la surfoce, d'ailleurs symétrique autour du plan horizontal, tîes caractères annoncent clairement une surface de révolution autour de Taxe des z , eu sorte qu'A ne reste plus qu'à déterminer son méridien , servant à diriger le mouvement du cercle l^érateur : il suffit, pour cela, de fairejr=0, ce qui donne à h trace vel*ticale de la surface cherchée, x'+2'=l, une %h^ ëgalemiftit tircidaire, avant aurai son centre àTort&rnie.