j:^ . . . 2*.jrV

-AI ( i + — — sm*a-ï 5-»-7sm*a -f- etc. ]aoL

Pour les deux autres parties de la valeur de w, dont la composition est analogue , il sera plus simple de changer les exponentielles en cosinus, et l'on aura définitivement :

-/ / 'cos(2l//(w-jr)sin*a)^hp(o£&)

H — / / * cos(2 ]/x{tù —0 sin^a)da hJKorfw.

Nous tombons ici sur des intégrales définies doubles, tandis que nous avions obtenu l'intégrale de l'équation (i), exprimée par une intégrale définie simple.

570. Afin de donner un exemple de l'intégration des équations linéaires à coefficients variables, prenons l'équation

du d^u ku ^wx

di ^~ir*' ^ ^

qui admet pour intégrale particulière w==/e*', pourvu qu^ désigne une fonction de la seule variable x^ assu-

424 LIVRE vu. CHAPITRE V.

jettie à vérifier l'équation différentielle

L'intégrale de cette dernière équation renfermera deux constantes arbitraires A, B ; et Ton peut prendre pour intégrale complète de l'équation (5), u=^. j^ e*^, la somme s'étendant à toutes les valeurs possibles des constantes AjB, oL.

Pour la commodité du calcul , remplaçons a par a et fc par m (m — i j : l'intégrale complète de l'équation (6j sera, d'après la formule (17) du n® 471?

j = Aaf^l <?^«--sin»'"-'a)^ 4- Bx^^'^j c-»*«»-sin"-** tada.

Substituons cette valeur de^ daps l'équation £^=2^^^*% et remplaçons-y ensuite ^'' par sa valeur tirée de l'équation (4), en accentuant les iù qui entrent dans cette dernière équation, pour éviter de les confondre avec ceux qui entrent dans l'expression de ^ : il viendra

et si l'on pose

on aura plus simplement

u=^ûc^l I 9(0? cos CD + ao)' v^iyr^'^ sin»*"~ ' tadtadiù

•4- j:'~* / / ^x cos 0) + 2w'i/?)d-*'* sin*—**û>ûfo'€fc>. D'ailleurs M. Poisson a démontré (') que , nonobstant

(') Journal de J* École poiyiechnique, ig^ cahier, pag. 341.

la présence des deux signes de fonction op, ^ , l'intégrale ne dépend que de la fonction arbitraire de x, qui représente la valeur de u pour t=io.

57 1 . Les artifices de calcul à Taide desquels ou vient d'exprimer par des intégrales définies les intégrales complètes de diverses équations aux différences partielles y ne procèdent point d'une méthode uniforme : on peut recourir, comme Fourier l'a fait le premier, à d'autres considérations qui se rattachent plus étroitement à la propriété fondamentale des équations linéaires.

Prenons encore pour exemple l'équation

du d*u dt fl^'

à laquelle on satisfait par la valeur particulière

a=z A^^«*'cosa(j; — Ç),

Â, a, ^ désignant des paramètres indéterminés. Au lieu d'attribuer à ces paramètres des valeurs séparées par des intervalles finis, rien n'empêche de supposer qu'ils passent sans discontinuité par une infinité de valeurs; et même on peut établir entre les paramètres A, ^ une dépendance arbitraire

A=-«rf(Ç),

qui, loin de restreindre la généralité de la solution, lui donnera au contraire la généralité requise par l'introduction d'un signe de fonction arbitraire dont on pourra disposer selon les exigences du problème. On doit remarquer l'analogie de cet artifice avec celui dont Lagrange et Monge se sont servis pour tirer d'une intégrale particulière, mais pourvue de constantes arbitraires en nombre suffisant, le système d'équations propre à

représenter Tintégrale générale, en vertu des fonctions arbitraires qu'il renferme [5a 5 et 534].

Ainsi l'on satisfera à la proposée , à cause de sa forme linéaire, en prenant

u =^^-*' cos a(x— l).ri(^dlidaL,

quelles que soient la fonction XiJ et les limites des intégrations. Admettons de plus que la fonction u doive se réduire à «p^ pour ^=0 : d'après la formule de Fourier [435], il suffira de prendre

en assignant aux intégrales, pour limites supérieures -|-oo , pour limites inférieures — 00 ; et Ton aura en conséquence

a = — / / <?-«'' cos a(^ — Ic^^^dJcjÈUx,. (7)

Nous avons déjà obtenu la valeur de Uj exprimée par une intégrale définie simple : pour retrouver cette valeur, il n'y a qu'à effectuer, dans la formule précédente, l'intégration indiquée par rapport à a. On a en effet, d'après la formule (Je) du n^ l\io^

dou

et il ne s'agit plus que de changer sous le signe la va* riable auxiliaire en posant

^ — --2^=:co*, ou ç = a:+2coV/'f,

pour retomber sur la formule (3).

Si l'on avait , au lieu de la proposée , l'équation

INTEGRATION PAR L£S INTEGRALES DEFINIES. 427

du ^d^U

dt d^^ -

il faudrait évidemment changer dans les formules (7) et (3), t en a'ty ce qui donnerait

tt = — / / tf-«'«'' cos a{x — D^ldUloL ,

572. Les équations précédentes expriment les lois de la transmission de la chaleur dans une barre cylindrique j à section droite infiniment petite , indéfiniment étendue dans le sens de sa longueur ; lorsque la déperdition de chaleur par rayonnement et par contact, à la surface latérale de la barre, est supposée nulle ou insensible. La barre étant considérée comme indéfiniment allongée, il n'y a plus de conditions relatives aux valeurs extrêmes de x : ce qui distingue en général les problèmes pour lesquels on emploie les intégrales définies prises entre des limites infinies , de ceux pour la résolution desquels on développe Tintégrale en séries dont les termes sont donnés par la suite des racines d'une équation transcendante.

Soit maintenant l'équation à quatre variables indépendantes

du ,/rf'w d^u d^u\

dt ~^ \4^- "^ rfj' "*" dzO'

qui se rapporte à la propagation de la chaleur dans un solide homogène , illimité en tous sens , la fonction u devant se réduire à 9 (x, j", z) pour ^=0 : si nous posons , dans la vue de simplifier l'écriture ,

la formule de Fourier, étendue aux fonctions de trois va-

428 LIVRE vu. CHAPITRE V.

riabics, donnera

— QO

cosa(a; — l),co»fi{jr — <y)).co8^(z — C)*<'Ç^<<^^/^ou^P<^.

Par une analyse telle que celle qui vient d'être employée, l'intégrale sextuple se réduit à une intégrale triple^et l'on a

Les barres placées au-dessus et au-dessous des signes d'intégration, indiquent que toutes les intégrales sont prises entre les mêmes limites.