CHAPITRE IL

Théorie analytique de la ligne droite dans l'espace.

134. Nous devons d'abord établir la plqs simple fora» générale des équations de la ligne droite. Or, parmi rinfimté d'ùrtersections de surfaces propres à produire cette Ugne, la plus convenable , sous le double aspect géométrique et analytique , doit évidemment consister dans la comUnaisan de deux plans. Mais ce mode spontané semble d' jdK>rd présenter , k cet égard , une sorte de cercle vicieux , puisque la formation gé* «ârale de l'équation du plan suppose» à son tour, la représentetion analytique de la ligne droite , comme Pexplic|uera sp^ rWenent le chapitre siiivant. Ia seule issue tégaiièfe A'vm

telle difficulté élémentaire résulte d'un dioix jadicieiix 'entro les divers plans qoi contiennent une même droite , ea préférant deux de ceax qui sont parallèles aux axes coordonnés, et dont réqaation doit , à ce titre , soivant nos explications fondamen* taies , être indépendante de la variable correspondante , de manière à coïncider avec Téqaation plane de la projection de la ligne sur le plan des deux autres axes. On voit que ce système n'est autre que celui des d«ix cylindres projetants , qui , toajours destiné à caractériser finalement chaque ligne, est rarement le plus propre à former ses équations initiales : c'est peut-être ici le seul cas important où ce mode doive être, à cet égard, préféré à tout autre. Si, par exemple, on projette successivement la droite paraUélenrant aux deux axes horizoê' taux , on aura aussitôt les deux équations fondamentales

x=^az-^(x. et y=zbz^^,

dont Fensemble constitue le plus simple type général qui poisse analytiquement représenter une ligne droite dans l'espace, et auquel tous les autres modes analytiques seront nécessairement réductibles d'après les transformations convenables.

Ce type devant devenir aussi usuel que celui qui lui correspond en géométrie plane , il importe de se familiariser beaucoup avec la signification concrète des quatre constantes arbitraires a , 6 , (X , 6 , qu'il contient. D'abord le nombre de ces paramètres, deux fois plus multipliés que dans le cas plan, représente toujours , mais d'une nouvelle manière^ le nombre des points qu'exige la détermination de la droite : car , d'après la dualité actuelle des équations de toute ligne, chaque passage en un point donné fournit maintenant deux relations entra les constantes qui s'y rapportent, et dont le nombre devait ptf conséquent devenir double de cdui des points déterminants. Le même contraste analytique aura I^ néeemirement eme»

PREMliKS PARTIE rCHAPITI&Ë DEUXIÈME. 44&

t<mte autre ligne susceptible d'être alternativement considérée sar un plan et dans l'espace , le nombre total des paramètres y devant généralement être doublé pour le second cas , aGn de maintenir la fixité du caractère géométrique relatif à la détermination.

En second lien,laloi d'homogénéité indiquerait sufiisamment que deux de ces quatre constantes, a et 6, sont nécessairement angulaires , tandis que les deux autres, a et 6 , sont linéaires , si déjà la géométrie plane n'avait rendu très-familière cette indispensable distinction élémentaire. Quant à l'interDrctation géométrique de ces-divers paramètres, nos habitudes antérieures ne l'indiquent nettement qu'envers les projections respectives , d'où il faut indirectement remonter à la droite elle-même. Toutefois, cette dernière relation peut aisément devenir directe à l'égard des coefficients linéaires a , 6 , qui désignent évidemment les coordonnées de la trace horizontale de la droite proposée. Mais , pour les coefficients angulaires a , 2^ , il faut se borner à concevoir chacun d'eux comme la tangente de l'angle formé par la projection correspondante avec l'axe vçrtical, ou, si l'on veut, parle plan projetant avec l'autre plan vertical des coordonnées. La direction même de la droite dans l'espace d^nd nécessairement à la fois de ces deux constantes, suivant une loi très-simple, qui sera ci-dessous expliquée, et dont rinversion permettra d'ailleurs de se les représenter commodément d'après cette direction.

De même qu'en géométrie plane,' la théorie analytique de la ligne droite doit ici consister essentiellement à déterminer ces quatre paramètres quand , sans être immédiatement donnés , ils doivent résulter de certaines conditions élémentaires, dont l'expression est assez usuelle pour mériter qu'on la formule d'avance , et qui d^aiUeurs coïncidait exactement avec celles déjà appréciées pour le c«^ plan.

