QUADRATURE DES COURBES PLANES. G

^. rx 2 2

Ainsi l'aire du triangle parabolique Omp {Jig* 78) est les deux, tiers de celle du rectangle Opmq construit sur l'ordonnée et sur l'abscisse du point m. Cette proposition, découvertis par Archimède, est l'objet d'un opuscule de ce grand géomètre, oii il applique à deux tours de démonstration fort singuliers, l'un fondé sur des principes de statique dont lui-même était l'inventeur, l'autre sur la sommation d'une progression géométrique décroissante, la méthode de réduction 4 l'absurde , qui seule pouvait, aux yeux des anciens, établir rigoureusement le passage du fini à l'infinîment petit [49].

En prenant pour l'équation de l'ellipse rapportée ^ son centre et à ses axes

a l'aire du trapèze elliptique OpmB (Jîg. ^'j) , dont l'un des côtés est l'abscisse Op=x^ a pour valeur

On pourrait en conclure de suite, ainsi qu'on le fait dans les traités élémentaires des sections coniques, le rapport du trapèze elliptique Qpn& au trapèze circulaire C^/iC, pris dans le cercle concentrique à l'ellipse et dont le rayon est a (*). Pour arriver au même résultat en appliquant les règles ordinaires de l'intégration, on fera

C) Archimède connaissait ceUe manière de ramener la quadrature de Vellipse à celle du cercle , mais eHe lui paraissait dépendre de lemmes difficiles à accorder (lettre à Dosithëe , servant de préface au Traite de la quadrature de la parabole). Les lemmes dont il s*agit ne peuvent être que les principes de la méthode des limites.

k^a» — x^zzztXy OU J?* =

d'où

= - ^o:* arc tang t + co/i^r.