IL - r£fragtion dans un ststëme centre
20. Généralisation. — Nous venons de voir comment on pouvait résoudre tous les problèmes relatifs à la réfraction dans une lentille unique des rayons peu obliques entre eux et par rapport à l'axe principal; et cela en connaissant soit les éléments géométriques de la lentille, rayons des faces, indice de réfraction, épaisseur; soit ses éléments optiques, distance focale absolue, position des points nodaux; ces derniers éléments peuvent être en effet soit calculés en fonction des premiers, soit déterminés directement par l'expérience au moyen de procédés que nous indiquerons plus loin.
Les méthodes s'appliquent exactement, et sans complication aucune, au cas de la réfraction de ces rayons, dits rayons centraux, par une combinaison quelconque de lentilles : il faut seulement que cette combinaison constitue un système centré, c'est-à-dire que les centres des diverses surfaces soient tous sur une même ligne droite, dite axe principal ou axe optique du système. Par conséquent, elles s'appliqueront en particulier à un objectif quelconque de Photographie.
Un tel système possède, en effet, comme une lentille unique, deux points nodaux et deux foyers principaux également distants des points nodaux correspondants.
21. Position des points nodaux dans un système formé de deux lentilles accolées. Distance focale. — La seule complication introduite a trait au calcul des éléments optiques en fonction des éléments géométriques, et cela simplement parce que le nombre de ces derniers s'est accru.
Ce calcul est encore relativement simple dans le cas de deux lentilles accolées, cas très fréquent, car nous verrons que les lentilles sont presque toujours accouplées en vue de la correction des aberrations.
On trouvera plus loin (§ 143) les formules donnant, directement en fonction des éléments géométriques, les valeurs des distances y* et j'a? du point nodal d'incidence au sommet de la face d'entrée de la lumière et du point nodal d'émergence au sommet de la face de sortie, ainsi que la valeur de la distance focale principale <p.
Nous ne les reproduisons pas ici, car nous verrons au paragraphe suivant une méthode nous permettant de calculer les éléments optiques d'un système de deux lentilles accolées en fonction des éléments optiques des deux lentilles considérées isolément, et cette méthode est d'un emploi beaucoup plus commode.
22. Cas de deux lentilles non accolées. Position des points nodaux. Distance focale. — Considérons un système de deux lentilles montées sur un même axe et séparées par une lame d'air d'épaisseur e^ .
CnAl>. II. — REFRACTION DANS LES LENTILLES ET OBJECTIFS. 23
Nous pourrions calculer directement dans ce cas comme dans le précédent les éléments optiques en fonction des éléments géométriques ; mais le nombre de ces derniers serait encore accru de deux; aussi la complication des formules deviendrait-elle très grande. Nous aurons des formules plus simples en calculant d'abord pour chacune des lentilles ses éléments optiques, et en calculant ensuite ceux du système en fonction de ceux-là.
Soient donc, pour la première lentille, Xi et x^ les distances de ses points nodaux aux sommets correspondants de ses faces, / la distance focale absolue, e l'épaisseur.
Soient de même, pour la seconde, x[^ x^^ f et e' les quantités correspondantes.
Soit enfin Ci^ l'épaisseur de la lame d'air.
Si nous désignons par Z\ et Zi les distances des points nodaux du système aux sommets des faces extrêmes, ces longueurs nous seront données (§ 1S6) en grandeur et en signe par
La distance focale absolue, que nous désignerons par f, sera donnée (§ io6) en fonction des mêmes éléments, en grandeur et en signe, par
/-i-/' — (ei-ha.-,— x'i)
23. Application des formules au cas de deux lentilles accolées. — On voit immédiatement que les formules que nous venons de transcrire peuvent servir au cas de deux lentilles accolées; il suffit d'y faire
Si nous reprenons pour ce cas les notations que nous lui avions appliquées, c'est-à-dire y^ et j^a pour les distances des points nodaux aux sommets, 9 pour la distance focale principale, les for-
mules devienneDt
7,= a?; H- ( 07 j— or;-) --
Nous allons donner comme exemple numérique le calcul des éléments optiques pour la lentille antérieure d'un objectif très répandu, le Rectilinéaire rapide 6| x 8{, de Dallmeyer.
