CHAPITRE III

Théorie aoalytiqiie du plan.

137. L'équation rectiligne du plan peut d'abord être indirectement établie , avec toute la généralité convenable , sans considérer aucune génération de cette surface , en cherchant , en sens inverse , le lieu géométrique de l'équation complète du premier degré à trois variables, ax-^-by-^cz^d. En y supposant z constant, pour étudier les coupes horizontales, ax-i-byssd — ch , on voit aussitôt que ce seront toujours des lignes droites , parallèles entre elles ; en sorte que ce lieu se range spontanément parmi les surfaces cylindriques. Keste ,donc à découvrir la loi géométrique suivant laquelle varie le coefficient linéaire de cette génératrice , en lui assignant une directrice quelconque , par exemple l'une des traces verticales de la surface : or cette trace, correspondante à ^=^=0 ou x=o est évidemment aussi une ligne droite. Ainsi , l'ensemble de cette facile discussion montre nettement le lieu cherché comme engendré par une droite qui glisse parallèlement sur une autre droite ; ce qui caractérise irrécusablement le plan. Toute équation du premier degré à trois variables représente donc , en coordonnées rectilignes, une surface plane, les axes étant d'ailleurs rectangulaires ou obliques.

Si maintenant l'on considère que l'équation précédente renferme trois constantes arbitraires , dont l'entière disponibilité permet de faire passer son lieu plan par trois points quelconques de l'espace, on concevra, réciproquement , que tout plaa

PHEUÈBB PARTIS, GHAPITBB TEOISIÈME. k&t

est susceptible d'nne pareille équation , dont le lieu pourrait ainsi se confondre complètement avec lui , puisque deux plans coïncident totalement quand ils ont trois points communs non en ligne drpite. Nous connaissons donc déjà , indépendamment de la génération du plan , la forme nécessaire de son équation rectiligne.

Dans Tusage de cette équation générale, il convient deréduire habituellement à l'unité l'un des coeflBcients, a6n que leur nombre effectif soit toujours en pleine harmonie avec celui des points qu'exige la détermination de la surface. Il en résultera deux formes distinctes , qu'il n'est pas inutile de comparer sommairement, selon que cette exception facultative affectera le terme constant ou l'un des termes variables. La première forme ax-^by-^-cz^i^ offre une plus complète symétrie algébrique, puisque les trois coordonnées y sont semblablement traitées ^ mais elle est, géométriquement, moins convenable , parce que l'interprétation concrète des trois constantes y est trop détournée , et même trop uniforme : car , chacune d'elles est réciproque à la distance de l'origine au point où le plan proposé rencontre l'axe correspondant. Aussi préférerons-nous communément la seconde forme, as = ^zx+^^ + c, où la loi d'homogénéité annonce aussitôt que les coefScients a eib sont angulaires , tandis que c est linéaire, conformément à l'explication spéciale qui montre c comme désignant la distance de l'origine à l'intersection du plan avec l'axe vertical , pendant que a eib indiquent les tangentes des inclinaisons de ses deux traces verticales sur le plan horizontal. Cette distinction spontanée entre les idées de direction* et de distance , non moins nécessaire dans la théorie analytique du plan que dans celle de la ligne droite , constitue l'un des motifs principaux en faveur de ce mode usuel ; car, l'autre mode , vu sa trop grande uniformité , mêle vicieusement ces deux sortes d'indications géométriques.

458 GtGHÊmOS DAlffS L'ESPÂGB.

138. Ayant ainsi établi l'équation générale dû plan indéj^îidamment de sa génération , il importe d'apprécier comment cUe peut être directement formée d'après les diverses manières dont cette surface résulterait du mourement d'une ligne droite. Quoique cette appréciation ne soit pas strictement indispensable à la théorie analytique du plan , réduite à sa vraie destination propre , elle offrira spontanément le précieux avantage didactique de familiariser déjà le lecteur avec ta marche fondamentale, qui , dans la seconde partie de notre étude, devra diriger la formation des équations qui représentent les principales familles de surfaces, parmi lesquelles le plan peut indifféremment se ranger, en y modifiant convenablement les seules directrices.

