L'équation ——nu u a pour intégrale complète

«=A(, + ^-^4-^^-^. +^^-^ + etc.)

+ <p,x+ -.9,^H «Çi^H ^.<f^x + et€.

Désignons par «p^, <];^ les dérivées des fonctions 9,a:, ^i^: on aura

En effet , l'intégration par parties, répétée î fois, donne

/(x — (ày^^^<ùd(ùz==.(a; — {i>)*-'flp,ft) + (e -^ i) Çx — wy-'cp^w

+(/ — i)(i — 2){x — wy-3(p3a)4-...4-;(« — 1)(« — 2)...3.a.i(p/«i);

à la limite (o=o, toutes les fonctions ?, o) s'évanouissent en vertu de la définition; à la limite (ù:=x, tous les termes du second membre qui ont x — w pour facteur s'évanouissent aussi, et Ton trouve pour <^ijç la valeur écrite plus haut. Le même calcul s'applique à la fonction ^it.

Il viendra , en conséquence de cette transformation ,

« = A(i + ^ +^^-^ + ^3^. +etc.)

En désignant toujours par i un nombre entier positif,

on a [4o4]

INTEGRATION PAR LES INTEGRALES DÉFINIES. 423

^•sin-