CHAP. III. — EFFETS DES ABERRATIONS

longitudinale. Le calcul, appliqué à une lentille unique, dont on néglige l'épaisseur, donne (§ 163) pour valeur de cette aberration

a=r/MjS

/ étant la distance focale principale des rayons centraux, y le rayon d'ouverture de la lentille, c'est-à-dire la distance à l'axe des

Fig. 18.

Fig. 18

bis.

bords de la lentille, et M une fonction des rayons de courbure et de l'indice définie par

ïf.R;(;?+ïï-^) + (ïï;n^'-:^^0]'

Chacun des cônes de rayons réfractés, après avoir formé son point de concours, divergera de nouveau, et tous ces cônes de rayons divergents seront compris dans celui que donnent les rayons extrêmes.

Si nous plaçons un écran au foyer principal, nous verrons s'y former une auréole circulaire, ayant au centre un point très brillant qui est le point de concours des rayons centraux; la lumière qui entoure ce point est fournie par les rayons qui ont coupé Taxe en avant du foyer principal : elle est distribuée circulairement, en décroissant d'intensité à partir du centre, car l'aberration va en augmentant à partir du sommet de la lentille, et les rayons qui ont traversé les parties moyennes sont moins dispersés que ceux des parties extrêmes.

Le rayon h de celte auréole sera celui du cercle d'intersection, par le plan focal principal, du cône des rayons extrêmes. Ce rayon

44 PHEMIÉHE PARTTK.

est ce qu'on appelle V aberration principale latérale. Le calcul, fait toujours dans les mêmes conditions, donne (§ 168) pour sa valeur

(17) 6 = Mj>.

Si l'on tient compte de la valeur de M, on voit que l'aberration longitudinale croît comme le carré de l'ouverture de la lentille et varie en raison inverse de la distance focale principale; que Taberration latérale croît comme le cube de l'ouverture et varie en raison inverse du carré de la distance focale.

Nous le verrons tout à l'heure sur des exemples numériques.

Pour une lentille divergente {Jig- 18 bis) l'aberration est de sens inverse , c'est-à-dire que le point de concours des rayons s'éloigne du sommet en même temps que les rayons s'éloignent de l'axe ; les aberrations principales sont d'ailleurs représentées par les mêmes formules, qui, établies au moyen d'équations qui sont générales, sont également générales. Le calcul numérique, dans le cas d'une lentille convergente, donnera toujours pour a une valeur positive, et, dans le cas d'une lentille divergente, une valeur négative; c'est pour cela que Ton dit que les premières ont une aberration positive, les secondes une aberration négative.

34. Caustiques. — La portion de l'axe comprise entre le foyer des rayons centraux et celui des rayons extrêmes, étant ainsi le lieu géométrique des points de concours des séries annulaires de rayons, recevra plus de lumière que les points environnants; d'autre part, si nous considérons deux séries infiniment voisines, les cônes correspondants de rayons réfractés se couperont suivant une circonférence où l'éclairement sera plus grand que sur le reste de leur surface, et plus grand même que sur la circonférence d'intersection de deux cônes quelconques de rayons réfractés; l'ensemble des circonférences suivant lesquelles chacun des cônes coupe le cône immédiatement voisin formera une surface continue, de révolution autour de l'axe, et ayant son sommet au foyer principal ; c'est ce qu'on appelle en Géométrie V enveloppe des cônes ; cette surface présentera, elle aussi, par rapport aux points environnants, un maximum d'éclairement.

Elle constitue, avec la portion éclairée de l'axe, ce qu'on appelle la caustique par réfraction {Jig* 19).

Ainsi, au lieu de trouver, comme lorsque nous nous bornions aux rayons centraux, toute la lumière concentrée au foyer principal, nous la trouvons répartie sur les deux parties de la caustique, l'une étant une portion de l'axe principal, l'autre étant une surface de révolution autour de l'axe; toutes deux ayant comme sommet

commun le foyer principal des rayons centraux, et sur toutes deux Téclairement allant en diminuant à mesure qu'on s'éloigne de ce foyer.

Il est très facile d'observer la caustique en recevant sur une lentille un faisceau de rayons solaires, parallèlement à l'axe, et en projetant de la poussière ou de la fumée sur le parcours des rayons réfractés.

Dans cette expérience, on trouve que le maximum d'éclairement est accompagné, aux mêmes points, d'un maximum d'échauffement. C'est l'origine de l'expression de caustique, comme d'ailleurs celle du mol foyer.

L'introduction de l'épaisseur dans les calculs modifie un peu les résultats au point de vue des valeurs numériques, mais sans en altérer la nature; de même, le calcul fait pour un système complexe de lentilles nous donnera en général, comme pour une seule, une caustique formée de deux parties, soit une portion de l'axe principal et une surface de révolution autour de Taxe.

