PREMIËBE PARTIE, CHAPITRE TROISIÈME

meot desUpée , comme envers la ligne droite , a déterminer les trois constantes, angulaires et linéaire, qu'elle contient, lorsque, sans être immédiatement données , elles doivent résulter de diyerses conditions élémentaires suffisamment usuelles^ qui se réduisent encore essentiellement aux trois considérations fondamentales de passage^ d'inclinaison, et d'intersection, déjà appréciées dans la double théorie de la ligne droite.

Considérons d'abord la détermination de l'équation d'un plan assujetti à passer par trois points donnés. En ayant égard au premier point, la relation z'=:ax'+ 6/+ c permettra de rapporter le coefficient linéaire aux angulaires, de manière à fournir le type analytique très-usuel de tous les plans qui contiennent un même point, z — z'= a (x — a/) + 6 (y — y). On y déterminera ensuite les deux constantes aeib d'après les deux autres passages, qui, ainsi combinés avec le premier, fournissent les conditions

Si Vm achève l'opération , dont le résultat général ne mérite pas d'ailleurs d'être retenu , on pourra constater aisément que l'indétermination des formules finales correspond au cas où les trois pojnts donnés sont en ligne droite , conformément aux exigences géométriques.

On pourrait présenter cette première question fondamentale sous une nouvelle forme ^ en assujettissant le plan à passer par un point donné et à contenir une droite donnée. Sans doute , ce second ca» rentrerait aisément dans le précédent , en exprimant que le plan cherché passe en deux points arbitraires de cette droite , ceui^ ^ par exemple , où elle rencontre deux des plans coordonnés ; ce qui suffirait assurément , d'après une ftotioQ géométrique très-familière, pQur garantir que tout le rwte 4^ te ligne s'y trouTW^it êml Mfii$ U importa beaucoup

46b GâOMÉTHIB BANfi L'BdPACË.

d'apprécier îd h manière dont l'analyse peut directement exprimer, indépendamment de toute considération antérieure, que le plan z=^ïa: + frr+^ contient la droite x^mz-^a^ yz=nz+^ : car, le lecteur conunencera ainsi à sentir, surua premier exemple caractéristique , le mode suivant lequel nous devrons ultérieurement faire passer, en général , une surface quelconque par une ligne donnée , l'opération actuelle reposant déjà spontanément sur le même principe fondamental , suivant l'attribut nécessaire de toutes les conceptions vraiment analytiques. Or, pour que la droite soit entièrement contenue dans le plan , il faut analytiquement que les coordonnées hoi> zontales de l'une satisfassent à l'équation de Fautre , en laissant l'ordonnée verticale tout à fait arbitraire : ainsi , la substitution de mz+a et 7ÎZ+6 au lieu de jc et j^ doit rendre identique l'équation du plan , dès lors devenue

z=i{am + bn)z+{aoL+b^'{'C}',

ce qui fournit les deux relations am+bn^ 1 , <ra+ W+c=0, sans lesquelles l'équation précédente spécifierait l'unique intersection de la droite et du plan , qui doit ici devenir indéter* minée. La première de ces deux conditions caractéristiques^ indépendante des coefficients linéaires de la ligne et de la surface , indique séparément leur parallélisme ; quant à la seconde, elle signifie , en elle-même , que la trace horizontale de la droite appartient à la trace horizontale du plan : en sorte que l'appréciation géométrique explique nettement comment ta combinaison de ces deux caractères analytiques constitue eiactement la situation proposée.

Dans une telle corelation de l'abstrait au concret , le degré de l'équation finale en z exerce une influence géométrique qu'il importe de bien saisir : car> il y faut voir Tindication anaiy* tique du nombre de points qu'une droite doit avoir sur un pl^

PREMIÈHB PARTIE, CHAPITRE TROISIËHE. 465

pwf y être entièrement contenue ; puisque toute équation du premier degré à une seule inconnue qui comporte deux solutions distinctes est nécessairement satisfaite par toute autre hypothèse quelconque, ce résultat analytique signifie qu'une droite appartient complètement à un plan quand elle y a seulement deux points. Cette appréciation ne fait, sans doute , ici que confirmer un axiome géométrique très-connu. Mais il suffirait de la généraliser entièrement, ce qui ne susciterait aucune difficulté nouvelle , suivant le privilège naturel des vraies conceptions analytiques , pour en tirer une importante détermination, souvent ignorée , quant au nombre de points qu'une droite y ou même ensuite toute autre ligne donnée, doit avoir en commun avec une surface quelconque , afin d'y être entièrement contenue. D'après le même principe, ce nombre serait nécessairement égal à trois envers une surface du second degré, et, en général , surpasserait d'une unité le degré de la surface considérée : car, la substitution analogue des coordonnées horizontales de la droite fournirait une équation finale en z du même degré que celle de cette surface ; en sorte que cette équation deviendrait inévitablement identique si elle admettait des solutions distinctes en nombre supérieur, même d'une seule unité , à ce degré. Envers une courbe quelconque , le nombre analogue excéderait toujours d'une unité le degré de l'équation correspondante en z , alors dépendant à la fois du degré de la surface et de celui de la ligne, suivant une loi algébrique d'ailleurs trop peu connue pour qu'on en puisse d'avance formuler le résultat général.

Le second élément essentiel de la théorie analytique du plan consiste à déterminer l'angle de deux plans d'après leurs équations s=d5j:+6^+c et z=:a!x + Uy'\'d. Cette question ne p«it être traitée qu'en ramenant une telle inclinaison à celle i^ deux droites , suivant les règles géométriques fondamen-

466 GÉOMÉTRIB DANS L'ESPAénB.

taies. Mais ces règles fournissent , à cet égard^ deux model très- distincts, entre lesquels le choix analytique est loin d'être indifférent. En adoptant celui que la géométrie indique d'abord, les droites auxiliaires résulteraient de la rencontre des deux plans donnés avec un troisième plan , mené , d'un point quelconque, de l'origine , par exemple , perpendiculairement à leur intersection ; ce qui conduirait à un calcul très-laborienx, que je recommande seulement à titre d'exercice soolastiqoe. Suivant l'autre mode , au contraire , les droites sont faciles à obtenir analy tiquement , comme étant respectivement perpendiculaires aux deux plans donnés : une remarque ci-dessos expliquée leur assigne ainsi aussitôt les équations

j:= — az^ y"=- — hz et j: = — a!z^y = — Uz.

Telle est la seule diflBculté nouvelle que puisse offrir la questioa actuelle , dès lors ramenée à la formule du chapitre précédent sur rinclioaison de deux droites , sans qu'il convienne ici de s'arrêter spécialement à une répétition algébrique qu'il vaudra mieux opérer à l'instant du besoin -. avec nos notations actuelles y la formule serait d'ailleurs littéralement la même qu'envers deux droites. On en tirerait naturellement de pareilles conséquences pour les angles de chaque plan avec les plans coordonnés , et , par suite , une semblable transformation pour Tangle de deux plans quelconques d'après leurs iaclinaisons simultanées sur trois plans rectangulaires. La relation constante entre ces trois inclinaisons serait ici susceptible d'une nouvelle interprétation géométrique , que je dois expressément signaler, à cause de son utilité réelle en plusieurs occasions intéressantes. Car, en considérant la projection d'une aire plane sur un plan quelconque , le cosinus de Tinclinaison est représenté^ d'après un théorème trigônométrique bien connu i par le rapport de l'aire projetée à l'aire inclinée : si donc où