135. Sous rim et l'antre aspect , U faot à'Aofti former les équation! d'une droite asrajettieà passer par deux pwnis donnés. Le premier passage fournira les deux relations x'sszAJ-^afi ysr&2'4.6, qui, permettant de rapporter les coefficients It*néaires aux angulaires , conduiront au type

aussi usuel qu'en géomélrie plane pour représenter toutes les droites menées d'un môme point. En ayant égard au second passage , on y déterminera finalement les constantes angulaires par les formules

identiques à eettes du cas plaa, et dés lors susceptibles de la même explication trigonométrique , puisque chaque projection yerticale de la droite cherchée contient nécessairement les projections correspondantes des deux points donnés.

D'après ce |n*emier problème, quand de QOUTeaux points de l'espace devront être en ligne droite avec les deux premiers, chacun d'eux , 'comparé à Tun de ceux-ci , fera naître analytiquement deux conditions , consistant toujours dans une double proportionnalité entre les différences respectives des trois coordonnées de tous deux.

Considérons maintenant la seconde question essentielle, relative à la détermination analytique de l'angle de deux droites dans Fespace. Par sa nature , une telle recherche est , comme en géométrie plane , nécessairement trigonométrique, d'après son évidente spécialité : seulement elle offre id plus d'embarras, parce que les angles donnés n'y sont pas, à beaucoup près, ausai simplement liés à l'angle demandé. Gomme il doit d'ailleurs dfih meurer indépendant des coefficients linéaires , nous pourrons remplacer les deux droites données par leurs pmraHéks menées

PEEmÉn mihb^ OAnnui moxiëub. U7

éi Vorigkie^ maê ooDBÎdérer, da reste , si les lignes primitiTes se rosooBtreHloaiioD, eequi n'afitecte naUement leur inclimisQii mtiuUe, iovlmirs égalcBMttt indispensable à mesurer. D'apféa œ préanAole , k solutioii trigonométrîqae consiste à oonsidérer , sinr les deux droites données , xs^az, y=abz, el xsrafz^ ytssVz^ deux points arbitraires , dont les ordonnées terticales, setx', resteront qoeleonques , et à résoudre, par rapport à Vang^ dierchéy le triangle ainsi résulté de trois côtés aisément apinréciables par la formule des distances. Les indéterminées auxiliaires z et z' devant s'élindner spontanément à la fln du calcul y pour que la grandeur de Tangle ne dépende pas de la longueur de ses côtés^ on évitera commodément d'en surcharger ks opérations, si on use du droit évident de les choisir égales sntré elles et i Vnnité. On sait que la formule trigonométrique convenable est ici

cosV=

2dd'

en nommant d, if^ et D les distances des deux points artificiels à rorigine et entre eux , lesquelles sont exprimées , d*aprés lès coordonnées respectives 1, a, & et 1, a!, V^ par

n en résulte aossitôt la f ormute cherchée ,

aa!+bb*+i

fui mérite d'être retenue comme éminemment usuelle.

En foisant successivement coïncider la seconde droite avec chacun das trois axes owMrdonnés , on en déduit aisément les formules spéciates

<^Z=^^.-J-^,cosY==-^^

\/a'+b'+t' \/a''\^V+i V/a-+ft^+l'

U8 GiOlOlTBiB DAMS L'BSMCS.

pour les mclinaisons de la pcomière sur ces. aies. Ces troiflmgles ne ssonient être indépendants entre enx , poscpie , en gi» néral , denx angles qaelconqnes déterminent sufllsamment oae direction. De telles formnles l'indiquent assez en ne Gaisant dépendre les trois inclinaisons qne des denx dcmnées a et 6, dont Télimination y fera découvrir leur rdation constante. On aperçoit aussitôt que cette élimination s'accomplira spontanément en ajoutant les carrés de ces trois égalités , d'où résulte le théorème trés-usuel

cos'X+cos*Y+cos"Z=l,

ou , sous une forme moins connue, mais utile à noter aussi,

sin'X+sin'Y+sin^Z=2.