Le premier mode consiste à regarder le plan comme une surface cylindrique , ayant pour base une ligne droite. Dans cette hypothèse, soient x = az+(K et^=6z+ 6, les équations de la génératrice, ou ^t et 6 seront constants, en vertu du parallélisme , tandis que les coefficients linéaires varieront d'une position à l'autre, suivant une loi correspondante à la condition de rencontre continuelle de ;cette droite mobile avec la directrice donnée a7s=a'*+a'^ j^=:è'^+ê'. Cette Id ^Ilf z= ^ÙZÎ.

constitue une sorte d'équation naturelle da lieu cherché entré les deux paramètres variables a et €. Pour en déduire Inéquation demandée , il suffit d'y rapporter ceux-ci aux coordonnée* définitives x,y^z, d'après les équations de la génératrice. Ofi obtiendra ainsi une équation qui , convenant à un point quelconque de cette droite mobile dans une position quelconque, représentera nécessairement le lieu engendi^é par son mouvement. Cette substitution de ar— ^z et^ — 62 , à la place de « et e , fournira évidemment une équation complète du premier degré , conformément au type d-dessus démontré. Le nombre

PRBMIËAB PARTIE, GflAPITlUS ïàOlSlÈlIE. &G0

des ocmstantés arbitraires y surpassera tiotablefii60t celui des ooeffleients qui en seront formés ; ce qui induit à penser que ces six constantes pourraient prendre de nouTelles valeurs , saâ^ que le lieu éfHTouTàt aucun changeiaent , pourvu que leurs fonctions relatives aux trois coeffideuts restassent invariables. Or> cette circonstance analytique est spontanément ea barmofiie avec un certain degré naturel d'indétermination géométrique inhérent à une telle définition du plan : car , la direetrice y pourrait d'abord changer , comme envers toute autre surface, à la seule condition d'appartoûr au lien^consldéré $ mais, en outre , k génératrice elle-même pourrait Indifféreminent afiécter Tune quelconque des directions du plan , par une exception particulière au cas actuel, et que tie sauraient offirfr les cylin*dres curvilignes^ où là direction des génératrices est toujours unique.

Considérons , en second lieu , le plan d'après sa génération conique, par le mouvement d'une droite autour d'un point fixe, quand sa directrice devient elle-même rectiligne. Six\y, z', désignent les coordonnées du soumiet donné, les équations de h génératrice seront ainsi a:—x'=a'(Z'^is!) , y^ys3tl{t — z^) , les coefficients angulaires y étant maintenant variables. Leur relation constante dépendra, comme ci-dessus , de la oondi^ tiott de rencontre perpétuelle de cette droite avec la diree* triée connue, xzz=az+a, y=zbz^Q. Bans cette relation

~ .. = 7" ut f g 9 *1 faudra pareillement substituer les

expressions de a' et bf en oc^y^ z, tirées des équations de la génératrice , en comm^çant toutefois par supprimer les termes communs ea e^b^^ qui sembleraient élever viciéuacment le résultat au second degré. On trouvera encore, suivant Ce mode, nue équation complète du premier degré, où Fexcds du nombre des constantes arbitraires sur celui des coefficients qui m sont

460 fiitonÉTEis BANS l'espace.

oondpofiés représentera aussi ce qu'une telle définition renterme d'indéterminé géométriquement, soit quant à la directrice, qm pourrait y varier sans faire changer le lien, comme envers tout autre cône , soit même quant au sommet , qui , unique pour un cône curviligne, pourrait, exceptionnellement, étreici placé en un pcrint quelconque du lieu.

Envisageons maintenant le plan comme une surface de révolution» engendrée par la rotation d'une droite autour d'an axe auquel elle dmneure constamment perpendiculaire en un même point. Si x\y'^ z\ désignent les coordonnées de ce pôle donné, tix-^ 0/=^ (z— z'), y— y = b (z— z') , les équations de l'axe considéré, la génératrice aura pour équations 07— j-'=a'{z — z'), y — y=:U{z — z') , en concevant ses coefficients angulaires variant selon la loi de rectangularité aa +&6'+l = 0, où il suffira de substituer leurs expressions en x,^, z, afin d'obtenir Téquation définitive du lieu proposé. Cette équation sera donc

z= — oj:— èy-f" (z'-|-^J?'+^.^')-

Quoique , collectivement envisagée , elle contienne, sans doute, comme dans les deux modes précédents, plus de constantes arbitraires que de coefficients indéterminés, une appréciation plus attentive montre, au contraire , que l'indétermination correspondante n'aflfecte alors nullement les deux coefficients angulaires, et concerne seulement le coefficient linéaire; en sorte que, parmi les données de cette génération, a eib ne pourraient aucunement changer sans altérer le lieu , tandis qae ^\ y\ ^'9 1 pourraient inditEèremment recevoir une infinité de valeurs distinctes, pourvu que la fonction z'-f aj:'+^/ demeurât invariable* Or, toutes ces nuances analytiques sont en pleine harmonie avec les indications géométriques, puisque l'axe d'un plan ne peut avoir qu'une seule direc-