L'équation

du ^itu

qui se confond avec l'équation (3) quand on prend, pour plus de simplicité, a=i, a lieu entre la température u de la section droite d'une barre cylindrique homogène, le temps t et l'abscisse x de cette section, comptée de l'une des extrémités de la barre. On désigne par a un coefficient qui dépend de la conductibilité de la barre et de sa capacité pour la chaleur, par / la longueur de la barre ; et l'on prend pour zéro de l'échelle thermométrique la température (supposée constante) du milieu dans lequel elle est plongée. En conséquence il faut que , pour x=zo et a:=l^ on ait «=o, quel que soit t. Il faut de plus que, pour t=o^ u se réduise à une fonction fx^ arbitrairement donnée entre les limites x=Oj x=dj et qui exprime l'état initial des températures de la barre.

On satisfait à l'équation (a4) par la série

If = 2 • Â sin flure "•*"*'; (a 5)

et si l'on prend, comme dans l'exemple précédent,

on aura tenu compte des conditions qui se rapportent

414 LIVRE Vît. CHA.PITRE IV.

aux deux extrémités de la barre. Il suffira ensuite de faire

pour que la valeur de fi, qui répond à £=:;=o, représente l'état initial des températures de la barre.

563. Dans les deux applications qui viennent d'être faites, on peut considérer les valeurs du paramètre cl, données par la formule (23), comme les racines, en nombre infini, de l'équation transcendante sin «/ — o: en général on a pour déterminer la série infinie des vaieuri de a une équation transcendante, mais de forme plus compliquée et telle qu'on n'en peut déterminer que par tâtonnements les racines consécutives.

Supposons les mêmes données que dans le problkne précédent^ si ce n'est que la fonction u^ au lieu d'^re constamment nulle pour ar=:/, devra à cette limite, et pour toutes les valeurs de /, vérifier l'équation différentielle

du . , -,

Ce nouveau problème se rapporte à la détermination des températures d'une sphère homogène, plongée dans un milieu dont la température est constante, et primitivement échauffée de manière que tous les points à égale distance du centre aient la même température. La variable X désigne la distance d'un point au centre de la sphère; la fonction u est leproduit de la température du point dont il s'agit par la distance x; /est le rayon de la sphère. La condition d'avoir m=o, pour x=o^ quel que soit ty résulte de ce que la température du centre ne peut pas devenir infinie [458]; et l'existence

de lequatioa (^6), dans laquelle h exprime un coefficient constant, est une conséquence de la déperdition de chaleur qui s'opère, par rayonnement et par contact, à la surface de la sphère.

La valeur de u sera toujours donnée par la formule (aS) : mais en vertu de l'équation (26), les paramètres a devront être les racines de l'équation transcendante

a cos a/ + A sin a/=o. (27)

Admettons qu'on ait calculé ces racines : il s'agit de déterminer les coefficients A de manière que, pour t;=xy^ use réduise à une fonction ^, assignée arbitrairement entre les limites x=o^ .x=L Voici la méthode donnée par M. Poisson pour effectuer cette détermination, et pour démontrer en même temps que l'équation (27) ne comporte pas de racines imaginaires.

564. Multiplions par sin ouccLv les deux membres de réquation (2/1), et intégrons entre les limites .r=:o, x=l: il viendra

ri , d. I u sin oûcda: . , «.

L'intégration par parties donne :

fl , . d^u , [du . V fi du ,

/ smowr-7— ar=r -T-sinouî — al cosûlt -7-007, Jo da: Ida: Jo Jo dx

I cos olx -j- dx -^.X u cos olx \ + a I « sin cnxdx^ d'où

fi, d^uj [du . V .r^ ' j

I sinoar-r— flte= -7-sinaj7-aMcosûtr -a*/ usincLvdx. Jo dx" [dx Jo Jo

Pour arrzzo, on a w=o, sin a.r=o; pour .r=/, on a, en vertu de l'équation (26),

Au.

-r- sin ax — au cos ojp = — u{h sin a/-f- a cos oc/)i

quantité nulle à cause de Téquation (27). En conséquence l'équation (tïS) se réduit à

^° , = — a'â*/ usi

dt Jo

sin axdx,

et elle a pour intégrale

u sin oLXclx = Cd ■"•'"*', o

C désignant la valeur de

'u sin o.^,

qui correspond à fc=o, c'est-à-dire l'intégrale

fa: . sin axdx.

