REFRACTION PAR UNE SURFACE SPHÉRIQUE. I

86. Antres formes de réqùation fondamentale. Éqnation. de Newton. — On peut donner à Téquation (27) d'aulres formes qui seront plus commodes dans certains cas.

Substituons à /i| et à 112 leurs valeurs en fonction de f^ et de /2* Nous avons ainsi

ifiR ~

et l'équation devient

P^ Pt

Pour établir cette relation (27 bis), de même que pour la relation (27), nous avons pris comme origine le point où Taxe coupe la surface réfringente. Il est facile de voir que la forme de l'équation

p\ Pt

subsiste si Ton rapporte les distances du point lumineux et du foyer principal Fj à un point quelconque P j de l'axe, et celles de

Fig- 79-

l'image et du foyer principal F2 à l'image P', donnée, de P', par la surface, et si l'on convient de compter toujours les distances comme positives quand elles sont dirigées, à partir des points pris comme origines, du côté de la lumière incidente.

Soient, par exemple {fig» 79), P', et P', deux foyers conjugués quelconques. Nous désignerons par xi et o\ les distances de P| et de F| à P^; par lua et 92 les distances de P2 et de F2 à P,.

Pi et P2 étant conjugués, nous avons

Pi Pf

P^ et F^ étajit içtli-WÊenî coajaz«és« bobs arotts aasâ

Je d:$ qoe Ton a

Eo verto des coareDtioas faites sur les âfiies, nous avons, dans

rW, »/>« = />'. ^^1- ,11 , ~S,= -/:«/>,,

* Pt — Pt — '^f ' rt = /j— /'s-

Remplaçons />! el/>2 par leors valeors dans (3o'i :

Chassant les déoominatears et déireloppant,

f%Pt—fx-% — frp\ — ft-\—PxP\^P\-r—Pi-^—-\'t'

Mais nous avons aassi (3i)

f\P\^ftP\ = P\p\- Retranchant membre à membre et ordonnant,

OU enfin

CV'^t la véritable équation générale, et (27 6û) n'en est qu'une forme particulière : nous avions pris comme origine unique le sommet : mais un point lumineux situé au sommet donne une image confondue avec lui ; nous avions donc bien deux origines, et c'étaient deux foyers conjugués, mais elles étaient confondues.

Nous pourrons de même prendre comme origine unique le centre de la surface, car le centre est, lui aussi, confondu avec son image.

Enfin on peut donner à la relation générale des foyers conjugués

RÉFRACTION PAR UNB SURFACE 8PHÉBIQUE. l8[

une forme très commode que l'on désigne sous le nom adéquation de Newton.

Désignons par q^ et q^ les distances des points Pf et P^ aux foyers principaux correspondants, qui sont ici afleclés des mêmes indices, et convenons, en vertu de notre convention générale, de les considérer comme positives quand elles seront comptées^ à partir de ces foyers, du côté de la lumière incidente.

Les distances/f et/2, p% et p^ étant toujours comptées à partir du sommet de la surface, nous avons (Jîg- 79)

Pi — qx — {—fi)—<i\ -t-Zt»

Pi=f% — (—7») = ?î -i- /i-

Substituant dans (27 bis)^ il vient développant,

/i7t -^/i/i -+- 9ift -^Aft = qxqt^ qxfi +/i 71 ♦-/i /v

et enfin

(27 quater) q\q\—f\h'

87. Axes secondaires. — L'axe principal ne diffère en rien d'essentiel des autres rayons de la sphère dont fait partie la surface; il ne peut donc jouir d'aucune propriété qui n'appartienne également aux autres, et, par suite, tout ce que nous venons de voir s'appliquera non seulement à un point lumineux situé sur l'axe principal, mais encore à tout autre point lumineux. Nous appellerons axe secondaire celui des rayons de la sphère qui passe par le point : les rayons lumineux émanés du point et s'écartant peu de l'axe secondaire donneront sur cet axe, après réfraction, un point de concours unique, et les distances, à la surface, du point et de son image, mesurées sur cet axe, seront reliées par l'équation (27), prise sous l'une quelconque de ses formes.

88. Plans focaux principaux. — Nous aurons en particulier sur chacun des axes secondaires deux foyers, dits secondaires, dont les distances à la surface seront les mêmes que celles des foyers princi-

k83 SECONDE PARTIE.

paux. Le Heu des foyers antérieurs et celui des foyers postérieurs seront donc des portions de sphères concentriques à la surface, et coupant Taxe principal aux foyers principaux.

Si nous ne considérons que des axes secondaires très peu écartés de Taxe principal, ces surfaces focales seront réduites à de très petites portions, qui pourront être considérées comme des plans perpendiculaires à Taxe principal, et que nous appellerons plans focaux principaux. Mais il est bien entendu que des rayons lumineux parallèles entre eux ne donneront leur point de concours dans un des plans focaux principaux que s'ils sont très peu obliques par rapport à l'axe principal, et que, par suite, ces plans ne pourront être utilisés que dans une portion très petite autour de Taxe.

89. Plans conjugués. — Soit maintenant une série de points lumineux distribués sur une surface sphérique ayant son centre au centre C de la surface. Chacun de ces points donnera lieu, sur son axe secondaire, à un point conjugué, qui sera son image.

Comme la relation (27), même sous sa forme la plus générale, s'applique aux axes secondaires et subsiste si Ton prend le point C pour commune origine des distances, les images des divers points, qui sont également distants du point C, seront aussi également distantes de ce point et seront par conséquent distribuées sur une sphère concentrique à la surface.

Nous aurons ainsi deux surfaces conjuguées, qui, si nous nous bornons à des points peu écartés de l'axe principal, seront limitées à des portions assez petites pour pouvoir être confondues avec des plans perpendiculaires à cet axe; nous les appellerons plans conjugués,

90. Image d'un objet. — Si, en particulier, nous considérons un objet lumineux plan A|B| perpendiculaire à l'axe principal, mais dont les divers points s'écartent peu de cet axe, l'ensemble des images de ces points constituera une image A262 de T objet : elle sera plane et perpendiculaire à l'axe principal {fig» 80).

Il en sera d'un axe secondaire comme de l'axe principal.