GÉOMÉTRIE DANS L*£SPACE

L'ensemble de ces indications successives ne permet pas de méconnaître la natare sphérique da lien proposé.

Considérons ensuite Féquation z = xy. Des coupes horizoutales y fourniraient des hyperboles équilatères , dont le centre resterait sur l'axe vertical , et dont les asymptotes demeureraient parallèles aux axes horizontaux : leurs sommets , ton« jours contenus dans le plan bissecteur, ^ = x , de Fangle des deux plans verticaux , formeraient une parabole , ayant son sommet à l'origine , son axe confondu avec celui des ^ , et un paramètre égal à 2 , d'après sa projection verticale ^'= z. Mais la nature de Téquation proposée indique aussitôt que des sections parallèles aux autres plans cocnrdonnès seraient ici préférables , puisqu'elles consisteraient en de simples lignes droites j;= £;j:, ppnr^=:c : cette nouvelle génératrice, constamment parallèle au plan des xz , quoique sa direction soit variable , rencontre d'ailleurs toujours l'axe des y. On déterminera la meilleure directrice correspondante en cherchant la trace de là surface sur un plan parallèle à celui des^z, par exemple le plan x=£2, qui donnera z = £^, d'où il résulte également une droite. La plus simple génération de cette surface consiste donc , en résumé , à faire mouvoir, sur deux droites 6xes qui ne se rencontrent pas , une droite parallèle à un plan Gxe. Ce mouvement peut d'ailleurs s'opérer, évidemment , de deux manières différentes , puisque , l'équation étant symétrique entre a: et ^, ce qui a été remarqué ci-dessus envers l'un des plans verticaux convient également à l'autre.

Examinons enfin la surface z^^^xy. Ses sections horizontales seraient encore des hyperboles équilatères , analogues aux précédentes : mais le lieu de leurs sommets , qui correspondent toujours au plan bissecteur j^ = j: , se compose maintenant de deux droites menées , à Tocigine , sous un augife

de 45", autour de l'axe yertical, comme l'ùidique la noQviie

PRBIOÈ&B PABTIË) CÛAHTAË PKEBnER. kVt

projection verticale z=±x. L'ensemble de cette appréciation indique déjà suffisamment un cône droit , à base hyperbolique horizontale, et dont le sommet se trouve à l'origine. Mais la nature de ce lieu , que n'éclairciraient pas des coupes parallèles aux deux autres plans coordonnés, ressortira surtout de Texamen des sections verticales opérées en tous sens autour de Taxe de z : car, l'un quelconque de ces plans, analytiquement caractérisé d'après sa trace horizontale j^ = ^j: , déterminera toujours deux lignes droites passant constamment à l'origine , conformément à la seconde projection z=±x \/a.

Sans multiplier davantage de tels exemples , j'engage le lecteur à s'exercer spontanément à ces discussions de surfaces, en partant d'équations un peu plus compliquées , mais pourtant assez simples pour que l'élaboration analytique n'absorbe pas l'attention principale , qui doit alors rester concentrée sur l'appréciation combinée des divers documents géométriques empruntés à l'étude des figures planes. Ce genre d'exercices , dont l'utilité logique dépend surtout de leur spontanéité , est encore plus propre que la discussion des équations à deux variables à faire convenablement ressortir le véritable esprit de la géométrie analytique , en régularisant l'interprétation géométrique du rj^lQ de con^K)sition de ces équations, même envers chaciiu aes paramètres qu'on y supposait d'abord

constants.

Après avofar considéré , en général , l'appréciation géométrique de toute équation à trois variable» , il serait superflu de s'arrêter formellement au cas d'un couple quelconque de pareilles équations , puisque la ligne , qui en constitue nécessairement le lieu , y est aussitôt définie par l'intersection des deux «fffiiees séparément résultées de chacune des deux équations proposées. L'interprétation concrète ne saurait être directeqpi'à Végard d'une seule équation. Un tel assemblage nepeut^ger,

k9^ GÉOMÉTUB DAHS lk*B6PAGf •

en géométrie analytique, d'aatres {^incipes pv^ppea que tai notions déjà établies sur la manière de dissiper régidîèvemeiit ramUgnïté fondamentale qui s'y rattacbe. Toute la dîacusmii géométrique de ehaqw conple spécial B'y doit offrir 4'a«tre ditfioalté noayeUe qae le cboix des plus simples snrÇaees suseqe tables de eontenir la ligne considérée , et qui penvent différer souvent de celles qo'indiqaent les den^ éqnatk)^^ prûautiyes / dès km Bltériearement remplacées par d'bemreiiges eombÎRaisons mutueUe».

132. Dans Teapace^ comme sur un plan, notre système de géométrie analytique se trouve nécessairement assujetti à des imperfections fondamentales , à la fois, géométriqmes et s^alyw tiques, qu'il conservera probablement toujours , mai$ env^a lesqii^es il suffit ici d'indiquer sommairement la simple extension des remarques déjà soigneusement expliquées au n* 8 , et qui n'ont maintenant besoin d'aucune élaboration nouvelle.