35. L'aberration d'une lentille sphérique ne peut pas être nulle. — L'aberration longitudinale étant fonction des rayons de

courbure des deux faces de la lentille, on peut se proposer de chercher s'il n'est pas possible, avec des courbures convenables, de réaliser une lentille à faces sphériques, de distance focale donnée et d'ouverture donnée, pour laquelle cette aberration serait nulle; l'aberration latérale le serait évidemment en même temps. Une telle lentille serait dite aplanétique.

Il faudrait pour cela que M pût être rendu nul; or on trouve que ce résultat ne pourrait être obtenu que par l'emploi d'une substance dont l'indice de réfraction serait inférieur à { (§ 166). Une telle substance n'existe pas.

Il est donc impossible de construire une lentille simple, à faces sphériques, qui soit aplanétique.

36. Lentilles d'aberration minima. — Mais on peut combiner les courbures de façon que l'aberration soit réduite à un minimum : on trouve (§ 167) que M a la plus petite valeur possible quand

Ri t^-^-n — in}

Rj n-h 2 n'

Si nous prenons un verre d'indice i,5, cela donne

R,__i Rj"" 6*

Le signe — nous montre tout d'abord que les rayons de courbure doivent être de signes contraires, c'est-à-dire dirigés en sens contraires.

La lentille doit donc être biconvexe si elle est convergente, biconcave si elle est divergente. Elle doit, puisque R< doit être en valeur absolue plus petit que R2, tourner sa face la plus courbe vers la lumière.

Comme, d'autre part, nous avons

il vient

CHAP. m. — EFFETS DES ABERRATIONS. 4?

En portant ces valeurs dans M,

2 4l49/^ 49/*\9 3 ) 49/^\27 3 )\ ikp d'où enfin, puisque a:=fM.y^^

C'est ce qu'on appelle la lentille croisée,

SI on la retourne face pour face, ce qui revient à prendre

il vient

l'aberration est donc trois fois plus grande.

Nous avions dit qu'une lentille a la même distance focale absolue et donne le même grossissement quand elle présente à la lumière Tune ou l'autre de ses faces; on voit qu'au point de vue de l'aberration, le sens n'est pas indifférent.

Avec une lentille plan courbe tournant sa face courbe vers la lumière

R. = -^/, R, = oo, « = ^7^

l'aberration est donc de très peu supérieure au minimum; de là l'emploi très fréquent en Optique, quand on se sert de lentilles simples, de la lentille plan courbe.

Le retournement serait encore plus mauvais qu'avec la lentille croisée, car on aurait

ou environ 4«.

La forme de la lentille d'aberration minima change avec l'indice de la substance employée; ainsi avec des substances d'indice

48 PREUIÈRE PARTIE.

supérieur à

environ, les deux courbures devraient être de même sens.

Enfin si, au lieu de rayons parallèles, nous considérons le faisceau émané d'un point situé sur l'axe, à distance finie, mais assez gT'ande pour que les rayons tombant sur les bords soient encore peu obliques à Taxe, la forme devra encore être modifiée, et cela d'après la distance du point.

37. Lentilles aplanétiques. — Il n'est pas impossible de construire une lentille mince qui soit rigoureusement aplanétique; mais alors ses faces ne doivent plus être sphériques. On trouve qu'une lentille aplanétique, pour un point situé à l'infini sur son axe, a pour face des paraboloïdes ; pour un point situé à distance finie, des surfaces de révolution engendrées par des courbes que 1 on appelle les ovales de Descartes.

La construction de telles lentilles n'est pas pratique.

38. Aberrations principales d'un système complexe. — On peut, en partant des équations qui nous ont servi dans l'étude des aberrations principales d'une lentille (§ 165), calculer ces aberrations pour un système centré.

On obtiendra ainsi, pour un système de deux lentilles, par exemple, la valeur de l'aberration résultante, en fonction des rayons de courbure et des indices, et on pourra chercher à combiner ces éléments de façon que cette aberration soit nulle; contrairement à ce que nous avions trouvé dans le cas d'une lentille unique, le problème admettra des solutions pratiquement réalisables.

On pourra obtenir le même résultat avec des systèmes plus complexes de lentilles et, d'une manière générale, il sera possible de construire des lentilles composées, à surfaces sphériques, qui soient aplanétiques suivant l'axe.

39. Aberrations des rayons obliques. Astigmatisme. — - Considérons maintenant un faisceau de rayons parallèles entre eux, mais obliques à l'axe principal; ou bien un faisceau de rayons provenant d'un point situé, à distance finie, en dehors de l'axe principal.

