Revenons à la construction arithmétique de

réquation

F(j:,r,Ar)=o, (F)

et supposons que de cette équation l'on puisse tirer deux valeurs de ^y en fonction de x^y. Après qu'on se sera donné arbitrairement la valeur initiale^^, correspondant à une valeur déterminée de x^ telle que xr=^Oy on aura, suivant qu'on choisira pour A^ Tune ou l'autre des deux valeurs fournies par l'équation (F), deux valeurs diffé^ rentes de /,, à chacune desquelles, par la même raison^ correspondront deux valeurs différentes de^„ de sorte qu'il y aura quatre systèmes distincts de valeurs pour la série partielle (^oyJKx^JTa)- 0>^ obtiendrait huit systèmes distincts pour la série partielle (/ot^o/a^J'a)» qui comprend un terme de plus^ et ainsi de suite. En général, si l'équation (F) donne m valeurs pour A/, la série partielle (/oy^ij^avvT^a) pourra être construite d'après cette équation, d'autant de manières différentes qu'il y a d'unités dans /7t". L'équation aux différences prise pour exemple, est du premier ordre, mais les mêmes remarques sont applicables aux équations aux différences d'un ordre quelconque.

Si, parmi les diverses séries, ainsi dérivées arithmétiquement de l'équation (F), il s'en trouve plusieurs dont le terme général puisse être exprimé par une fonction algébrique ou transcendante de l'indice et de la valeur initiale ^o, ou d'une constante arbitraire qui en tient

lieu^ réquation proposée aura plusieurs intégrales distinctes, et néanmoins complètes^ puisqu'elles contiendront une constante arbitraire.

Tel est en efïet le résultat auquel on arrive indirectement, quand, au lieu de remonter de l'équation aux différences à l'intégrale complétée par une constante arbitraire, on part d'une . équation entre x^y^t uoe constante, pour arriver à une équation aux différences d'où cette constante se trouve éliminée.

Prenons comme exemple l'équation très-simple

qui donne par la dtfférentiation, pour Us^^^x-,

brr:=^a^ (a)

et par l'élimination de la constante a,

A/* -f- arA/ —-/ =: O , (3)

d'où il suit que l'équation (i) est l'intégrale complète de l'équation (3).

Considérons maintenant dans l'équation (i) le paramètre a comme une fonction variable de Xj et afin que les équations (2) et (3) n'en subsistent pas moins^ égalons séparément à zéro la portion de la variation du second membre de l'équation (x)^ qui provient de la variation de a\ nous aurons

Aa(A^l-H^a+^ ■+- 1) ==0 ; et cette équation se décompose en deux autres

Ai0=3O , Aa4- aa-f- «-f- i =: o . (4)

La première donne a-=.const.y ce qui fait retomber sur l'équation (1). On pourrait appliquer à la seconde la formule générale du n^ 607 pour l'intégration des équations linéaires du premier ordre; mais si l'on pose directement a=:M-^//îj:-|-/i, u désignant une nouvdie fonction de .r, et rn^ n des constantes indéterminées^» il

viendra

ou simplement, en prenant /72= — j, /i= — 7,

Âii4^2il=:o. (5)

L'équation (5) qui peut se mettre sous la forme u^^r\-u^:^=o, a pour intégrale complète

u^^b{-iy, d'où a = b(-i)^-l~^

b désignant une constante arbitraire.

Cette valeur de a doit être substituée dans l'équation (1). Pour faciliter la substitution, on met celle-ci sous la forme

ce qui donne

On obtient ainsi une équation en x^jy jouissant de la propriété de satisfaire à Téquation (3), et qui en est» aussi bien que l'équation (i), une intégrale complète^ puisqu'elle renferme la constante arbitraire b.

613. Le géomètre Charles, qui a signalé le premier la multiplicité des intégrales que comportent les équations aux différences, distingue ces intégrales en directes et en indirectes. Suivant son langage, l'équation (3) aurait pour intégrale directe l'équation (i)et pour intégrale indirecte l'équation (6); mais ces expressions doivent être bannies comme propres à donner des idées inexactes. S'il est vrai qu'en opérant comme on l'a fait ci-dessus,, c'est-à-dire en se donnant directement l'intégrale (i)^ pour en conclure l'équation aux différences (3) et ensuite la seconde intégrale (6), celle-ci n'a été obtenue que d'une manière indirecte, il est vrai aussi que, quand on

496 LIVRE vin. GHAPITRX: III.

(a). Le résultat de celte élimination sera évidemment l'équation aux différences

(il.— m)(«. — ^)(t'.— tt)(^.— (;)=o, (9)

laquelle doit par conséquent être identique avec Féquation (3). Or, l'équation finale, mi&e sous cette forme, se décompose en quatre autres

11^ — 11= O,!', Çz=:0 ^ Ut t'=:îO, V, — 11=0 .