On aura donc, par l'élimination de la constante C,

/ u sin cLxdx = c""*'"*' / ^j: . sin oucda:, (29)

Si nous substituons dans cette dernière équation la valeur de u en série, donnée par la formule (a5), il faudra, pour l'identité, qu'il ne reste dans le premier membre que le terme correspondant à la racine a employée dans le second membre. En conséquence , pour toute autre racine a, numériquement différente de a, on aura

/ sin OLT sin oCxdxzzzq^ (3o)

et l'équation (29) donnera simplement

a/ sin* otTflfr s= / fx. sin oucdx y ou bien, après la première intégration effectuée,

a/ — sina/cosa/ d'où

a / fx . sin

OLxdx

tt = 22 . J^ ; — sin otîC.tf-«'"% (3 1 )

OLL — sin ai CCS a^ '

ce qui détermine complètement la valeur de u.

Il faut remarquer que, si a est une racine de Téqua*» tion (27), — a en est une autre; mais on ne donnerait pas plus de généralité à la solution en tenant compte des racines négatives, puisque la somme de deux termes

A, sin otr.^—*-*' + A, sin ( — ow:).«— •«*'

équivaut à

(Aj — A,) sin aar.«-"'«''= A sin OLr.d-"*"'',

le paramètre a ne devant plus recevoir maintenant que des valeurs positives.

565. Au moyen de l'équation (3o) on prouve, comme nous l'avons annoncé, que l'équation (27) n'admet point de racines imaginaires. Soit en effet a=(jL-|-v |/H7 une racine imaginaire de l'équation (27) : celle-ci aura une autre racine imaginaire conjuguée a=:(ji — ^vJ/HT; et l'équation (3o) deviendra, après les transformations ordinaires ,

^ / [sin' \Lx{€*' + ^-^')"+ cos" (ia?(«** — «-^')']â£a?=o,

équation impossible^ puisque tous les éléments de l'in* tégrale qui en constitue le premier membre sont essentiellement positifs.

On trouve en effectuant l'intégration :

, , sin (cl — a')/ sin (a + c^)l

s\naLxs\naxdx=^ — y tt^— — -r tt-

a' sina/cosa7 — asin a7cosa/

Coinine'a,a' désignent des racines de l'équation (ay), le numérateur de cette dernière fraction est nul ; et l'on vérifie ainsi l'équation (3o), déjà démontrée par un raisonnement indépendant de la forme particulière de la fonction soumise au signe y]

Pour a'=â, le dernier membre de l'équation (Sa) se présente sous la forme ^, et sa vraie valeur, trouvée par la méthode ordinaire, est

olI — sin a/cos a/

comme on l'a obtenue en calculant directement l'intégrale y^' sin ^oLxdx.

566. Faisons dans l'équation (3 f ), £=0 : la fonction u devra se réduire kfx entre les limites x=OyX=dj et l'on aura, en remplaçant pour plus de netteté sous le signe d'intégratioa la variable x par uiu^ variable auxiliaire 5,

«r/^sinocÇiafÇ

f^r = 22 . -V- — ■" ; > • *» fltr.

^ oU — sin a/ cos a/

Ce sera une nouvelle formule de développement de la fonction /r, analogue à celles du chapitre XII du cinquième livre, et aussi rigoureusement démontrée, quoique d'une manière indirecte. Les formules de cette espèce peuvent être indéfiniment multipliées comme les équations linéaires aux différences partielles auxquelles elles correspondent; mais elles ne peuvent être employées avec sécurité qu'après qu'on a établi rigoureusement la convergence des séries qu'elles engendrent.

INTÉGllATiOW PAU LES SÉRIES. 419

567. S'il y avait trois variables indépendantes x^y^t dans l'équation aux différences partielles ^ linéaires et à coefficients constants , ou pourrait prendre pour inté* grale particulière

et l'on aurait entre a, ^^y une équation de condition

qui laisserait deux de ces paramètres indéterminés. £n conséquence on pourrait prendre pour intégrale générale

le double signe 22 indiquant qu'il faut combiner successivement toutes les valeurs possibles de a avec toutes les valeurs possibles de p. La valeur précédente de u subirait des transformations analogues à celles qui ont été exposées dans le courant de ce chapitre^ à propos du développement des fonctions de deux variables. Mais en général de tels développements, quand îe nombre des variables indépendantes surpasse deux, sont inapplicables à cause de leur prolixité. Il Ëiut substituer alors à l'emploi des séries infinies celui des intégrales définies, et cette subMitution sera Fobjet du chapitre suivant.