EQUATIONS ENTRE DES VARIABLES CONTINUES

malgré sa généralité, ne satisfait pas aussi généralement que possible à l'équation (4); précisément parce que remploi de cette formule suppose que la fonction ^ reste constamment positive, et par suite que la fonction £r^ donnée entre les limites Xo^ si^o? est elle-même constamment positive entre ces limites. Or, rien n'empêcherait de construire la fonction ^ hors de ces limites^ en vertu de l'équation (4)» quand même la fonction fr serait constamment négative ou passerait du positif au négatif entre les limites Xo, 2X0.

623. On a ramené à l'intégration d'équations aux dîflerences, entre des variables continues, la détermination des fonctions arbitraires dans les intégrales des équations aux différences partielles ; et quoiqu'il ne paraisse pas que ce rapprochement mène à des applications vraiment utiles, il convient de l'indiquer pour l'enchaînement des théories. Un seul exemple remplira suffisamment ce but.

Soit l'équation

provenant de l'intégration de l'équation aux différences partielles du second ordre

et dans laquelle on se propose de déterminer les fonctions arbitraires <fj^^ par la condition d'avoir

I** pour jrz^mXj z'=:r,fx\ pour jz:z,nx^ J3=£r;

ce qui revient à donner les courbes d'intersection de la surface dont ^,^,2 désignent les coordonnées courantes, et de deux» plans menés suivant l'axe des z. On aura

514 LIVRB VIII. CHAPITRS IV.

fx = «p[^I ■+-'«1»)] + 4»[^i — flf'»)],

et $i Ton pose successivement

:r(i — a/») = ^, ^i — an) = •>,

ces équations prendront la forme

V,i — ««/ ^ VI — an J ^

En combinant ces équations par voie de soustraction,

on élimine la fonction ^ et Ton a

VI — am J \\ — an J ^ \\^amj \x — anj ou plus simplement

en posant

i+a/i (x-^-amSix — arC]

.Q^nUy ) () ( = A,

i — an (i — ►a/?i)(i4-a/i)

et en désignant par Fu une fonction 4ont la composition est donnée. Or^ il est clair que l'équation (9) peut se ramener à une équation aux différences, comme l'équation (4) du n® précédent, et se traiter d'une manière analogue. Ainsi, quand on regarde u et (fu comme des fonctions de l'indice /, qui croit par différences constantes égales à l'unité, on a

Ui^^z=hui, <p,4., — ?.=Fw„ doù Ui=u^h'y <p,=S.r(«^'>

Après que l'intégration indiquée par le signe 2 aura été effectuée, on remettra pour / sa valeur en m, et l'on aura (fu exprimé en fonction de u : cette fonction devant contenir, au lieu de constante arbitraire, une fonction arbitraire qui ne change piM de valeur par le changement de U en huj ou une fonction de la forme

EQUATIONS ENTR6 DES VARIABLES COMTiNUfiS. SIS

xi (si

On i-emettira pour c^^ dans 9^, sa valeur en v^ et l'une <]uelconque des équations (8) déterminera la forme de la fonction ^.

Mais il faut bien remarquer que les données de la question ne font point connaître la forme de la fonction ^u entre des abscisses telles que Uof ku^^ et par conséquent ne conduisent pas à la détermination de la fonction arbitraire xi qui entre dans l'intégrale aux différences de l'équation (9); sans compter que cette intégrale y quoique complète , peut ne pas avoir autant d'étendue que l'équation (9), ainsi que nous l'avons fait observer dans le n** précédent, au sujet de l'intégrale de réquatiou (4)' U faut donc regarder comme une simple transformation analytique, qui au fond n'avance pas la solution du problème, ce procédé pour la' détermination des fonctions arbitraires dans les intégrales des équations aux différences partielles : procédé qui a occupé les géomètres, avant que les applications à la physique eussent fait envisager la même iquestion sous d'autres faces.

624. Parmi les problèmes de pure géométrie, dont la solution peut se rattacher à l'intégration d'équations aux différences, entre des variables continues^ nous citerons le suivant, connu sous le nom de problème des trajectoires réciproques. On demande de tracer une courbe MM' {^fig' io4) telle que, si l'on cpnstruisait la courbe NN' qui lui est symétrique par rapport à l'axe desjr, et si Ton imprimait à celle-ci un mouvement de translation parallèlement à l'axe des^, elle couperait toujours la première sous un angle constant a=;=^a^;aj',a^ étant

516 UVRB vin. CHAPITRE IV.

les tangentes aux deux courbes, menées par le point a où elles coupent Taxe des^.