Les deux premières conduisent immédiatement aux intégrales u=a, i^=xij qui se confondent Tune et l'autre, après l'évanouissement des radicaux, avec l'équation primitive (1). Les deux autres équations conduisent précisément à l'intégrale que Charles qualifie d'indirecte, par opposition à l'intégrale primitive de laquelle on est parti.

Dans l'exemple qui nous occupe, on a

ce qui donne

Afin d'opérer plus commodément l'intégration , chaogeons de variable , en posant |/x' + 4^=2 : ces équations deviendront

— 1+^, -l-^==:o, i + z, 4-j5=:o, ou bien

^z + 2Z — 1 = 0, A^4-2z4-i=o; et l'intégration donnera

b\ V^ désignant des constantes arbitraires. De là on tire

Hi-i+'"<-''')"-T'

équations identiques avec l'intégrale (6), pourvu qu'on pose, ce qui est permis, U^=. — 26, //^— a^.

Si l'on conservé la variable auxiliaire z, l'équation (9), qui est une transformation de l'équation (3), prend la forme

et il est clair qu'on y satisfait, ou par une valeur de z en fonction de x qui rend nul un des facteurs pour toutes les valeurs numériques de x^ ou par une valeur de z qui annule successivement, tantôt l'un des facteurs tantôt l'autre. C'est ce dernier cas qui a lieu si Ton prend pour z l'intégrale de l'équation

X désignant une fonction quelconque de\r, qui soit un nombre entier pour toutes les valeurs entières de .r- car selon que X a pour valeur un nombre pair ou impair, la fonction (—1)^ prend les valeurs +r ou r^ et le premier membre de l'équation (ii) coïncide avec le premier ou avec le troisième facteur de l'équation (10). Pour intégrer l'équation (11), il suffit d'en multiplier le premier membre par

car elle prend alors la forme

(,)SX + A[(-i)sXz] = o, d'où l'on tire

( — I )ïX 2 = const. +2.[( — i)^'^]. On simplifie ce résultat , en remarquant que l'intégrale 2X doit être, comme la fonction X, assujettie à la condition de prendre des valeurs entières pour toutes les valeurs entières de x. Le carré de la fonction

(-i)sx-

est donc constamment égal à i ; et par conséquent, si l'on

498 LIVRB VIII. CHAPITRB m.

élève au carre. les deux membres de lequatiou précédente, en remplaçant la fonction arbitraire IX par X, oa aura

z* = x* + 4r=[ const. 4- i: ( — I )X]» . (i2)

Suivant qu'on prendra X=i, ouX=j:, on retrouvera par cette formule l'intégrale (i) ou l'intégrale (6); mais on pourra en déduire une infinité d'autres intégrales^ en assignant d'autres formes à la fonction X.

Si l'on représente par X' une fonction de x^ qui soit, ainsi que X, un nombre entier pour toutes les valeurs entières de .r,, l'intégrale de l'équation

devra encore satisfaire à l'équation (lo); mais en effectuant cette intégration, on trouve que les deux fonctions arbitraires X et X' se confondent en une seule

dans l'intégrale, et l'on retombe sur la formule (12).

Ces remarques sur la multiplicité indéfinie des intégrales que comportent certaines équations aux difTérences, sont encore dues à M. Poisson, et font l'objet du mémoire par lequel ce géomètre éminent a débuté dans une carrière parcourue depuis d'une manière si glorieuse et si profitable aux.sciences. On voit d'ailleurs que cette multiplicité indéfinie doit résulter de ce que l'on peut construire arithmétiquement [612] une infinité de séries distinctes , ayant toutes un premier terme commun, et satisfaisant toutes à la même équation aux diflFérences, lorsque celle-ci, résolue par rapport à la différence de l'ordre le plus élevé, comporte plusieurs racines. Mais il s'agissait de montrer que, parmi toutes ces séries, il y en a un nombre infini dont on peut exprimer analytiquement le terme général, et c'est ce que la discussion, qui précède met hors de doute.

iQDATIOWS AUX DIFFÉRENCES FIMIES. 499

615. II est bon de remarquer que le passage d'un facteur à l'autre peut avoir lieu, non-seulement pour les intégrales qu'on obtient dans l'analyse précédente par l'introduction du facteur (— f)^, mais encore pour les intégrales qualifiées par Charles de directe et d'indirecle. Supposons, par exemple, que l'on ait pour x=^ X= I et par suite z=z^ ; les quatre facteurs du premier membre de l'équation (lo), séparément égalés à zéro et intégrés d'après cette condition initiale, donneront : •2 = ar + 2, d'où 7=a;-»-i