Sons l'aspect géométrique , Tinstitutiim aetuelle des é(p[iatioBS est radicalement vicieuse^ pour les surfaces aussi biep que pour le» lignes , en ce qu'dle ne permet point de représwter analytiqueniieat une portion de lieu , ni par suite un Uea ékhcontinu » composé de diverses parties de figures distinctes. Il en résulte quel^iefois une imparfaite harmonie entre nos éfua* iiom et les définition» correspondantes , qui devient sortant fâcheuse envers les phénomènes naturellement relatifs à de tels assemblages , comme , par exemple , quand on étudie Téqui- Ubre cm le mouvement de^t températures dans uf polyèdvf ^aeleonqui^.

Bu point de vue analytiq^, la représentaticA gQeii|é4iH<|99 des équations à trois variables içst souvent incowplèle , puis? qu'on n'y tient aucun compte des sQl«tion&imagii|ai|es,.^ fréquemment y prédominent , et qui méq^ y peuvent être exeli|sive9'. Outre lep conséqa^cçp Qf^dioaii^es d'^pe telle impei^

fectioa, loKsqQ'aiie étpi^tiOA oe fowntt auma Bea q«elOMqM oa indique «eolemeat de» points isolés, il faut ici remarquer mie noavelle anomalie, loonsistaotrace qae le liea géoniétriqiiei cessant d'être une surface, suivant le prindpe fendamenlal, peot devemur une simple ligne, si réqoation est constitués de manière k se décomposer en deux autres , auxquelles doivent isimultanément satisfaire toutes ses solutions réelles. Tel serait le type

dont l'analogfue en géométrie plane , ne fournissait que qurt*» ques points incohérents, mais qui maintenant semble comporter an véritable lieu géométrique, la ligne commune aux deux ««yrfoces f(-a?,j^, a)=0 et +(x,j^, 2)=0. Il faut toutefms remarcpier que ce prétendu lieu n'est pas plus caractéristique q^ l'autre de l'équation d'où il provient ; puisque la même ligne pourrait évidconment résulter d'une infinité d'autres équations de cette nature, analytiquement très^distinctea^ qomqa'admettant les mêmes solutions réelles.

Oiitre cette double imperfection radicale, qu'oïl peut justement reprocher à notre système de géométrie analytique, ou elle altère, à divers égards, la relation fondamentale entre le eoacref et l'abstrait , quoiqu'il sent d'ailleui^ presqu'impossible d'y remédier convenablement, une critique exagérée a quelque* f^ conduit à attribuer vicieusement à ce système une Impuiasance logique dont il ne doit pas philoscqibiquement répondre, en tant que certainonent inhérente à la nature du sujet , et non à l'insuffisance de nos conc^tions malbématiques. J'ai surtout en vue le défaut de représentation géométrique des éfaations assez indéterminées pour contenir au delà de trois variables , et envers lesquelles la géométrie ne saurait fournir jincune exacte ipteriprétatiou coucréte» «u'il fradrait etars

iM GiouÈnm dans l'bspage.

emprunter à des phénomènes pins compliqués , et par saite plus Taries, tels que ceux du mouvement, si cette complication supérieure ne devait pas , au contraire, être plutôt conridérée comme constituant un obstacle insurmontable à l'efficacité logique d'une telle peinture , qui ne saurait yraim^t éclaircir des relations dès lors destinées à rester exclusivanait abstraites. Toutefois , on a fait quelques tentatives partielles sur Tinterprétation géométrique des équations à quatre variables, en les concevant relatives, non plus à des surfaces, mais à des volumes , suivant le progrès naturel d'une telle indétermination. Il n'est pas inutile ici d'apprécier sommairement de tels efforts pour vérifier spécialement qu'ils ne sont susceptibles d'aucun succès vraiment fondamental , et que le nombre trois, indiqué par les dimensions nécessaires de l'étendue comme par les coordonnées propres aux positions les plus indéterminées, limite inévitablement le degré d'indépendance des variables qui peuvent régulièrement coexister dans les équations purement géométriques.

En considérant la quatrième variable comme un paramètre susceptible de valeurs successives, l'équation /(a:, ^, z, /) =0 représentera , en coordonnées rectUignes et rectangulaires , par exemple, une certaine surface, de nature détemûnée; mais dont la position changera, ainsi que la grandeur ordinairement, à l'imitation de ce que nous avons remarqué ci-dessus en passant de deux variables à trois. Le lieu géométrique de l'équation proposée se montrera donc formé d'une suite de couches superficielles, régulièrement disposées, selon la composition de l'équation par rapport à t , que Fou pourra compter suivant un quatrième axe , alors purement factice , également ineUiié sur les trois premiers, pour amplifier Fimage. Mais ce sera seulement dans quelques cas particuliers qu'un tel ensemble de surfaces constituera un véritable volume, exactement çircoa^