Soient p^q deux points pris sur Taxe des x à égales distances de Torigine ; menons les ordonnées pm , qnn\ et traçons la trajectoire vv' qui passe par le point n'-: l'angle v/ï'y=N/2^, puisque la trajectoire NTf' s'est transportée en vv' en glissant parallèlement à Taxe des /; l'angle îfnq est égal à Mmp, à cause de la symétrie des courbes MM', NN' par rapport au même axe; donc l'angle an'^^anq-^qn'y^anfq-^-Mmp. Mais on a aussi, par hypothèse, an\=a^ et si l'on désigne par /r l'ordonnée de la courbe MM', par .r et — x les abscisses Oy, Opy il viendra

tanga/i'î = ^, tangMiw/;=j7^i— ;

par conséquent la fonction J'^x doit, d'après les conditions du problème, vérifier la relation

arc tang^ + arc tang^ ' = a. (lo)

Posons

— -a + arc tangTT- =to: (n)

l'équation ( i o) devient £r-|-f( — x)=:o ; et elle exprime que la fonction f , qui d'ailleurs peut être prise arbitrairement, est une. fonction impaire.

On tire de l'équation (i i)

^ I I — tang-g.tàngfj:^

•^ tang(-ja + f«îc) tang|a+ tangf^ '

mais quand £r désigne une fonction impaire quelconque, tang £r désigne aussi une fonction impaire quelconque : donc on peut écrire plus simplement

fxt=^ ■ ■■ ' ^ ^ — »

•^ tangl-a + f^

EQUATIONS ENTBE DES VARIABLES QONTINTÏES. 517

et par suite

C\ — tanff^a.fcc .

•^ J tang^a+fo * rintégration amenant une constante arbitraire.

Si l'on voulait rattacher cette solution au calcul intégral aux différences, on poserait

arciang-T9-=/i, arc tang -^77-^. =/,•+„ Jf,+,n=s — x,, d'où

et en éliminant /,

Les lettres a^b^ç désignent, dans le cas de la discontinuité des variables, des constantes arbitraires qui deviennent, dans le cas contraire, des fonctions de / assujetties seulement à ne pas changer de valeur lorsque / augmente de Tunité ou lorsque x se change en — x. Donc, dans réquation

arctang-^=^a+£?x, (la)

c représente une fonction paire quelconque, et ex une fonction impaire quelconque de la variable ;r; au moyen de quoi les résultats exprimés par les équations (i i) et (12) coïncident. Ce raisonnement a la rigueur exigée, parce qu'on peut concevoir que le passage de la discontinuité à la continuité n'a lieu qu'après l'élimination de la fonction discontinue ( — j)'; mais on vient de voiç qu'il est plus simple de n'y pas recourir.

% a. Des ëquàtioDs aux différences mêlées.

625. On appelle équations aux différences mêlées celles dans la composition desquelles entrent à la fois les

518 LIVRE VIII. — CHikPiTRE IV.

coefficients 4ifl!^rentiet5 et les différences finies d'une fonction^ comme aussi celles dans lesquelles figurent les coefficients différentiels d'une différence ou les difie* renées d'un coefficient différentiel. Des équations de celte nature se rencontrent , non-seulement à l'occasion de problèmes de géométrie qui ne sont guère que de pure curiosité y comme celui du n^ précédent, mais encore dans les recherches analytiques qui se rattachent à l'iutégration copriplète des équations aux différences partielles^ et à la détermination des fonctions arbitraires d'après des conditions physiques données.

Supposons, pour prendre un exemple, qu'une fonction fx soit assujettie à vérifier l'équation

/ar-/'(x+aO-*'L/i+/C^+a/)]=o, (i3)

i^,/ désignant des constantes : si l'on poseyî:=/^ a/ — At, cette équation prendra la forme

et elle sera aux différences mêlées^ d'après ta définition que nous venons de donner.

On y satisfera en posant

yr=^fx =z A cosXr + B sin "Ka^^

A, B, X désignant des constantes : car il vient en conséquence de cette supposition,

ya?+y (^+2/)=2[AcosX(^+/)-i-BsinX(j;+/)]cosX/, fx — ^y (2:4-2/)= 2[A sin X(^-f-/)—^B cos>.(x+/)]sinX/, /'ar--/'(a:-f.2/)=2[AcosX(ar-f./)+Bsîn X(a?-|-/)]> sinX/,

d'où, en vertu de l'équation (i3), .

2[AcosX(jc-|- /)-+• BsinX(a:-h/)] [XsinX/ — â:'cosX/]=o. Si donc on désigne par A„ Bj des constantes indéterminées, et par \i l'une des racines, en Nombre infini^ de

ÉQUATIONS AUX DIFFÉRBNGES MÊLl^ES* 519

rëquation transcendante

XsiuX/ — A:'cosW=o, (i4)

on pourra poser, à cause de -la forme linéaire de l'ëqua-

tion(i3),

yi:Œa2.A|COsXiJ?H-2.B/sin\i^,

la sommation s'étendant à toutes les valeurs de l'indice /.

La formule précëdente donne