RAYONS CENTRAUX

83. Foyers conjugués. — Considérons deux milieux, d'indice /ij et /i2j séparés par une surface sphérique de centre C : nous supposerons celte surface limitée à une calotte sphérique de sommet S, et nous appellerons axe principal le rayon CS de la sphère qui passe par le sommet.

Soient un point lumineux P, (/î^. 77), situé sur l'axe principal,

Fig. 77.

et un rayon émané de ce point et compris dans le plan du tableau. Il rencontre la surface en un point I, en faisant un angle i avec la normale CI; si nous supposons par exemple n^ >> /i|, la réfraction rapprochera de la normale le rayon lumineux, qui sera dirigé suivant IT, faisant avec CI un angle r tel que

/ij sini = /7|Smr;

la direction IT rencontre Taxe principal au point P2, dont nous allons déterminer la position.

Soit (1) Tangle ICS; dans le triangle P4IC, on a

sinu) sinf'

dans le triangle PjIC,

sino) sinr

- d'où, divisant membre à membre,

P,I sini PgC P,I""sinr P,C' ... P,l /^P,C

(^^) pH^^^pTc-

Désignons par R le rayon de la sphère, par/?, la dislance P, S du point lumineux au sommet, et par/>2 la dislance P2S.

Si (1) est petit, c'est-à-dire si le rayon P, I s'écarte très peu de l'axe principal, P2let P, I différeront peu de P2S et P, S, et nous pourrons les remplacer par /?2 et/?, dans l'équation (25) qui deviendra alors

(26) /^î n^ Pt — R

Pi ''lA— R

Il est facile, en cherchant la vraie valeur de P, I et de P2I, de voir quelle est l'approximation que nous avons faite. Abaissons la perpendiculaire IM sur l'axe principal

PiI^V^imV PiM*=v/imV(PjCh-CM)«.

Mais

cm = v^ci'-im'

ouj en désignant IM par^.

d'où

de même

RÉFRACTION PAR UNE 8URFAGB 8PHÉRIQUE. I77

En prenant P^I = p^ et P2I =/>2> nous avons négligé y^. Dans l'équation (26) chassons les dénominateurs : il vient

^xPxPt — /Il /?, R =z= ntpiPi — n^pi R, n^Pi^ — /it/?iR = (/Il — ni)pipt

ou, divisant par />| />aR,

La valeur de p2 et, par suite, la position du point P2 sont donc indépendantes de la position du point I : par conséquent tous les rajons émanés du point P| et s^écartant peu de l'axe principal passeront, après réfraction, par le point Pj : ce sera Vimage deP,.

L'équation reste la même si l'on change />« en p2C\. n^ en n^, ce qui montre que les rayons, se propageant dans le second milieu suivant des directions qui passent par P2, prendront dans le premier des directions passant par P4 : en d'autres termes, que P| est l'image de P2.

Les deux points P| et P2 sont donc conjugués; on les appelle des foyers conjugués.

84. Convention de signes. — La relation (27) est absolument générale, et s'applique à tous les cas qui peuvent se présenter, pourvu que l'on convienne de considérer les longueurs p^ /?2 et R comme positives quand elles sont placées, par rapport à la surface, du côté de la lumière incidente, et comme négatives en cas contraire. Dans toute cette étude, nous définirons de même le sens positif, c'est-à-dire que toute longueur sera considérée comme positive quand elle sera située, par rapport à son origine, du côté d^oà vient la lumière, c'est-à-dire à gauche de son origine, puisque dans toutes nos figures la lumière est supposée venir de la gauche.

Grâce à cette convention, toutes nos formules seront de même absolument générales.

85. Foyers principaux. — Si dans l'équation (27) nous faisons

p^ = 00, elle devient

Si nous faisons />2 = ac,

Nous désignerons par /a et /i ces valeurs particulières de /?i et/>2:

Ce sont les distances focales principales : elles déterminent les distances à la surface des foyers principaux F« et F2, le second étant le sommet du cône que forment, après réfraction, des rayons

Fig. 78.

Fig. 78 bis.

incidents parallèles à l'axe {fig. 78); le premier, le sommet du cône que forment les rayons incidents qui, après réfraction, deviennent parallèles à l'axe (fig. 78 bis).

Remarquons que

Donc les deux foyers principaux sont forcément situés de part et d'autre de la surface, et les valeurs absolues de leurs distances^à la surface sont dans le rapport des indices.

Remarquons aussi que /, -f- /j = R.