Cette lentille est un ménisque combiné, formé d'un ménisque
<^, ^Pr %
ni
divergent en flint et d'un ménisque convergent en crown. Elle tourne sa convexité vers la lumière {fig^ i6, m).
Les dimensions du flint {fig. i6, i) sonr, en grandeur et en signe,
mm
Rj= — 25,4o.
nz=: i,5-4oi3.
Calculons d'abord ses éléments au moyen des formules (2) et (3), relatives à une lentille simple.
d7| :=: — Ri
.^ ji RiR«
•^ /^ — i /e ( R, -— H, -+- e) — e? ' Le dénominateur commun /i(R,— R,-f-e) — ^
Par suite
7 =^ — ^r^ r, Tmr = — 81 ,004.
Pour le crown (Jig. i6, ii), les dimensions sont :
Rj— — 25,4, R3:- -74,852, e-r. 6,188, w'~. 1,541022.
Le dénominateur commun
/i'(Rî— Rj-f-eO-e' "- 1 ,541022 [— 25,4 -h 74 î 852 H- 6, 1 88 ] — 6,1 83 ~ -H 79,525,
et par suite
25,4ox 6,188 ^'= 79,525 =+ '-Q'»'
Considérons maintenant le système formé par la combinaison
des deux lentilles, et substituons les valeurs que nous venons de trouver dans les expressions (8) et (9) de^<, de ^2 et de ç. Le dénominateur commun
=: — 81,554 -4-68,098 — ( — 1,057 — 1,959):= — 10, 44o; d'où
24. Cas d'un système quelconque formé de lentilles accolées. — On utilise souvent en Photographie les systèmes formés de trois lentilles accolées (Objectif simple grand angulaire de Dallmeyer, Landscape lensde Dallmeyer). Pour calculer les éléments d'un tel système, on pourrait partir directement des éléments géométriques. Le calcul serait extrêmement fastidieux.
On calculera séparément les éléments optiques des trois lentilles
puis on calculera les éléments du système formé par les deux premières en se servant des formules (8) et (9); on aura ainsi
7i, 72 et ç.
Puis le système des deux premières lentilles étant ainsi ramené à une lentille unique, on le combinera avec la troisième et Ton aura, au moyen des formules (6) et (7),
j ^i^XA-iy^-O
^-^J —Kyt — ^\)
Je ne crois pas qu'on ait jamais accolé plus de trois lentilles, niais il est évident que le procédé conviendrait pour un nombre quelconque, en combinant ainsi de proche en proche.
Nous allons calculer, comme exemple, les éléments d'un objectif simple grand angulaire pour vues, de Dallmeyer [ Wide angle Landscape](Jig. 17,1V).
Dans cet objectif, composé d'un ménisque divergent en flint
compris entre deux ménisques convergents de crown et tournant sa concavité vers la lumière, nous avons, comme dimensions de la première lentille de crown {Jig- 17, 1),
Le calcul que nous avons indiqué nous donne
De même les dimensions du ménisque de flint (^fig. 17, 11) étant
il en résulte pour ses éléments optiques
EnGn, le second crown {^Jig* 17, m) ayant comme dimensions
R,rz:-i-95,85, R4=--f- 45,719,
n" ziz 1,517116,
ses éléments optiques seront
Combinons d'abord le premier ménisque de crown avec le flint : il en résulte un système pour lequel les équations (8) et (9) donnent
71=^-^37,5, Jj== + 43,o5, 9=11 — 1821,25.
Associons enfin le système avec la seconde lentille de crown, et substituons dans les équations (lo) et (11) les valeurs de j'i, Va, a:,, ^5, <?et/\ Elles deviennent
25. Cas d*un objectif quelconque- — On procédera de façon semblable pour un objectif quelconque.
CIIAP. II. — ilKFRACTtON DANS LKS LENTILLES ET ODIECTIFS. 29
On commencera par calculer les éléments optiques des groupes de lentilles accolées; on aura ainsi pour chaque groupe
on mesurera l'épaisseur suivant l'axe des lames d'air interposées ; soit e^ entre le premier et le second groupe; 62 entre le second et le troisième, et ainsi de suite; puis on calculera les éléments du système formé par les deux premiers groupes au moyen des formules (6) et (7), qui deviennent
cp-f-cp' — (ei-hjs— y,)'
cp-+-9' — (ei-^-js-H/J
On combinera ensuite ce premier système avec le troisième groupe, et ainsi de suite.
