VARIABLES CONTINUES. NOTIONS SUR LES ÉQUATIONS

AUX DIFFERENCES MÊLÉES ET SUR LES ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENCES FINIES, A DEUX VARIABLES INDÉ- PENDANTES.

§ i^'. Des équations aux différences finies entre des variables

continues.

620. Lorsque ron considère une équation aux différences comme une condition à laquelle doit satisfaire une fonction continue de la variable indépendante, la fonction ne peut être déterminée^ dans toute l'étendue de son cours, qu'autant que Fon assigne arbitrairement, ou par des conditions indépendantes de Inéquation proposée, la forme de la fonction dans Tintervalle A.r de deux valeurs consécutives de la variable indépendante, si l'équation aux différences est du premier ordre, ou la forme de la fonction ^ans l'intervalle Ax-j-Ao:,, si l'équation est du second ordre, et ainsi de suite.

Ainsi, étant donnée l'équation

/(^?7>Ar)==o, (i)

où nous supposerons^ pour plus de simplicité, que x croît par différences constantes, égales à l'unité, on ne pourra construire pour toutes les valeurs de x la courbe dont^ est l'ordonnée, qu'en traçant d'abord arbitrairement cette courbe entre deux abscisses x^^x^-^-ij dont

Tune est arbitraire : l'équation aux dififérences déterminera le tracé de la courbe dans tout le surplus de sou cours, puisqu'on en déduira les valeurs de^ correspondantes aux abscisses

X étant une valeur quelconque de Tabscisse, comprise entre x^ et x^-\-\. 11 faut donc réciproquement que l'intégrale de l'équation (i), pour avoir le même degré de généralité que l'équation dont elle dérive, admette dans son expression une fonction arbitraire d'une espèce particulière.

Lorsque l'équation aux différences est du second ordre, ou de la forme

/(^,r,ArïA'r)=o, (a)

il faut, pour la construction de la courbe dont y est l'ordonnée, que l'on trace d'abord arbitrairement cette courbe, non-seulement entre les abscisses .To, ^o-j-i^ mais encore entre les abscisses a:o-|-i,^o-|-2; ce qui revient à tracer entre les abscisses Xf^x^-^i les deux courbes qui auraient pour ordonnées y et A^. Réciproquement, l'intégrale seconde de l'équation (a), pour avoir toute la généralité qu'elle comporte, doit admettre dans son expression deux fonctions arbitraires, et ainsi de suite.

62 1 . Lorsque x désigne une variable indépendante, à différences constantes, l'introduction de ces fonctions arbitraires n'exige pas d'autres procédés de calcul que ceux qui ont été suivis pour l'intégration des équations aux différences, quand cette opération avait pour but la détermination du terme général d'une série. En effet, rien n'empêche de considérer les constantes arbitraires introduites par l'intégration comme des fonctions pé-

JÉQCATIOWS ENTRE DES VA.niA.BLES CONTINUES. 509

riodiques telles que

assujetties à reprendre les mêmes valeurs chaque fois que X augmente de Ao:, et d'ailleurs arbitraires : la différence A<p étant nulle, en vertu de cette hypothèse, pour toutes les valeurs de x^ de la même manière que si ç désignait un paramètre constant. Tant que la variable y n'indique que les termes successifs d'une série dont x est l'indice, cette distinction n'est d'aucune importance, puisque la fonction ç, aussi bien qu'une constante proprement dite, conserverait toujours la même valeur numérique pour toute la série des valeurs de/; mais quand au contraire x et y sont des variables continues, la fonction (p varie avec x\ et il ne s'agit plus que de la déterminer de manière que la courbe dont y est l'ordonnée se confonde avec une courbe tracée arbitrairement entre les abscisses x^^Xq'\'^x.

Soit F(^,j,a)=o l'intégrale d'une équation aux» différences du premier ordre, avec la constante arbitraire a : elle deviendra

quand on y remplacera la constante par la fonction arbitraire <p. Nous supposons que l'intégrale F=:o ne contient pas de fonctions telles que (— 1)% incompatibles avec l'hypothèse de la continuité des variables

Désignons par fx l'ordonnée de la courbe tracée arbitrairement entre les abscisses x^.x^-^^ : on aura, pour les valeurs de x comprises entre ces limites ,

F{x,fx,(f) = o, d'où cp=<I>^, ^'désignant une fonction déterminée et connue. Il suf-

fira donc [livre V, chap. XII] de développer en série trigonométrique convergente la fonction ^œ donnée entre les limites ^«, a:„-[-A4:, puis de reporter cette série à la place de ç dans l'intégrale (3).

Si l'on avait l'intégrale seconde d'une équation du second ordre avec deux constantes arbitraires a, è, on en tirerait deux équations de la forme

F(ar,/,A7/i) = o, F.(^,j,A7,*)=o,

et en remplaçant a^b par deux fonctions périodiques arbitraires 9,^19

F(^,7,Ar,cp) = 0, F , (^, j,Ar,9,) = o.

Soit (entre les limites x^, ^o+A^)^=fr, A^:zzzf,x : il viendra

F(^,fr,f.a:,(p)=o, F.(;r,fr,f.a:,ç.)=o, dou

et il ne s'agira plus que de développer les fonctions données ^x, ^i x en séries trigonométriques , pour les substituer ensuite au lieu de a, b dans l'intégrale seconde. Le même calcul s'appliquerait aux intégrales d'un ordre quelconque, mais on a besoin de le modifier dans le cas oïl les différences de la variable x ne sont plus constantes.