AC

BC = 0-,48 ; et AG . CB = 0,9216.

L^équation (E) fournit :

Masse eictite remplaçant un balancieb, — Avant de echercher la valeur de cette masse, il est indiapenBable de

ppeler quelques principes de mécanique rationnelle, qui sont écesBaires à la solution de la question proposée et que voici :

1*» La force vive d'un corps qui tourne autour â'ufi axe, est égale

\ produit de la moitié du carré de la vitetse angtdaire de C€ corps

'T son moment d inertie relativement à cet axe,

2** Le moment dluertie d'un corps relativement à un awe, est la tomme des produits formés en multipliant la masse de chacune des

rrties élémentaires du corps ^ par le carré de sa distance à Vaxe. 3** Q,uanion connaît le moment d inertie d\n corps relativement à un axe qui passe par son centre de gravité^ on peut le trouver relativement à un autre axe quelconque parallèle à celui-ci, en ajoutant au premier mometit d'inertie, le produit de la masse du corps par le carré de la distance des deux axes.

ké*» On nomme rayon de gyratlon, la distance de l'axe de rotatWH laquelle toute la masse du corps devrait être placée^ pour qu'elle possédât, sous la même vitesse angulaire, la force vive qu^elle

r^sède sous m forme efective.

Noua y ajouterons, pour les besoins particuliers de la question qui nous occupe, les valeurs des momeats d*inertie des prismes droits à bases rectangulaires et à bases triangulaires rectangles, lorsqu'ils tournent autour d'un axe qui passe par leurs centres de gravité et qui est perpendiculaire aux bases.

Pour un prisme à base rectangulaire • • • • "Tn (^* + ^')

Tb '*• + ^')

Pour un prisme à base triangulaire rectangle,

r, et M, sont les masses des prismes correspondants, 6 et c les deux côtés de l'angle droit dans les bases de ces prismes* Pour donner un exemple de Fusâge que Ton peut faire de

es expressions^ nous supposerons qu'un prisme à base rectau-

gulairei tourne autotir d*uii axe perpendiculaire au plan «taj cette base et qui passe par son centre de gravité, et que Vo veuille chercher son rayon de gyratiou* Ou aura : force rive pour une vitesse angulaire n

Force vive du même corps si toute sa masse M possédait U Titesse Y ^ i«f qui existe à rextrémité du rayon de gyration i.

2 ~ 2 • Eq égalant ces deux expressions, il tient :

^^' = T-ro(^' + 0

d'où J*

et

En général, il suffit, pour (router le rayon de gyration iu% corps relatitemmi à Vaxe autour duquel il tourne, d'égaler le carré de ce rayon, à tout le fadeur qui multiplie la masse du corps , dans tespreêsion de sou moment d'inertie relativement à cet ame.

L'application de ces principes à la recherche des rayons de gyration des balanciers tels qu'on les emploie ordinairement dans les machines^ ne peut pas conduire à des résultats rigcm* reusement exacts, à cause de la forme peu définie géométriquement de ces organes, et à cause des masses additionnelles qui eu font partie et qui sont fort arbitrairement réparties; ce qû ne permet pas de déterminer bien exactement, leurs moment! d'inertie relativement à Taxe de rotation ; mais il n'est nullement besoin dans ces applications à des machines colossales, de résoudre ces problèmes avec une rigoureuse exactitude, il suffit d'arriver à un îlegré d'approximation suffisant pour éviter tout grave mécompte.

Nous pensons que ce degré d'approximation sera suffisant quand on aura considéré les balanciers comme des prismes dont la base sera leur projection sur le plan du mouvement. D'après cette convention, le balancier de la machine du Val Benoît représeùté par la figure 62 serait considéré comme un prisme dont la base serait formée des deux trapèzes dont les hauteurs

seraient : d'un côté le bras OD, de Fautre le bras OC auquel on ajouterait une petite longueur pour tenir compte de la partie située au-delà du point C, elles poids de toutes les pièces intérieures placées entre les deux flasques en tôles rivées, seraient considérées comme également reparties sur toute la surface des deux trapèzes*

Dans ces conditions, voici comment le moment d'inertie de chaque bras, peut être déterminé :

Nous avons représenté par la figure 64 un de ces balanciers en forme de double trapèze et nous avons partagé la surface de chaque bras en trois parties, un rectangle et deux triangles rectangles.