Ces calculs seront considérablement abrégés quand il s'agira des objectifs, très nombreux, qui sont constitués par la réunion de deux groupes identiques symétriquement disposés.
Dans ce cas, en effet, on aura respectivement
et de plus
Xîi = — z^.
Nous allons calculer, comme exemple, les éléments optiques du Rectilinéaire rapide de Dallmeyer, dont nous avons déjà calculé (§ 23) l'une des lentilles combinées.
Nous avons trouvé, pour cette lentille,
Jl=:4- 21,181, J,zzr4- 25,446,
3o PREUIÉRE PARTIE.
L'objectif étant symétrique, nous en concluons que
Gomme, d'autre part, l'épaisseur de la lame d'air
«1 = 37,591, le dénominateur commun des expressions de z^ et de f devient
et nous en déduisons
^, = 21,181 -88,488^1^ ^-27-, 074, d'où
et pour I', il vient
f= ^^ — . f,o —290^"™, on.
On peut remarquer que, l'épaisseur totale de l'objectif étant de 53™'°,92i, dont la moitié est 26,960, les deux points nodaux sont sensiblement confondus. La disposition particulière dont nous allons parler est ici réalisée.
26. Disposition particulière. — M.A.Martin a en effet démontré qu'il est possible dans certains cas d'obtenir la coïncidence des points nodaux d'un objectif: cela pourra être réalisé, en particulier, toutes les fois que l'objectif sera constitué par la combinaison de deux groupes symétriques de lentilles.
Si nous considérons, en effet, soit dans une lentille, soit dans un objectif formé de deux groupes de lentilles, les portions transverses des axes secondaires, c'est-à-dire, dans le premier cas, les portions intérieures à la lentille elle-même; dans le second cas, les portions comprises dans la lame d'air intermédiaire, on démontre
ClIAP. II. — RÉFRACTION DANS LES LENTILLES ET OBJECTIFS. 3l
que ces portions rencontrent Vsi^e principal en un point unique, qui est ce qu'on nomme le centre optique. Ce centre optique est l'image de chacun des points nodaux par rapport aux faces correspondantes de la lentille unique ou par rapport aux groupes correspondants.
En effet, les portions incidentes des axes secondaires sont, en somme, des rayons se dirigeant vers le point nodal d'incidence, et puisque la première réfraction les fait passer par le centre optique, celui-ci est l'image que la première surface ou le premier groupe donne du point nodal d'incidence, et inversement. De même, puisque les portions transverses des axes secondaires, pouvant être considérées comme émanant du centre optique, prennent à la sortie des directions qui passent par le point nodal d'émergence, celui-ci est l'image du centre optique par rapport à la face de sortie ou par rapport au second groupe.
Or il existe pour chaque lentille convergente, simple ou composée, un point, appelé par M. MsLTlin point de Bradais, qui est situé sur l'axe principal et qui jouit de cette propriété que l'image d'un point lumineux occupant cette position se superpose exactement à lui.
Si Ton s'arrange de façon que les points de Bravais coïncident entre eux et avec le centre optique, les points nodaux de l'objectif et son centre optique seront réunis au même point. Dans un objectif symétrique, les points de Bravais des deux groupes en seront à égale distance, et, de même, le centre optique en sera également distant. Il suffira donc dans ce cas que les deux points de Bravais soient amenés à se confondre.
Dans une lentille simple infiniment mince, le centre optique et les points nodaux sont toujours confondus, et alors le centre optique jouit de cette double propriété que les rayons qui y passent traversent la lentille sans déviation ni déplacement et qu'il est le centre de similitude de l'objet et de son image.
Dans les lentilles épaisses et dans les combinaisons de lentilles en général, le centre optique n'a plus cette double propriété et ne présente pas grand intérêt.
