La cycloïde ayant pour équation différentielle

dx y '

si l'on compte les arcs de l'origine des coordonnées, on trouve

=:4R— 2V/aR.W^aR— ^.

.— Çy dx

5 = V/aR./ 77=== —

Cette expression de s en fonction de^ tombe visiblement en défaut pour les valeurs négatives de /, puisque les valeurs correspondantes de s ^ données par la formule, seraient réelles et négatives , tandis que la courbe ne s'étend point du coté des^ négatii^. Elle ne donne également la valeur de s que pour un seul arceau , et par conséquent n'a pas la généralité que comporte la description géométrique de la courbe. Il faut même, pour que la formule s'étende à un arceau entier, prendre successivement, avec des signes différents, le radical qui entre dans la valeur de s. Toutes ces anomalies s'expliquent à l'aide des remarques faites plus haut [34^ ^^343].

Quand on prend ^=2R, on a pour la longueur/d'un demi-arceau J=4R, ce qui s'accorde avec ce ^'on a trouvé en cherchant la développée de la cycloïde [198].

L'expression de l'arc de cycloide affecterait une forme extrêmement simple, si le point Q [Jig. 4^)9 sommet d un arceau , était pris pour origine des arcs et en même temps pour origine des ordonnées^, comptées de Q en S. Ceci revient à écrire 4R — s au lieu de j, et aR — y au lieu de^, d'où

valeur qu'il faudrait prendre avec le double signe, à cause de la symétrie de la courbe par rapport à la droite QS.

L'arc de la spirale logarithmique [181], qui a pour équation polaire r=e'"T, sera donné parla formule

ç. mm

formule qui est une conséquence très-simple de la pro-

priété caractéristique de cette spirale, celle de couper tous ses rayons vecteurs sous un angle constant, dont

le cosinus est

»/i-Hm*

348. Soient jr=fx^ z=ù:les équations d'une ligne dans l'espace; et x^ l'abscisse du point de la courbe que l'on prend pour origine des arcs : on a [2a3]

^ = / i/i +(/'x)» + (f'xy . dx. (S)

Il est clair que le radical pourra rester réel , non-seulement dans des cas o\xfx^ îx seraient imaginaires, leurs carrés étant réels, mais encore dans le cas où ( /'j;)*, (f^)* auraient leurs parties imaginaires égales sauf le signe. Alors la formule de rectification des lignes à double courbure tombera en défaut^ de même que cela arrive à la formule de rectification des courbes planes.

Pour donner une application de la formule (S) , prenons l'hélice représentée [^34] par le système des trois équations

j7=Rcos<p, j=Rsin^, jS = aRf,

qui donnent

éir= — Rsin<p^(p, rf^=Rcos(prf<p, dzzizd&jdx^y

et par suite

•^ dx ^' dx smcp

5=:R|/i-|-ûa

On aurait pu obtenir directement la même expression , en considérant que l'hélice se transforme en ligne droite quand on développe la surface cylindrique sur laquelle elle est tracée.

CUBATURE DES SOLIDES DM RÉYOLUTIOIT. 83

§ 3. Cubature des solides de révolution.

349. La mesure du volume d'un solide de révolution se ramène facilement aux quadratures ou à l'intégration de fonctions différentielles d'une seule variable. Prenons en effet l'axe de révolution pour celui des x^ et soit j-=.fx l'ordonnée de la courbe méridienne ^ 2; le volume de la tranche comprise entre deux plans perpendiculaires à l'axe de révolution , ayant respectivement pour abscisses, l'un la constante x^^ l'autre la variable x. L'accroissement S,v sera compris entre le cylindre qui a pour volume ir^'A^, et celui qui a pour volume iç{y-^bkfftix\ du moins quand on prendra JLr assez petit pour que l'ordonnée^ soit constamment croissante ou décroissante dans l'intervalle bkX- Or on a

donc

et par suite

lim^ -7 — ... =z: I ;

Um. = I , ou rff' = TC/Vo:,

La formule tombera en défaut dans son application géométrique , si {fxf reste une quantité réelle , quoique fx prenne une valeur imaginaire.