CIIAI». m. — EFFETS DES ABERRATIONS. .\Q

Cas cTune sur/ace unique. — SI l'on se borne au cas d'une seule surface limitée par un bord circulaire et de rayons parallèles entre eux, le problème n'oflFre aucune difficulté, et nous l'avons traité plus loin (§ 169 et suiv^)

Nous résumerons rapidement ici ce que l'on trouve. Soh(Jlg. 20) une surface présentant sa concavité au premier milieu, supposé le plus réfringent. Un faisceau embrassant l'ouverture tout entière de la surface donne lieu à une caustique en deux parties, l'une étant une portion de l'axe secondaire CI du faisceau, c'est-à-dire de la

Fi g. 20.

normale menée à la surface parallèlement aux rayons incidents, l'autre étant une surface de révolution autour de cet axe secondaire ; car rien ici ne différencie les axes secondaires de l'axe principal, qui est simplement la normale menée au sommet de la surface.

Seulement, lorsque nous divisons les rayons du faisceau en séries cylindriques autour de l'axe secondaire, la plupart des séries seront incomplètes, les rayons n'étant pas distribués symétriquement autour de cet axe, et par suite la seconde partie de la caustique ne sera pas non plus symétrique par rapport à lui.

Le sommet commun aux deux parties de la caustique sera un point ^ situé à une distance / de la surface, et par conséquent à rintersection de l'axe secondaire avec une sphère concentrique à la surface et passant par le foyer principal.

Si nous coupons en ce point le faisceau réfracté par un écran perpendiculaire à l'axe principal, il s'y formera autour du point <&, très W. 4

brillant, une auréole irrégulière. Supposons, en effet, que, parmi les séries cylindriques de rayons, nous considérions celle qui touche par un point au bord de la surface : les rayons intérieurs à ce cylindre fourniront une première auréole analogue à celle que nous avons trouvée suivant l'axe principal; elle sera seulement elliptique au lieu d'être circulaire, parce qu'ici l'écran est oblique à l'axe commun des cônes de rayons réfractés.

Mais les autres rayons ne pourront former que des séries cylindriques de plus en plus incomplètes, qui, par suite, ne fourniront à l'auréole que des anneaux elliptiques de plus en plus incomplets ; l'aberration allant d'ailleurs en croissant pour ces séries successives, la lumière, dans Tauréole, sera de plus en plus dispersée et la tache lumineuse reçue sur l'écran présentera l'aspect d'une comète dont la queue sera dirigée du côté opposé à l'axe principal.

Cette disposition s'accentuera de plus en plus à mesure qu'augmentera l'obliquité du faisceau, le point d'éclat maximum occupant dans la tache une position de plus en plus excentrique.

Ces phénomènes s'observeront facilement en exposant obliquement aux rayons solaires la face plane d'une lentille convexe de dimensions un peu grandes ; le cas de cette lentille, ainsi employée, rentrant exactement dans le cas que nous étudions, puisque la réfraction par la face plane ne fait que changer l'obliquité des rayons en les laissant parallèles.

Avec un faisceau de rayons parallèles passant d'un milieu moins

Fig. ai.

réfringent dans un milieu plus réfringent, à travers une surface tournant sa convexité vers la lumière (ce qui revient à renverser

CHAP. iri. — EFFETS DES ABERRATIONS. 5l

la marche de la lumière par rapport au cas précédent), on aurait au contraire une tache en forme de comète dont la queue serait dirigée vers Taxe {fig* ai).

Il suffira, pour l'observer, de retourner face pour face la lentille plan convexe, de façon à présenter sa convexité aux rayons solaires; il faut noter cependant que la généralisation que nous faisons ici du cas de la surface unique au cas de la lentille plan courbe n'est pas aussi exacte que tout à l'heure, parce qu'ici les rayons, quand ils rencontrent la face plane, ne sont pas parallèles.

Les deux autres cas (raj^ons passant dans un milieu plus réfringent à travers une surface tournant sa convexité vers la lumière, ou dans un milieu moins réfringent à travers une surface tournant sa concavité vers la lumière) nous donneraient les mêmes résultats, mais avec des images virtuelles.

Supposons maintenant qu'on limite le faisceau à un pinceau très délié; nous n'aurons plus que deux portions très petites des

Fig. 22.

deux parties de la caustique : ces deux portions seront réduites à deux petites lignes lumineuses, rectangulaires entre elles et qui, en général, seront à une certaine distance l'une de l'autre (^fig* 22); ces petites lignes, dites lignes focales, ne se couperont que si le pinceau est formé de rayons à très peu près normaux à la surface ; dans ce cas, et dans ce cas seulement, tous les rayons réfractés,

^* PnEilIÊBE PARTIE.

devant passer par le point d'intersection des lignes focales parce qu'ils doivent tous les rencontrer toutes deux, donneront un point de concours unique qui sera un véritable foyer. Ce foyer, ce sera lo sommet commun des deux parties de la caustique.