Au reste, ces deux énoncés algélH*iques peuvent être succinctement réunis en un seul énoncé vulgaire : la sommedes carrés des cosinus ou des sinus des angles formés par une droite quelconque avec trois axes rectangulaires est nécessairement constante. Il y aurait, en effet, un vrai pléonasme logique à mentionner expressément la double valeur de cette constante, évidemment indiquée, en chaque cas, par la coïncidence delà droite avec l'on des axes. Cette liaison remarquable, directement appréciée, constitue d'ailleurs, sous sa première forme, une suite peu éloignée du théorème fondamental de Pythagore. En effet , il sufSt de considérer le cosinus d'un angle comme la projection d'un de ses côtés, dont la longueur serait égale an rayon trigonométriquc 1, sur l'autre côté : dès Icu's , les trois cosinus proposés représentent les projections de la droite domiée sur les trois axes proposés \ ils constituent donc les arêtes d'aa parallélipipède rectangle dont cette droite serait la diagonale,* ce qui conduit aussitôt , par une double application de ce théorème, à la relation précédente.

Réciproquement envisagées > les formiiles ci'fdçissivi permet*

pREinàite paehb, CHAPiTRfi bsitxième. ik9

tet d'exprimer les deux eoeffidentg angulaires d'une droite qsdcoDqae d'après ses inclinaisons sur les trois axes rectangdmes, suivant la loi , très-usuelle aussi , surtout en mëca- Diqae,

cosX , cosY cos Z cos Z

Cette loi fort simple conduit à mettre notre formule principale de cos V sous une nouvelle forme très-remarquable , due à Enler, en opérant la même transformation envers les deux droites considérées : on trouve ainsi

cos V= cos X cos X'+ cos Y cos Y'+cos Z cos Z';

OD , en français , le cosinus de l'angle de deux droites équivaut à la somme des produits des cosinus de leurs inclinaisons respectives sur trois axes rectangulaires quelconques.

D'après le problème précédent , il est facile d'apprécier la relation qui doit exister entre les coefficients angulaires de deux droites pour qu'elles forment un angle donné. 11 suffit ici de mentionner le cas de leur perpendicularité , ainsi caractérisée par la condition

analogue à celle de la géométrie plane, quoique plus compliquée , mais qui ne peut plus déterminer l'une des directions par l'autre, conformément aux indications géométriques respectives. Toutefois , cette détermination doit exceptionnellement s'accomplir quand on suppose y=: 0, ou cos Ys i, puisqu'alors il y a parallélisme : l'algèbre exprime cette anomalie en présentant la relation correspondante sous la forme

{a—dy+ {b—l/y-i- (ab'—afby=0,

qtn, envers les valeurs réelles , se décompose nécessairement

450 «éomlllll» DANS L*8SPA|fi.

en denx oonditious, a'= a^V^b, ^\memrA oonfoniiAs % b

nature du cas.

Examinons enfin le troisièaie élément essentiel de l^t tb^ine analytique de la ligne droite, en déterminant Tintersectioa de deux droites d'après leurs équations. Le principe fondamental est ici nécessairement le même qu'en géométrie plane , puisque tout point commun à deux lieux quelconques doit nécessairement satisfaire à leurs équations simultanées , quel qu'en puisse être le nombre. Mais . dans l'espace, l'application normale de ce principe uniforme conduit spontanément à une nouvelle appréciation, qu'il importe de remarquer déjà sur ce premier exemple : car, chaque ligne , droite ou courbe , ayant maintenant deux équations, le nombre des conditions quidoirent déterminer les coordonnées communes est aloils doublé, tandis que le nombre de ces inconnues a seulement augmenté de moitié; en sorte que l'harmonie du problème se trouve désormais rompue, à moins d'une concordance spéciale entre l'une des quatre relations et l'ensemble des trois autres , sans laquelle la question serait contradictoire. Or, cette considération analytique correspond , géométriquement , à l'impossibilité actuelle de toute rencontre entre deux lignes quelconques , si elles ne satisfont à une certaine condition mutuelle , consistant ^ pour deux droites , à appartenir au même plan , et toujours analytiquement représentée par la relation résultée de l'élimination des trois coordonnées communes entre les quatre équations des deux lignes. Cette importante notion de géométrie à trois dimensions aura bientôt un office très-étendu dans la théorie générale des surfaces courbes. En l'appliquant maintenant au seul cas de deux droites quelconques ,

la condition de rencontre est finalement -r, — r = -r, — r > ou,

PREHiiRK PARTIS, CHAPITRE DEUXIËBIB. 451

en français , les différences respectives des coefficients linéaires doivent être proportionnelles à celles des coefficients angulaires. Quand elle sera remplie , les coordonnées de l'intersection cherchée seront

