PREMIÈRE partie; CHAPItRE TROtSIÈME

tîon , tandis que le p6Ije'peat être pris à volonté sur la surface. Au sujet de l'équation précédente, il convient de remarquer spécialement la yériQcation analytique qu'elle offire spontanément d'une utile proposition géométrique, sur la rectangularité nécessaire entre les projections quelconques d'une droite et les traces correspondantes d'un plan qui lui est perpendiculaire. Car, en comparant , par exemple, la trace

obtenue en faisant j^ s= 0, avec la projection x—a/=a(z--z') de Taxe sur le plan des xz^ le symptôme ordinaire de géométrie plane montre aussitôt que ces deux lignes sont rectangulaires.

La génération précédente se lie naturellement à une quatrième manière d'envisager le plan , qui serait susceptible de conduire directement à l'équation de cette surface, conçue comme le lieu général des points de l'espace équidistants de deux pôles donnés j/,y, z' et cd\y\ z"; ce qui fait rentrer le plan dans la surface également éclairée par deux lumières, pour le cas particulier de l'égalité. Cette définition fournit aussitôt, d'après la formule des distances , l'équation

où les termes du second degré se détruisent spontanément , et dont la composition confirmera ensuite aisément que le plan est perpendiculaire sur le milieu de la droite qui joint les deux pôles y conformément à la nature géométrique d'une telle formation, qui pourrait ainsi coïncider immédiatement avec le mode ci-dessus considéré.

Concevons enfin le plan comme une surface régléci ou rectiligne, sous l'aspect le plus étendu, en le supposant engendré par une droite qui glisse arbitrairement sur deux autres susceptibles d'intersection. Il faut ici remarquer d'abord que le

469 GlSomiTBIB DANS L*6SPACR.

moavemeot d'ane droite quelconque n'est» en général, suffisamment défini d'après des directrices qu'autant que celles-ci sont au nombre de trois, sans quoi le lieu serait nécessairement yague, la génératrice y pouvant, avec deux directrices senlement, affecter, en chaque point de l'une d'elles, une infinité de directions aboutissant à Fautre. Or, par une exception tout à fait particulière au fdan, cette surface est, au contraire, suf^ fisamment déterminée en faisant mouvoir à volonté une droite sur deux autres qui se rencontrent , parce qu'une droite qui a deux de ses points dans un plan les y a tous. Soient donc

les deux directrices données , entre lesquelles on supposera

préalablement la relation nécessaire ^, — ^ = --7 — ;- : leur dou-

ble rencontre continue avec la génératrice fournira les deux

conditions analogues ^rz^ = -pr^l ^t ^r^r = ^?ri^» entré

les quatre paramètres, alors simultanément variables , contenus dans les équations de celle-ci , a: =: af'z-^a.'^ y = ^'z+e". Pour que rensemble de ces quatre équations permit d'éliminer complètement a", b\ a", 6", de manià*e à fournir l'équation du lieu , une cinquième relation , correspondante à une troisième directrice, serait, en général, indispensable. Mais, par une anomalie algébrique , exactement équivalente à l'exception géométrique spécialement signalée envers le plan, on trouvera ici que, si Ton dirige ce calcul de façon à éliminer seulement trois de ces paramètres, le quatrième disparaîtra spontanément, pourvu toutefois que l'on ait suffisamment égard à la relation préalable ci-dessus formulée entre les deux directrices.

139. L'équation générade du plan étant complètement établie, la tbéori^ analytique préliminaire qui s'y rapporte est propre-