Nous avons trouvé [55 1] pour l'intégrale de

l'équation

du d^u

dt~d^' W

la série

a=cpa?-|*-,ç'^H .9*'^H ô . Q^'o: + etc. : h)

cette série à son tour est susceptible d'être sommée ou exprimée sous forme finie , par une intégrale définie. En effet, d'après les formules connues [4o3]

l'équation (a) prend la forme

V^wy— ooL i«2 i.a.3 ^

H- ^ =-^. 9'^x + etc. e-*'rfw

= — = . / «p(x + 2<i> v/t)e-^*dfù. (3)

On aurait aussi

INTEGRATION PAR LES INTÉGRALES DlÉFINIES. 421

et par conséquent ,

En mettant l'expression sous cette forme, on voit mieux qu'elle s'applique aux valeurs négatives de / comme aux valeurs positives : les termes affectés d'imaginarité, pour t négatif, se détruisant mutuellement sous le signey*; et en effet rien n'empêche de donner à t des valeurs négatives dans la série (2) , d'où l'expression (3) est déri* vée.

Celle-ci se tire encore très-simplement de la formule

car l'équation {a) donne, quand on y remplace a> par €0 — al/7,

e — «» + aa«^7 — a v^(i> = l/^ ,

ou

6«*' = — ;=./ e— »»H-aa»V/'7<!/(«>, (4)

et par suite

formule qui coïncide avec (3) lorsqu'on remplace, comme cela est permis,