CL ——a

en les supposant infinies , on reproduirait les caractères connus du parallélisme , du moins eu égard à la relation préalable. Ces fwmules ne doivent pas d'ailleurs être ret^ues .- il sera préférable d'en retrouver l'équivalent spécial en chaque occasion.

136. Tels sont , dans l'espace , comme sur un plan , les seuls éléments vraiment indispensables à la théorie analytique de la ligne droite. Parmi les nombreuses questions composées qui peuvent résulter de la combinaison de ces trois problèmes essentiels , je me bornerai à en examinw deux y analogues à celle déjà cpnsidérée en géométrie plane , quoique leurs formules deviennent ici à la fois plus compliquées et moins usuelles : outre l'application ultérieure dont elles seront quelquefois susceptibles , eUes constitueront maintenant des types suffisants de ces ei^ercices secondaires , que le lecteur pourrait ensuite multiplier spontanément.

Déterminons d'abord , comme dans le cas plan , la distance d'un point donné (x\ y, z') à une droite donnée

En suivant la même marche qu'alors , il faudra préalablement former les équations de la perpendiculaire correspondante ,

x^od^d (z-r-z') , y-^y^^V («—2') ,

d'après les deux conditions

452 GÉOMÉTRIE BANS t^ESPACE.

qui expriment qa'eUe forme un angle drott atec la ligne donnée et qu'elle la rencontre, conformément aux règles du n- précédent. Quand ces deux équations du premier degré auront fait connaître d et V, on calculera, comme ci-dessus , les coordonnées du pied de la perpendicelaire , et sa distance au point donné en résultera Bnalement , suivant la formule ot-

dinaire.

Sans accomplir cette laborieuse combinaison analytique de

nos trois question» essentielles , on peut trouver plus commodément Texpression de la longueur chercbée/i , par une solution spéciale , fondée sur sa comparaison avec là distance d du point donné à un point quelconque de la droite donnée , par exemple , à sa trace horizontale : car, en nommant V Tinclinaison , aisément appréciable , de cette droite sur cette distance auxiliaire, on aura évidemment /? = fi?sinV. On facilitera l'opération en prenant pour origine provisoire le point o, a , 6 , ainsi choisi, sauf à revenir ensuite à l'origine primitive, par le changement final de or en j:— « et j^ enj^— e. Dans cette hypothèse

dz=z\/x'+y + z\ etcosV==— ^.

d^où il résultera /;=\/ ^'+^+2"— ^^^^qi^- En

développant et réduisant, on trouvera finalement, après avoir rétabli l'ancienne origine , la formule

—az—:,y+ (y—bz— 6)'+ (a(y— 6)— 6{x— a ) )

beaucoup plus compliquée que son analogue plan , mais pourtant assez symétrique pour être aisément retenue , si elle était assez usqelle pour le mériter. l\ convient d'y remarquer que la

PEEMièaE PAHTIE, CUAPITBfi 0EC1LIÈMB. 453

distance d'un point à une droite n'est plas , en général, une fonction rationnelle des coordonnées du point , comme en géométrie plane. Un tel caractère est particulier au cas plan, envers lequel la loi précédente indique spontanément cette exception spéciale : car, si la droite et le point sont tous deux situés dans le plan des xz, il j faudra faire 6=0, 6 =0 , et y=:0 , ce qui y réduira à une seule les trois parties de son numérateur, dès lors devenu un carré parfait , de manière à re-

produire exactement la formule »= — , du n** 28.