Il la retrouve dans les objectifs où est réalisée la disposition dont nous venons de parler. Si bien que, dans ces objectifs, les axes
3^ 1>REUIÈRE PARTIE.
secondaires ne subiront ni déviation, ni déplacement et que le centre optique sera centre de similitude.
Ces objectifs se comporteront comme une lentille mince au point de vue de la réfraction des rayons centraux.
27. Propriété particulière du point nodal d'émergence. — Si l'on reçoit sur un écran l'image donnée de points assez éloignés |)ar une lentille ou par un objectif quelconque, et que l'on fasse tourner l'objectif autour d'un axe passant par son point nodal d'émergence, on voit que l'image reçue sur l'écran reste absolument immobile; si Taxe de rotation est en avant du point nodal d'émergence, on voit l'image se déplacer sur l'écran dans le sens de la rotation ; s'il est en arrière, on la voit se déplacer en sens contraire.
Cette propriété, déjà signalée dans la brochure de Secrétan sur les systèmes convergents, a reçu de M. le Commandant Moëssard deux applications très intéressantes : l'une pour la détermination des points nodaux au moyen d'un appareil destiné à l'étude des objectifs et que nous examinerons plus loin, le Tourniquet; l'autre pour la construction d'un appareil panoramique, le Cylindro graphe ' ' ;.
28. Relation générale des foyers conjugués. — Nous avons pu, sans difficulté, calculer les éléments optiques d'un objectif quelconque, en fonction de ses éléments géométriques.
11 est facile de démontrer {\)oir § 138) que la relation générale des foyers conjugués, établie pour une lentille unique, s'applique exactement au cas d'un système centré quelconque. Nous avons encore, en désignant par f la distance focale absolue du système, par/?i la distance de l'objet au point nodal d'incidence, par p^ la distance de l'image au point nodal d'émergence,
(') Le Cylindrographe est une très ingénieuse solution du problème, très difficile, de la Photographie panoramique. L'appareil comprend une chambre hémicylindrique dont le pourtour intérieur est garni d'une surface sensible et un objectif ordinaire, qui peut tourner autour d'un axe passant par son point nodal (rémergence cl confondu avec l'axe du cylindre; cet objectif, en tournant, donne
et la formule, grâce à nos conventions de signes, conviendra à tous les cas possibles.
29. Plans focaux principaux. Plans focaux conjugués. — Les foyers secondaires, correspondant aux divers faisceaux formés de rayons parallèles entre eux et peu obliques par rapport à Taxe principal, se trouveront ici encore sur une portion de sphère pouvant être assimilée à un plan. Nous aurons ainsi, à chacun des foyers principaux de l'objectif, un plan focal principal.
successivement Fimage des diverses parties du panorama sur les diverses portions de l'écran sensible, et, grâce à la propriété du point nodal, les images partielles
se juxtaposent sans que le mouvement de Tobjectif apporte aucun trouble dans leur formation.
Au moyen d'une alidade, placée à la partie supérieure de la chambre, et qui commande les mouvements de l'objectif, on fait, pendant la pose, osciller celuici de manière que les diverses parties de la surface sensible reçoivent à leur tour et pendant le môme temps les rayons lumineux.
Tout le monde a pu voir les belles photographies qui ont été obtenues avec cr.l appareil; elles doivent évidemment, pour être examinées, être collées non pas sur une surface plane, mais sur un demi-cylindre de même rayon que la chambre; pour n'avoir aucune courbure des lignes droites, il faudrait placer l'œil sur l'axe du demi-cylindre. (Voir le Cylindrographe, appareil panoramique, par P. Moiissard. i vol. in-i8. 1889; Paris, Gaulhier-Villars et fils.)
De même, les foyers conjugués de points situés sur une portion de sphère ayant pour centre le point nodal d'incidence seront distribués sur une portion de sphère ayant pour centre le point nodal d'émergence, et, comme il ne s'agit que de rayons très peu obliques à Taxe, ces portions de sphères seront assez petites par rapport à leurs rayons pour être confondues avec des plans.
Nous aurons donc des plans focaux conjugués, et un objet plan, perpendiculaire à l'axe et petit par rapport à sa distance à l'objectif, nous donnera encore une image plane et perpendiculaire à l'axe.