Dans le trapèze ABCD tout est connu ^ les deux bases a et h^ la hauteur L, le centre de gravité E du rectangle, et le centre de gravité x des triangles qui se trouve au tiers de Df mené de D au milieu de yV'\

Le balancier qui a cette fijrure peut être dessiné sur une échelle assez grande et avec assez de soin, pour que les dimensions de toutes les li>;nes que Ton pourra tracer à l'intérieur, puissent être prises directement sur le dessin, afin d'éviter les solutions géométriques par le calcul, qui sont toujours assez longues»

D'après ce que nous avons dit ci -dessus, le moment d'inertie de la partie rectangulaire kV^fjn relativement à Taxe parallèle à Taxe 0 de rotation du balancier, et qui passe par le centre de gravité E, sera, en désignant par M ^ la masse de cette partie du balancier,

Le moment d'inertie de la même masse relativement à l'axe 0, sera

Les masses étant proportionnelles aux volumes correspondants, et les volumes aux surfaces correspondantes, noas pourrons remplacer M^ par la surface * du rectangle considéré, ce qui donnera rexpression

que nous repréBenterons par I et qui sera entièrement contrat.

Le moment d^ioertie de la partie trianguJaire I>|fC rebtrr^

ment à Taxe w^ sera, en désignant la niasse par M,,

Or

Cy

et C/

Ce moment d'inertie prendra alors la forme J« — 2ab 4- an

Pour la même raison que ci-dessus, nous pourrons rei M, par la surface i' du triangle DCy, et comme il y aj triangles égaux, le moment d^inertie des deux sera

(4L* + i* + a'— 2ah).

Relativement à Taxe 0, le moment d*incrtie des deux triangulaires réunies, sera

(4L» 4- J* + û* 2ab\ + 2s* 0^\

La distance Os peut être mesurée sur Tépure pour éTÎler lç calculs nécessaires à la détermination numérique, ou peut cl déterminée par le calcuL

Nous représenterons ce second moment d'inertie qui est atisa entièrement connu, par I^.

En déterminant par le même procédé les moments d'iner de Tautre bras du balancier, on connaîtra ces moments. Noni représenterons par I^ celui de la partie rectangulaire FIIK» et par Ij celui des deux parties triangulaires situées de pariai d*autrc du rectangle. Les masses, dans ces moments d'inerti€5 seront également remplacées par les surfaces correspondants

Le moment d'inertie du balancier tout entier relatîTtfmeBtl Taxe 0, étant le produit de la masse totale par le carré du nj«s de gyration, on aura, en remplaçant Ja masse totale par h

H surface totale S du flauc de ce balancier, comme nous ayons ■ remplacé les masses partielIeB, par les surfaces partielles, ou ^ aura, disons-nous :

Srf» = I + I, +i. +1,; d'où J = y/SI+Ï+Ï.

Cela signifie que si toute la masse du balancier était placée à cette distance ^ de Taxe 0 ; elle posséderait une force vive épfale à celle de ce balancier sous sa forme actuelle, pour la même vitesse angulaire- Ce balancier se trouve ainsi assimilé à une masse de même poids que lui et qui se mouvrait à Textrémité d'un levier ^, pendant que la maîtresse tige se meut à Textrémité du levier que nous avons représenté par p dans la figure 62. En désignant par P^ le poids total du balancier,

et par Q, le poids qu'il faudrait ajouter à la maîtresse-tige pour qu'il emmagasinât le même travail que le "balancier, au même instant du mouvement, on aurait

Si le balancier avait une forme qui se rapprochât de la forme parabolique, qui est celle d'égale résistance aux efforts appliqués à son extrémité, et qui est analogue à celle que représente la figure 65, on partagerait la surface, comme rindique la figure, en parties ayant approximativement la forme de triangles rectangles; quelques unes pourraient être rectangulaires. Toutes les dimensions seraient déterminées sur une épure faite avec soin, et on procéderait comme ci-dessus à la recherche du rayon de gy ration.

Il est clair que de semblables procédés d^évaluation des moments d'inertie, ne sont qu'approximatifs, parce que la masse des balanciers n'est jamais répartie sous une épaisseur constante, dans toute retendue de leurs faces latérales ; mais ils suffisent dans Tapplication et ne peuvent occasionner de mécomptes sérieux, surtout à cause de rinfiuence relativement assez faible, du poids de ces balanciers sur la vitesse de ces

énormes appareils ; puis ces procédés sont à la portée de tout le monde* Ils seraient inutiles si les balanciers avaient des formes géométriques bien définies» pour lesquelles on connaît exactement la valeur du moment «riiiertie relativement à Tajte qui passe par le centre de gravité.

Quant aux contrepoids qui terminent les balanciers, comme celui qui est désigné par F, dans la figure 62, on peut encore considérer toute leur masse comme appliquée à leur centre de gravité.

Si G est ce centre de gravité, P^ le poids du contrepoids,

Q, le poids rapporté à la raaîtresse-tîge qui serait équivalent à ce contrepoids, au point de vue de Temma* gasinement du travail, V la vitesse de la maîtresse-tige, V, la vitesse du point G,

on aura :

Or

d^où :

et finalement :

et V! = y