Considérons , en second lieu , la question qui consiste à déter*miner la moindre distance de deux droites données. Elle comporte , dans son ensemble , deux solutions fort distinctes , dont le contraste spontané est propre à bien manifester le vrai caractère des méthodes pleinement analytiques en géométrie générale. La première consiste à appliquer analytiquement le principe géométrique qui représente la distance cherchée comme devant se mesurer sur la perpendiculaire commune aux deux droites données, x=az+a,y=6z-K, et x=za^Z'W^y=b'zr\r^. D'après cette notion initiale, tout se réduit à former, suivant l'ensemble des règles précédentes , les équations de la droite inconnue, x= a'z-f- a" et y = b"z+&\ afin de calculer ensuite ses intersections avec les droites proposées , d'où la formule des distances conduira finalement à la longueur demandée. Les deux conditions de rectangularité fourniraient ainsi les relations

propres à déterminer d'abord a" et ô" : dès lors , la double rencontre déterminera aussi les coeflfidents linéaires «" et 6", suivant deux autres équations du premier degré

hSk êéOWÉfÊm BAH8 I.*flS»A€B«

Gda posé , le reste da calcul , quoique trôs-laborienx , ne pMrrail ofirir aucune difficulté. On voit que cette premièf e scdutioft est yraiment analytique dans son exécution , qui apprécie isolément chacune des conditions du proHéme ; mais elle ne Ymi point réellement dans son institution , qui repose sur un principe géométrique antérieur, particulier au cas de deux droites.

Au contraire , Tensemble^e la seconde solution présente un caractère pleinement analytique , clairement manifesté par une généralité décisive, qui constitue, à cet égard, le meilleur critérium. Nous allons , en effet , y procéder à la recherche yroposée , sans aucune notion géométrique antérieure , sous la seule impulsion de la théorie universelle des minima, et de la même manière que si , au lieu de deux droites , il s'agissait de comparer, à cet égard , deux courbes qudoonques. La marche de cette solution analytique consiste à chercher les ordonnées Yerticales , z et z\ des deux points les plus rapprochés , d'après la condition que la fonction

ûP= (z — zT+ (az — d:i'V (a — «'))'+ {hz — 6V+ (6 — S'))' ou

•f ft (6 — 60) z+ 2 {ci (a'— a)+6\6'— S))2'+(«— a')'+(e— 60%

qui exprime le carré de leur distance , soit un minimum. Or, notre théorie des minima est directement applicable sans difficulté à ce polynôme du second degré, qui comporterait même l'usage facile de la méthode algébrique la plus élémentaire. Quant à la plnralité actuelle des variables indépendantes , elle ne peut constituer, envers de telles recherches ^ aucun obstacle fondamental : car, le minimum doit évidemment subsister à l'égard de chaque variable isolée , quelle que soit la valeur constante de l'autre. Cette nouvelle institution du problème n'a doue, en général, d'autre influence naturelle que de

PREMIËH8 PAStiB , OAPink mmxiËiiE. ue

foaniir deax conditions , destinées à déterminer les deux incoDflues simultanées. Elles se formeront ici en annulant les deas dérivées de ce polynôme séparément relatives à z et à z\ dont les valeurs dépendront ainsi de deux équations du premier degré,

z'(l4-/ï''+y')— z(aa'4-êi'4-l)=:^'(a— a')+&'(6 — €').

Une fois calculées, leur substitution dans la formule primitive de tP fournira sans difficulté Tcxpression , d'ailleurs compliquée et inusitée , de la distance cherchée. Puisque les points les plus rapprochés auront été ainsi déterminés préalablement, ancune partie essentielle de la question ne se trouvera négligée* On y pourrait même , à titre de complément alors accèssoîre , obtenir finalement les équations de la droite suivant laquelle se mesure la moindre distance, et de manière à reconnaître analytiquement sa rectangularité constante envers les deux droites données, si l'esprit général de cette seconde solution conduisaitréellement à instituer une telle comparaison, essentiellement propre à un autre mode d'appréciation de l'ensemble du problème.

Au sujet de cette question , je dois enfin avertir que, quand on s'y borne à la stricte évaluation de la moindre distance , sans s'occuper de la détermination effective des points corresppndapts , cette formule peut résulter d'une troisième solution, mieux calculable , à cet égard , que les deux précédentes , et que j'aurai lieu d'expliquer dans le chapitre suivant.

k6» oÈoménoB i>ahs'l'bi»agb.