RT
On tire de là : Cv(T'-T"'j = C, (P'-P) V J
La quantité de chaleur à fournir pour les deux opérations, Q*, aura donc pour valeur :
Q' = g- 1 Cp (V'-V) P + C, (P'-P) V I
Par le premier procédé, le travail Tç trauBmis sera égal à
F (V'— V) représenté par la surface ABDE. Par le second, le travail tran&mk T'e ne sera que P fV'— V) représenté par la surface ABCF. La différence des travaux produits par les deux procédés est représentée par la surface FCDE, et par l'expression (V'-V)(P'-P).
La différence des quantités de ctialeur dépensées dans les deux modes d'opération, est
" "' ''je, (P'-P) V + Cp (V'-V) P' - Cp (V'-V) P -
d'oùQ-Q' —
Cp
C,(P'-P)V' I ; j I C, (P'-P) (V'-V) - C (P'-P) (V- (P'-P)(V'-V)|(Cp-C,).
pression qne la différence des quantités de chaleur à dépenser dans l'application des deux procédés est exactement proportionnelle à la différence des travaux produits.
Quantité de chaleur nécessaire pour faire passer 1^"- de gaz de rétat PVT à un autre état quelconque PTT^ quelle que soit la marche suivie pour passer du premier état au second.
Nous supposerons (fig. 8), que ce Idl. de gaz à la tension P représentée par AC, occupant le volume V représenté par OC, à la température T, passe à la pression P' représentée par BF, sous le volume V représenté par OF et à la température T', suivant an mode de variation du volume et de la tension, tel, que la ligne menée par les extrémités des tensions correspondantes à chacun des volumes successifs quMl occupe, soit une courbe quelconque AmnB.
Nous pouvons admettre ici le mode d^action du gaz que nous avons déjà adopté dans la recherche du travail à détente sous température constante, c'est-à-dire que nous considérerons le travail total comme résultant de la somme d'un nombre infini de travaux sous pression constante pendant un accroissement de volume infiniment petit, la tension au commencement de chacun de ces petits accroissements ayant la valeur réelle qu'elle doit avoir en cet instant.
Il est évident que, d'après cette convention, le travail produit dans le passage du gaz de l'état PVT à l'état P'V'T', sera représenté par la surface ABFC.
Si nous cherchons la quantité de chaleur g' consommée pendant l'un quelconque DE de ces accroissements de volume infiniment petits, en supposant que le travail est produit sous la tension p correspondante au volume t?, puis que cette tension se relève sous volume constant v^ de p kp\ nous trouverons d'après la démonstration précédente :
En obaerrant que Cp = K-Cv, on pourra donner à l'équation
la forme suivante :
La quantité totale de chaleur, Q', pour passer de l'état PVT à l'état P'V'T', " en suivant la loi assignée, aura donc pour valeur :
Q' = - Kx somme des produits {v'~v)p -\ — '-^ X somme
des (p'—p) v'.
Le produit (o' — v) p est représenté par la surface DE sm, et quand l'accroissement de volume DE est injininient petit, cette surface coïncide avec DE nm ; donc la somme de ces surfaces sera égale à ABFC qui représente le travail externe Te du gaz passant de l'état PVT à l'état P'V'T'.
D'autre part le produit {?'— p} v' est représenté par la surface yneA qui coïncide avec gamh daas l'hypothèse de l'accroissement de volume infinimcBt petit ; doue la somme de ces surfaces sera égale à kSxy. Or kBxy = 0¥Bx — OCAy — ABFC, donc la somme des {p'-y) c' = FV — PV — T«.
De plus, on peut poser, d'après une démonstration précédente,
P'V = ^ et PV =^ , d'où P'V PV = ^ (T'-T).
L'équation générale ci-deasus deviendra alors :
Q' = '-#^T. + ^^jf,T'-T)-Tej,
et Q' = \^ Cv (K-1) Te + Cv (T'-T) .
Mais, d'après ce que nous avons exposé précédemment,
AR Cv (K — 1) — — j- , et il reste pour expression finale :
Q'-A.Te + Cv(T'-T) j
produit pendant le changement d'état, plus la quantité qui a été exclusivement appliquée à la variation des températures extrêmes. C'est le résultat que nous avions déjà posé à priori dans les préliminaires du principe de l'équivalent mécanique de la chaleur.
Dans cette démonstration, nous n'avons assigné aucune valeur déterminée aux températures initiale et finale T et T', de sorte que nous pouvons les supposer égales ; l'équation générale se réduit alors à
Cela signifie que toute la chaleur fournie se transforme en tratail, lorsqu'une certaine quantité de gaz passe d'un état dVquilibre à un autre et que^ dans les deux états limites^ la température est la même. La voie-employée pour produire le changement d'état est tout à fait indiférente.
Il devient encore évident, d'après tout ce qui précède, que si une masse de gaz passe d'un état à un autre, en produisant une certaine quantité de travail extérieur et en variant de température, puis qu'ensuite on la ramène, par compression et par soustraction de chaleur, identiquement à son état initial, toute la chaleur dépensée pendant la première période de l'opération, sera reproduite dans la seconde.
Des courbes de détente des gaz.