30. Grossissement. — De même que la relation des foyers conjugués, la formule du grossissement, établie pour une lentille unique, subsiste pour un objectif quelconque; c'est-à-dire que nous avons encore, en désignant par h^ et h^ deux dimensions homologues de l'image et de l'objet,
ce que nous pourrons écrire, en vertu de la relation des foyers conjugués,
ai f — Pi ou
Remarque. — La distance focale absolue étant la même des deux côtés de la lentille, il résulte de la symétrie de la relation des foyers conjugués que, d'un point donné, une lentille ou un objectif quelconque donnera une image dont la grandeur et la position seront les mêmes, quelle que soit la face présentée à la lumière ; pourvu, bien entendu, qu'en retournant la lentille on fasse occuper au point qui était primitivement le point nodal d'émergence la position qu'avait le point qui était primitivement point nodal d'incidence, et réciproquement.
Nous verrons d'ailleurs plus loin, en parlant des aberrations, que ce retournement ne serait pas sans effet sur la qualité de l'image.
CUAP. II. — RÉFRACTION DANS LES LKNTILLES ET ORJECTIFS. 35
31. Application et discussion des formules générales. — Nous allons maintenant donner quelques exemples d'application numérique des formules générales des foyers conjugués et du grossissement aux divers genres de problèmes que peut avoir à résoudre le photographe.
Nous supposerons par exemple qu'on ait à sa disposition le Rectilinéaire rapide, de Dallmeyer, dont nous avons déterminé par le calcul les éléments optiques,
-i = — 27,074, 5, = 4- 27,074, f=290,OII,
ou sensiblement
-Si = — 27, ^, = H- 27, f = 290.
I® Supposons qu'on cherche à quelle distance de cet objectif se formera l'image nette d'un objet lumineux situé à i'°,5o en avant de la face antérieure, perpendiculairement à l'axe.
Nous rappellerons tout d'abord que les distances />< et p^ qui entrent dans les formules sont comptées des points nodaux; que par conséquent, pour passer de p^ à la distance qui sépare l'objet de la face antérieure, il faut ajouter à p^ la longueur z^ prise avec son signe ; et, pour déduire de p^ la distance de l'image à la face postérieure, ajouter à p^ la longueur Z2 prise, elle aussi, avec son signe.
Nous rappellerons également que toute valeur négative trouvée pour /?2 indiquera que l'image est réelle; toute valeur positive, qu'elle est virtuelle.
Ceci posé, l'équation générale étant mise sous la forme
nous avons, en prenant le millimètre comme unité, /?! -iz: i5oo — (—27)=: 1627,
et la distance cherchée est
36 PHEMIÈRE PARTÎF.
LMinage est réelle, et se fait à 33 1™™ de la face postérieure de Tobjectif.
Quant au grossissemeat, nous avons
Aj Pt __ — 358 I
h\ Pi 1^27 4>266'
le signe — nous indiquant que l'image est renversée.
2** Supposons, au contraire, qu'on cherche à quelle distance de l'objectif il faut placer l'objet pour que son image se forme à 4oo™" de la face postérieure.
Nous avons
L'équation générale, mise sous la forme
devient
— 4îî7 X 290 ^
Pi = f—^ ^^ = H- 903 ,2,
et la distance cherchée est
3® Supposons enfin que l'on cherche à quelle distance il faut placer un objet pour en avoir une image dont le grossissement soit exactement égal à \ par exemple.
Nous avons alors par la formule générale du grossissement, mise sous la forme
/'i t'-pi'
Suivant que nous prenons le signe + (image droite ) ou le signe — (image renversée), il vient
Pi ou
CIIAl». 11. — aÛFRACTlON DANS LES LENTILLES ET OBJECTIFS. 87
la première solution correspondrait à un objet virtuel, puisqu'elle entraîne pour /?< une valeur négative; la seconde est seule admissible : elle donne
et la distance de l'objet à l'objectif devra être
Nous donnons ci-joint un Tableau, dressé par Secrétan, et qui donne pour chaque valeur du grossissement et pour chaque distance focale les valeurs absolues de^i et de p^*
nv\
M Ijl* *!*i Lit 1^ Ij» 4,11 tm iU tv l«a (i3« tW 1,-H
ajs â«
^^SiËËF
«« V VI Vf.»