A mesure que le pinceau s'éloignera de la normale parallèle à sa direction, les lignes focales se sépareront àe plus en plus

On observera facilement ces lignes focales de la façon suivanteon prendra une lentille plan convexe dont on masquera la ph,^ grande partie avec un écran annulaire ne découvrant que la portion centrale par une petite ouverture; on recevra sur cette lentille les rayons solaires, obliquement à l'axe, et l'on coupera les rayon. réfractés par un écran; en éloignant peu à peu cet écran de la lentille, la tache lumineuse trouble qu'il reçoit se réduira pour une position donnée, à une petite ligne lumineuse assez nel'te- en continuant à déplacer l'écran, la tache redeviendra trouble, puis' un peu plus loin, se réduira encore à une petite ligne nette, de direction perpendiculaire à la première, puis redeviendra encore trouble.

Ceci posé, admettons qu'on reçoive sur notre surface unique des rayons venant de divers points très éloignés et situés à des distances quelconques de l'axe; nous savons déjà que si nous admettons pour toutes ces directions des faisceaux embrassant toute l'ouverture nous n'aurons que des images très mauvaises, en forme de comètes'

Si nous ne laissons à découvert qu'une portion très petite de la surface, au voisinage du sommet, et que nous admettions à ira verser cette portion des rayons d'obliquité quelconque, chaque pinceau nous donnera un système de deux lignes focales; si „ou. supposons ces lignes réduites à des points, le lieu de ces points se composera de deux surfaces de révolution autour de l'axe prin cipal, ayant même plan tangent au foyer principal des ravons centraux où elles coupent l'axe principal, puis s'écarlanl de plu. en plus 1 une de l'autre : ce seront les surfaces focales.

Enfin, supposons qu'on se serve encore d'un diaphragme, mais qu on le place au centre de courbure de la surface; nous n'admet trons encore dans chaque direction qu'un pinceau délié, mais tous ces pinceaux rencontreront normalement la surface, puisqu'ils passent tous par son centre; chacun d'eux donnera un foyer unique

CIIAP. m. — EFFETS DES ABERRATIONS. 53

les deux portions de la caustique se réduisant à leur sommet commun, et le lieu de ces foyers sera une surface sphérique concentrique à la surface réfringente, et séparée de celle-ci par une distance égale à la distance focale principale /.

Cette disposition nous donne donc, même avec admission de rayons très obliques, une surface focale unique. Quant à sa courbure, elle variera avec la forme de la surface réfringente. Dans le

Fig. 23.

cas que nous avons considéré, de rayons passant dans un milieu moins réfringent à travers une surface tournant sa concavité vers la lumière {fig' 23, i).

ni > /i„ R > o,

la surface focale tourne sa concavité vers la lumière; son rayon est en valeur absolue

Elle est donc assez peu courbe.

Si nous supposons, les milieux étant disposés de la même façon, que la surface soit convexe {fig* 23, ii),

/ii>/ï„ R<o,

la surface focale devient virtuelle, comme étant le lieu d'images

virtuelles; elle tourne sa convexité vers la lumière; son rayon est encore, en valeur absolue, R -+-/.

Si nous supposons le second milieu plus réfringent que le premier et la surface convexe {Jig* 23, m)

la surface focale est réelle; tournant sa concavité vers la lumière, elle a comme rayon

Elle a donc une courbure assez prononcée.

Enfin, si nous supposons la surface concave (Jig' 23, iv),

n, </ij, R>o,

la surface redevient virtuelle; son rayon est encore R — /; elle présente à la lumière sa face convexe.

Cas général. — Le problème général de l'aberration des rayons obliques par un système centré est trop compliqué pour trouver place ici (^). La solution s'appuie sur un théorème général, dit théorème de Gergonne, et qui est le suivant :

Des rayons primitivement normaux à une même surface sont encore, après un nombre quelconque de réfractions, normaux à une même surface, et l'on peut toujours trouver une surface réfringente unique (généralement non sphérique), d'indice donné, qui produise le même effet que le système entier des réfractions.

(Ceci comprend tous les cas qui nous intéressent, des rayons incidents parallèles entre eux étant normaux à un plan, et des rayons incidents émanés d'un point étant normaux à une sphère.)

On déduit de là, d'abord, que le système des rayons réfractés donne toujours naissance à une caustique à deux nappes ; mais ce n'est que dans le cas où toutes les surfaces réfringentes sont de révolution autour d'une droite passant par le point lumineux, que de CCS deux nappes l'une se réduit à ime portion de l'axe commun,

( ' ) Voy. Pellat, Cours de Physique^ t. II, p. 870 et siiiv. ; cl Verdet, Cours de Physique de l'École Polytechnique, t. Il, p. 173 et suiv.