PlUBHIÈftB PA&TIB, CBAPITRE PKElUER. 441

scrit, et non une masse confuse, le pins souvent même remplissant l'espace entier. Cet assemblage ne saurait devenir suffisamment net qu'autant que les surfaces partielles seront fermées et que les valeurs de la quatrième coordonnée se trouveront limitées. Telle serait, par exemple, Téquation j:'+^'+2'+<' = 1 , qui , mise sous la forme x'+j^^+z'n: 1— r% indique une suite de sphères concentriques , dont le rayon décroîtra de 1 à 0 9 à mesure que t augmentera de 0 à 1 , et deviendrait ensuite imaginaire: on pourrait donc, en effet, se représenter l'ensemble des solutions réelles de cette équation , comme géométriquement relatif au volume total de^ la plus grande de ces sphères, qui enveloppe toutes les autres ; le rayon de chaque couche sphérique et la valeur du paramètre variable t^ se correspondraient ici suivant une construction assez facile pour que cette peinture comportât quelque eflScacité , scientifique ou logique, si ces cas étaient plus fréquents. Mais , en considérant Féquation analogue x-^-y-^-z-^-t = 1 , qui parait encore plus simple, les diverses valeurs de r, dès lors nullement restreintes , en feraient sortir une série indéflnie et continue de plans parallèles entre eux, qui, pouvant ainsi passer en un point quelconque, ne sauraient constituer d'autre assemblage que l'espace entier, de quelque manière que t pût être géométriiquement apprécié. On sent que la même confusion résulterait uniformément de la plupart des équations de ce genre, qui , par conséquent, ne comporteraient aucune véritable peinture géométrique.

Cette néisessité fondamentale, qui limitera toujours à deux variables indépendantes le degré d'indétermination analytique que la géométrie peut régulièrement apprécier, est, en réalité, d'autant moins regrettable que toute correspondance ultérieure , hrs même qu'on la jugerait possible , deviendrait naturcllenwnt presque aussi inutile ^ comme artifice logique , à la pure

14} eiOMiSUM 0ANS VVSfACM*

analyse , qu'elle le serait d'abord évidemment, comme nw^yei^ scientifique , à rinvesUgation géométrique. On peut ren^rquer, en efct , que la peinture des fonctions à deux variables indépendantes , quoique pleinement praticable , comporte déjà, en vertu de sa complication supérieure , beaucoiq) moins d'efficacité logique pour faciliter les spéculations analytiques c(WPrespondanles que ne le permet rbeureux usage des lieux géométriques envers la théorie abstraite des fonctions d'une seulç

variable.

133. Afin de compléter cette introduction fondamentale i l'ensemble de la géométrie à trois dimensions, il faudrait maia: tenant motiver la préférence unanime qu'on a toujours accordée spontanément au système des coordonnées rectilignes, et même aux axes rectangulaires. Mais cette préférence repose icinér cessairement sur les raisons générales déjà examinées ^ à cet égard , en géométrie plane , et qui n'exigent maintenant ancoiie nouvelle appréciation, sauf l'importance supérieure des moyens de simplification envers une étude naturellement plus difficile* Cet évident surcroît de motifs deviendrait surtout sentie en opposant au système adopté Tihi ou l'autre des deux systèmes polaires, que des convenances spéciales conduisent quelquefois i lui substituer temporairement , malgré la fâcheuse complir cation des constructions élém^taires qui s'y ra{^<»rtent« En géométrie pure , la formation des équations de surfaces , aussi bien que leur discussion , ne s'opérera donc jamais qu'av^ec des coordonnées rectilignes , à moins que la ^ence ne pfurvlnt à ce degré de spécialité, qui n'existe p(»nt encore , el q^i peatêtre sera toujours écarté , où Ton étudierait parUcutiëvemept des formes , anak^fues à celles des spirales , doirt les ijfe» analytiques ne deviendraient sufisammeut simplet qu'à l'aide des coordonnées polaires. Quant i la reetangulariié desaixis reetilvues > ta miivm Jmtik la re^réseoteroot spomanMPt

PREMIËU PAETIE , CBÀPIfM BSmUÈBEB. 4UI

ao leeteur domine dtaat ici encore plo0 conyanable que dans la géométrie plane , où nous avons quelquefois employé utilement des axes obliques , ce qui n'a réellement lieu , en aucun cas important , dans la géométrie à trois dimensions.

Il ne nous reste donc plus maintenant qu'à constituer, enven cette nouvelle étude générale , les théories préliminaires analogues à celles de la géométrie plane, et qui deviennent aussi ÎQdiSpensahles envers les surfaces qu^à l'égard des courbes. Ces théories, d'ailleurs naturellement plus difficiles , seront ici au lendire de trois ; car, entre la théorie de la ligne droite et celle de la transposition des axes , la géométrie à trois dimensions exige nécessairement qu^on interpose la théorie analytique du ||iD. T^es sont les destinations respectives des trois cha-pitres qui vont successivement compléter cette introduction générale.