La première équation donne à z une valeur néga tive quand x prend des valeurs négatives, numérique: ment plus grandes que a ; au contraire la quatrième équation donne à z des valeurs négatives pour toutes les valeurs positives de x, plus grandes que a ; la valeur de z, tirée de la seconde ou de la troisième, est positive ou négative, suivant qu'on prend pour x un nombre pair ou impair. En conséquence, l'équation .^^+, ..^^ a 1 équation aux différences

pour toutes les valeurs de ^>a, et au contraire à 1 equatioa

pour toutes les valeurs de .r<^,. Q„,„t ^^^ équations

elles satisfont alternativement à l'équation (j3) et à Téquation (i4)-

616. Les diverses intégrales que peut comporter une équation aux différences finies, ont entre elles des liaisons analogues à celles qui existent entre les intégrales singulières et les intégrales générales des équations différentielles; mais cette analogie, comme on Ta déjà dit j n'est que partielle et incomplète. Si l'on considère comme la propriété caractéristique des intégrales singulières, de ne pouvoir être complétées par une constante arbitraire, l'analogie s'évanouira; mais, d'autre part, on peut, ainsi que M. Poisson l'a encore fait voir, assigner à certaines équations aux différences des intégrales singulières, qui ne rentrent point dans les intégrales déterminées par les méthodes précédentes, et qui sont analogues aux intégrales singulières des équations différentielles , précisément d'après ce caractère de ne pouvoir être complétées par une constante arbitraire.

En effet , le calcul du n^ 477 s'applique aux équations aux différences comme aux équations différentielles, et l'on en conclut également que toute valeur de ^ en fonction de x , qui jouit de la propriété de satisfaire à une équation proposée, aux différences finies, en même

temps qu'elle rend infini le coefficient différentiel — t^>

ne peut être qu'une intégrale singulière de la proposée, dans le sens qui vient d'être expliqué.

Soit proposée l'équation

r+|Ar-^(64)'Ar'=o, (i5)

qui a pour intégrale complète

a désignant la constante arbitraire : on en tire

rfAj 3 I

valeur qui devient infinie, si Ton pose

Quand on élimine A^ entre celte équation et la proposée , il vient

^ ~8i"64' On satisfait à cette dernière équation en prenant

mais le premier couple ne satisfait pas à la proposée, tandis que les deux dernières valeurs de /^ qui y satisfont, donnent deux intégrales singulières de l'équation (i5).

L'équation (i6) qui détermine les valeurs de la constante arbitraire a pour tout système de valeurs initiales attribuées à x et à/, comporte, en général, trois racines inégales ; mais elle acquiert deux valeurs égaies lorsque les valeurs attribuées à x et à^ vérifient l'intégrale singulière.

La valeur ^"^=0 satisfait à la proposée, mais n'en est pas une intégrale singulière , puisqu'on l'obtient en faisant a=:o dans l'équation (i 6).

617. Une équation dans laquelle un paramètre constant n'entre qu'au premier degré, mais oîi la variable^ est élevée au carré ou à des puissances supérieures , conduit, par l'élimination de ce paramètre, à une équation aux différences d'un degré élevé par rapport

à A;r- Prenons pour exemple Téquation

ay — x = o : (17)

on en tire, par rélimination de a, l'équation aux différences

qui devient , étant résolue,

âr=r(-.±\/ip) .

}1 est clair que la construction arithmétique de cette équation aux différences donne une infinité de séries distinctes pour un même système de valeurs initiales; et pourtant on ne peut pas, en faisant varier la constante a dans l'équation (17), en déduire indirectement d'autres intégrales de l'équation (18). Mais si l'on résout cette même équation (17) par rapport à ^, on pourra remarquer qu'elle comprend , non-seulement les valeurs

(qui sont les seules qu'on en puisse déduire, lorsqu'on s'astreint à traiter^ comme une fonction continue de x), mais encore une infinité d'autres valeurs comprises dans la formule générale

X étant une fonction de j?, assujettie seulement à donner des nombres entiers pour toutes les valeurs entières de X. La multiplicité indéfinie des fonctions comprises dans cette formule , correspond à la multiplicité indéfinie des séries que l'on peut construire arithmétiquement , au moyen de l'équation aux différences.