Nous avons vu, dans le chapitre consacré à la recherche de la quantité absolue de travail qu'une masse donnée de gaz peut produire par sa détente, lorsque l'on maintient sa température constante en lui restituant à chaque instant la chaleur qui disparait dans la production du travail, que si l'on représente (fig. 5) par AB, AC, AD .... les volumes qu'occupe successivement cette masse de gaz et par BN, C^;, Dy .... les tensions correspondantes à ces volumes qui ne croissent que d'une quantité infiniment petite de l'un quelconque d'entr'eux au suivant, on pourra tracer la courbe ^xyz . . . K dans laquelle la hauteur de chaque point au-dessus de AH représente la tension correspondante au volume occupé par le gaz en cet instant.
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iV^^iv ^N^ss^ V»' y^'s w \»» M^'M» »U' »vnf' .v »••# /iy«c adiahatique; c'est
la courbe des pressions correspondantes aux yolumes lorsque, pendant la détente, le fluide baisse de température en perdant, à chaque instant, la quantité de chaleur correspondante au travail qu'il transmet à une résistance toujours égale à sa tension. Le terme adiabatique vient de deux mots grecs qui signifient que cette détente, ou Topération inverse qui est une compression, ont heu dans une capacité dont Tenveloppe est imperméable à la chaleur. Ce phénomène se produirait, par exemple, si l'on pouvait créer une enveloppe qui posséderait, à chaque instant, pendant la détente ou la compression, la température du fluide qu'elle renferme.
Nous reviendrons plus loin sur cette courbe.
Travail de la détente lorsque la loi qlii régit le rapport de la pression au volume est de la forme P : P' =- V'" : V"".
Dans presque toutes les applications importantes de la détente, on peut donner cette forme au rapport de la pression au volume ; au moins avec un degré d'exactitude suffisant pour la pratique.
L'exposant m peut varier suivant les circonstances, mais il doit avoir été préalablement déterminé dans chaque cas particulier, avant de procéder à la recherche du travail.
Le rapport général peut se mettre sous la forme suivante :
En multipliant les deux membres par y-, , on obtient :
Supposons qu'il s'agisse de 1^"- de gaz, et représentons par T sa température initiale sous le volume V, et par T' sa température finale sous le volume V.
Nous aurons, d'après ce qui a été dit précédemment des travaux potentiels d'un kil. de gaz :
PV-SI FVi-5ï: et^-^- ÏV--3-, I V --J- etp^-^,,,
don» t-{t) "r i(i,).
On peut aussi exprimer T' en fonction de T, de P et de P'. En extrayant la racine m« des deux membres du rapport prir /V'\"* mitif pi "■ ( V ) ' ^ vient :
V yp)
Si l'on élève ensuite les deus membres à la puissance m— 1, on trouve :
ce qui donne pour valeur de T' :
D'un autre côté l'expreBsion générale de la quantité de chaleur Q qu'il faut communiquer à li"'- de gaz permanent pour 1& faire passer de la température T à la température T', en produisant un travail extérieur Te, est
Q = Cv(T'-T)+ATe.
Ontiredelà:Te=^- J(T'-T) = 9 -,^(T-T'),
que l'on peut encore mettre soua la forme
„ Q . CvT/T-T'\ Q , CvT/, T'\
et, en remplaçant T' par ses valeurs déterminées ci-dessus,
la chaleur pour obtenir entre le volume et la tension le rapport adopte P : F = V'"» : V^.
Comme moyen de yérifîcation, appliquons les expressions ci-dessus au cas de détente suivant la courbe isothermique pour
laquelle on a ^ » ^, et Q = APV log. nép. ^ pour quantité de
chaleur neutralisée par la détente.
La seconde valeur de Te sera, m étant égal à 1 :
APV log. nép. Y CvT(^ /V\oj
Toute quantité élevée à la puissance zéro est égale à Tunité, de sorte que le facteur entre parenthèse devient nul ainsi que le second terme du second membre. Il ne reste donc pour^valeur du travail obtenu, que
Te = PV log. nép. Y 1 résultat conforme au précédent.
Les équations générales du travail à détente, qui précèdent, peuvent encore se mettre sous une autre forme plus souvent employée.
Nous avons vu précédemment que, pour les gaz parfaits,
on a :
AR Cp = K.Cv et que Cp — Cy = —r- ;
ATî AR
On tire de là : Cv (K— I) = :^ etCv= ^^
rf(K-l)*
D'autre part le travail potentiel PV = -^ donne :
£n substituant, dans les équations générales, ces valeurs
H T et à Cv capacité calorifique ?
vient :
cil observant toujours que Q es' (le la chaleur au gaz, pendant ■ port V : P' « Y'^ : Y^.
Nous terminerons ce sujo- ^ (lente par elle-même ; c'e>f quelconque, gaz parfait (ii (luo le rapport tlu volume produit le môme travail »
tondrait suivant cette h chaut la chaleur néccNS . > •
.1' la sur- ■ cst::.--
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On ohtiont cutî.
dil» lorsque lo • dopons do sa pro'»:
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. :noiit del'autl"® ; s pressions, tandis :ixo AB. Dans cet t-t représenté par oy' iniiniment petite, P'V',e!
. . !ito étant supposée avoir lie
l:ure a^iyz' = alpz aura alor^
rv>»ir.;.:
• :og. déc. p 2,3026.