Supposons que la courbe méridienne soit l'ellipse

et posons 0:0=0 : il viendra

expression qui reste réelle pour des valeurs quelconques

de o:, et positive pour les valeurs de x<a[/^, tandis que la courbe méridienne ne s'étend pas au delà de l'abscisse a. La formule donne -^ab^ pour le volume entier de l'ellipsoïde de révolution •

Proposons-nous encore de cuber le solide annulaire engendré par la rotation du cercle MNM'N' (/?^. 74) autour de la droite PP' menée daiis le plan de ce cercle et prise pour arc des x. Nous ferons passer l'axe desjr par le centre du cercle dont le rayon sera r, l'ordonnée du centre étant désignée par R , de manière que

soient les ordonnées des demi -circonférences MNM% MN'M'. Le volume de l'anneau aura pour valeur

Mais on a [338]

/l/r*— «• =z-xi/r*— «» + -r^.arc s\n -+ consL;

donc

i^ = aTC*r'R.

5 4* Quadrature des surfaces de rëvolutîon.

350. Si l'on inscrit un polygone à la section méridienne d'une surface de révolution, et qu'on fasse tcurner le polygone avec la courbe circonscrite, chaque coté du polygone engendrera la surface développable d'un tronc de cône. Or, l'on entend par aire d'une surface de révolution, la limite dont s'approche la somme des aires de ces troncs de cônes , quand les côtés du poiigone inscrit décroissent indéfiniment, ou quand le poligone inscrit appproche de plus en (dus de se con-

QUADRATURE DES SURFACES I}E RÉVOLUTIOir. 85

fondre avec la courbe. Cette définition est analogue à celle que nous avons donnée de la longueur des lignes courbes [174] 9 ^^ nous reviendrons encore sur ce sujet, en parlant, dans le chapitre suivant, de la mesure des aires des surfaces quelconques.

Conservons toutes les notations du n® précédent , et appelons u Faire de la portion de surface de révolution interceptée entre les deux plans perpendiculaires à Taxe des X. L'aire du tronc de cône engendré par le coté du polygone inscrit qui joint les points (^i;r), (.r + Ax, j -f- A;r), est exprimée par

et son rapport à l'accroissement /ix a pour limite

donc, d'après la définition de la grandeur «,

d'où

u-=.ixKJ'fx.vTHM^'dx.

Pour certaines valeurs de a: , la formule tombera en défaut dans son application géométrique, si la fonction sous le signe /reste réelle, tandis que /r: passe par des valeurs imaginaires.

Appliquant cette formule à l'ellipsoïde de révolution considéré plus haut, nous aurons ^

Supposons d'abord l'ellipsoïde allongé ou a> ù^ et

posons 5— = c* : il viendra

, / . /" c^ . « . ca;\

u=zTçi[x\/ I -+-.arc sm— ).

On pourrait attribuer à x des valeurs > a et < -,

sans que l'expression de u cessât d'être réelle , mais on sortirait des conditions géométriques du problème. La formule donne pour Taire totale de Tellipsoïde allongé

..^ ab , .

TKiir H arc sm c),

r\ A JL »rc sin c ^ „

Quand c = o, on a a = ^, z=: i , et 1 on retrouve

l'expression connue de la surface de la sphère.

Supposons en second lieu l'ellipsoïde aplati, ou

a < è, et posons — — — = c* : on obtiendra

u^^b\x\/ i+--^jr- + ^,log(^-^+ V i^-^JJ,

expression qui reste réelle pour des valeurs quelconques de j:, et d'où l'on déduit, pour l'aire totale de l'ellipsoïde aplati ,

Quand c=o, on trouve que l'expression