Pour se servir de ce Tableau, on suivra, d\ine part, la colonne verticale, en tête de laquelle est indiqué le grossissement que l'on veut obtenir; d'autre part, la colonne horizontale, en avant de laquelle est portée la dislance focale absolue de l'objectif dont on dispose; dans la case située à Tintersection de ces deux colonnes, on trouvera deux nombres : le premier donne la valeur de /?< ; le second la valeur de/?2.
Il faut remarquer que ces distances sont calculées à un centi-
38 1>HEUIÈRE PARTIE.
mètre près, approximation qui peut être insuffisante dans beaucoup de cas, au moins pour la plus petite des deux distances; de plus, les distances focales ne sont prises que de 5*^" en 5*^™, aussi le Tableau ne peut-il fournir, en général, qu'une première indication; le calcul exact de /?< et de /?2, au moyen des formules que nous avons données, est d'ailleurs, comme on vient de le voir, très simple et très rapide.
On trouvera, dans une autre Partie, la discussion complèle des formules du grossissement et des foyers conjugués, discussion donnant pour chaque cas la position, le sens, la nature et le grossissement de l'image.
Nous allons simplement résumer ici les résultats de cette discussion dans le seul cas qui, pratiquement, nous intéresse : celui d'un objectif équivalant à une lentille convergente.
Tout d'abord, pour que l'image soit réelle, il faut, si l'objet est réel, que celui-ci soit plus éloigné de l'objectif que le foyer principal antérieur.
Supposons-le d'abord à une distance infinie de l'objectif; l'image se fait dans le plan focal principal postérieur; c'est ce qui aura lieu pour le Soleil ou pour un objet extrêmement éloigné : l'objet se rapprochant régulièrement, l'image s'en éloigne, d'abord avec une extrême lenteur, puis un peu plus vite; elle est toujours plus petite que l'objet, mais elle va croissant; elle est renversée; l'objet arrivant à une distance du point nodal d'incidence X| , égale au double de la distance focale absolue, l'image est arrivée à une égale distance du point nodal d'émergence ^Z^] elle est devenue égale à l'objet. Celui-ci se rapprochant encore, l'image s'éloigne encore, toujours renversée, mais maintenant agrandie; elle s'éloigne de plus en plus vite, de très petits déplacements de l'objet donnant lieu à des déplacements considérables de l'image; et, quand enfin l'objet arrive dans le plan focal antérieur, l'image est rejetée à l'infini.
Nous allons, pour fixer les idées, suivre ces variations sur un exemple numérique.
Prenons, par exemple, un objectif de o™, 20 de distance focale et déplaçons sur l'axe un point lumineux.
Le point étant à rinfini, Timage sera à o'^aodupointnodal^^,.
» » 200*" du point nodal 5'!^, » » o",2002 » »
» » o'",2o » » » » à l'infini » »
On voit qu'on peut regarder le déplacement de l'image comme insensible quand la distance de l'objet devient un peu grande par rapport à la distance focale.
Si nous nous rapprochions encore davantage, les rayons venant d'un point et tombant sur l'objectif seraient trop divergents pour qu'il pût les rendre convergents; à leur sortie, ils s'écarteraient encore les uns des autres, moins cependant qu'à l'entrée, et c'est seulement leurs prolongements qui passeraient par un point unique. On aurait une image virtuelle, qui, pour un objet lumineux, serait droite et agrandie, et qui, d'abord rejetée à l'infini, se rapprocherait de l'objectif en même temps que l'objet.
Supposons maintenant que l'objet soit lui-même virtuel : c'est un cas qui peut se présenter lorsque l'on recueille, dans un objectif photographique, les rayons sortant d'un instrument d'optique, microscope, lunette ou télescope.
L'objet est donc derrière la lentille et s'en éloigne; l'image est aussi derrière la lentille, et s'en éloigne, mais très lentement; et, quand l'objet arrive à l'infini, l'image arrive seulement au foyer principal F2; elle est droite et diminuée; elle est réelle.
40 PUKMIÈRE PARTIE.