618. Nous ayons supposé jusqu'ici^ pour plus de simplicité 9 Aa:=i : admettons toujours que cette différence soit constante, mais laissons-en la valeur numérique indéterminée. L'équation

yz=zax + a^ , (i)

que nous avons prise pour exem^ple, conduira^ par rélimination de la constante a^ à l'équation aux différences

La seconde équation (4) sera remplacée par

Aa + 2a -H jc-f-Aar=o ,

et celle-ci aura pour intégrale

Ao:

d'où résulte cette autre intégrale complète de l'équation (i),

Si maintenant on suppose que Ax, et par suite Aj deviennent des quantités infiniment petites, l'équation (19) se changera dans l'équation différentielle

dy* dr , • ,

et l'intégrale (i), dans laquelle la différence Lx n'entre pas ^ sera encore l'inte^ale complète de cette équation différentielle, à cause de la constante arbitraire qu'elle comprend. Mais comme l'intégrale . (20) renferme une fonction

6(-,.) de l'espèce de celles que nous avons indiquées au a"" a,

504 LIVRE VI ir. CHAPITRE Ilf.

laquelle reste discontinue, même quand l'exposant varie d'une manière continue , on ne peut faire que la valeur de^, tirée de l'intégrale (20), soit une fonction continue; et ainsi cette intégrale n'a aucun sens par rapport à l'équation (a i), à moins qu'on ne fasse disparaître la fonction discontinue ^ en assignant à la constante

arbitraire b la valeur zéro. Dans ce cas, le terme —

s'évanouissant aussi à la limite, l'équation (20) donne

valeur qui satisfait à l'équation (ai), et qui en est une intégrale singulière, puisqu'on ne peut la déduire de l'équation (i) par une détermination convenable de la constante arbitraire a.

Le même résultat se verra peut-être mieux encore, si l'on remplace la fonction

b{ — i)** parftcos— ;

comme cela est permis, tant que x désigne une variable discontinue assujettie à croître par intervalles constants A^. Assigner la valeur de cette dernière expression quand Aj; s'évanouit, ce serait assigner la limite vers laquelle elle converge quand Ax converge vers zéro. Or , cette limite est, par la nature de la fonction, indéterminée et inassignable. On sait seulement

que le facteur cos -r- reste toujours compris entre les

limites -|-i et — 1, et par conséquent, que la quantité

indéterminée b cos— disparaît toujours , lorsqu'on

prend la constante b égale à zéro.

iQUATJONS AUX DIFFÉRENCES FINIES. 605

619. Ces faits d'analyse s'accordent parfaitement avec ce que nous savons sur la nature des fonctions continues et discontinues, et sur le passage du fini à l'infiniment petit par la considération des limites, sans qu'il y ait lieu d'en conclure en thèse générale, comme l'a fait Lagrange ('), que, « dans le passage du fini à l'infiniment petit, il faut supprimer entièrement tous les termes qui peuvent contenir l'infiniment petit, quoique ces termes puissent n'être pas eux-mêmes infiniment petits »; ni surtout que « si le passage du fini à Tinfiniment petit peut être admis comme moyen mécanique de calcul, il ne peut servir à faire connaître la nature des équations (Jifférentielles. »

BTous sommes seulement autorisés à conclure de ce qui précède , que , parmi les intégrales complètes , en nombre infini, que comportent certaines équations aux différences, toutes , à l'exception d'une seule, contiens nent des fonctions de Ax qui deviennent discontinues pour A^=o : car, s'il en était autrement^ on en déduirait, en passant à la limite, plusieurs intégrales complètes d'une équation différentielle correspondante, ce qui est absurde. Quand cette équation différentielle admettra une solution singulière, celle-ci pourra se déduire , tantôt d'une intégrale singulière de l'équation aux différences , tantôt de l'une de ses intégrales complètes, moyennant qu'on supposera nulle la constante arbitraire que celle-ci renferme, pour supprimer la fonction de Ax dont la présence empêchait le passage du fini à l'infiniment petit.

(') Leçons sur le calcul des fonctions, p. 3o3 et 3o/| de Tédit. de 1806,

506 XIVRlf vin. CHAPITRE m.

L'équation

qui nous a aussi servi d'exemple, conduit par l'élimination de a, quand Ao: a une valeur constante quelconque , à l'équation aux différences

Ar Ax 3' . Ar / Ar \^

j qui donne à la limite

•^"*"log4'^ i6'(log4)^*^~^' ^^ ^ et l'on peut, en effet, vërifief que l'équation (i6) est l'intégrale générale de l'équation {i'i)> En prenant la dérivée de l'équation (i6) par rapport à a^ on a, pour déterminer la valeur de a en fonction de :rr qui convient aux solutions singulières dé l'équation (a3),

d'où l'on tire

.4 I ,4 / iv

3 2*' ' 3-V ay .'

et par suite

Mais le premier couple ne satisfait pas à l'équation (23), et l'autre système de valeurs ne peut représenter une fonction continue : ainsi , l'équation (23) ne comporte pas de solutioa.singulière , bien que l'équation (22) qui lui correspond en admette une.