Le radical
doit en général être pris avec le même signe dans toute l'étendue de l'intégration, afin que, si la valeur de Tare est positive quand il se termine à des points situés au delà de celui que l'on prend pour origine des arcs, elle soit négative quand l'arc se termine à des points situés en deçà de l'origine, ou réciproquement. En conséquence, lorsque l'intégrale pourra s'obtenir sous forme finie, le radical R qui se retrouvera dans l'intégrale [299], ne devra pas y être censé affecté du double signe ; au contraire, les radicaux qui pourraient se trouver dans {^/'xf^ et qui proviendraient de la multiplicité des branches de la courbe, devraient être affectés dans l'intégrale d'un double signe, afin que l'expression de l'arc de la courbe eût toute la généralité qu'elle comporte, et qu'elle s'appliquât, non-seulement à une branche de la courbe, mais à toutes les branches.
REGTIFIGJLTIOIC DES COURBES. 75
Remarquons maintenant que si la courbe avait deux branches symétriques par rapport à une droite parallèle à l'axe des x^f'x aurait bien deux valeurs numériquement égales et opposées de signes; mais le carré {fxf^ qui entre dans l'intégrale {s\ n'aurait plus qu'une seule valeur. Dails ce cas, si les deux branches se raccordaient en un point m^ {Jig. 8a) pris pour origine des arcs, il faudrait prendre le radical R avec le double signe, afin qu'à une même abscisse Op=:x pussent correspondre deux arcs tWo/w, m^ m y l'un positif, l'autre négatif.
Si au contraire les deux branches qui se raccordent au point nio {fig^ 83) n'étaient pas symétriques par rapport à une droite parallèle à l'arc des Xj la quantité { f xy renfermerait un radical p : il faudrait combiner dans l'intégrale le signe -|- du radical R avec le signe du radical p qui appartient à la branche m^ m, et le signe — du radical R avec le signe du radical p qui appartient à la branche mjn' ; toutes les autres combinaisons entre les signes de ces radicaux devraient être rejetées comme étrangères.
On voit donc que, suivant les cas, il faudra, pour faire cadrer les formules analytiques avec les formes des courbes à rectifier, tantôt donner aux formules toute l'extension qu'elles comportent algébriquement, et d'autres fois en restreindre la généralité algébrique.
344. Appliquons d'abord la formule de rectification à la parabole ordinaire, dont nous mettrons l'équation sous la forme
Eu plaçant l'origine des arcs au sommet de la parabole, nous aurons
la longueur de l'arc, mesuré à partir du sommet de Tune des branches de la courbe , est
Mais l'intégration par parties donne
y' . fifo y , r COS" (0^9
V^i — c»Mn»q).-r~— =— COt<p.V^i~-C«am»(P— C 1 ^ ^ ^ ,
et l'on a d'autre part identiquement
cos*9 I . I— c" I
■. zrz-~«V^i — c'sin'cp — , ■■ * ... ■ =^'
En conséquence
en sorte que Tare d*hyperbole s'exprime au moyen de deux fonctions elliptiques de première et de seconde espèces.
On peut chasser les fonctions F(c,«p), F(c) au moyen des équations (17) et (18) du n"* 335 , ce qui donne :
— =COt <p. l/i—c'aîn^ç — 2csin <p + E(^) — E(c,<p)
ce
+ a(i + c) E(c.,(p,) — (1 + c?)E(c,). Ainsi la rectification de l'hyperbole est ramenée à dé* pendre de celle de deux ellipses d'excentricités différentes, théorème dont c^n doit la découverte à Landen. Pour trouver ce que représente dans ce cas l'amplitude (p, décrivons un cercle du point O comme centre, et du demi-arc OA comme rayon {fig. 84); du point m, dont l'abscisse est x , abaissons l'ordonnée mp , et par le pied p menons une droite qui touchera le cercle en ^ : on a
"costOp sinBOr^ et par conséquent angle BO^=:<p.
Si Ton prolonge lordonnée/;//} jusqu'à la rencontre de l'asymptote en /i, et qu'on appelle r la longueur On , il viendra
a ce sm 9 '
ou-
«(''"') = iST^^ ^ "*■ ^^«^?-E(^) + E(c,T)
— 2(i + c)E(c„(pO + (i + c) E(e,).
Si l'on fait dans cettei expression <p==o, ce qui correspond à x:=.Oy on a
sin<p = o, E(c,<p) = o, ?, = o, E(c„(p,) = o;
quant au terme
I — COS<p\/t— çisin'y
sin (p '
il se présente sous la forme \^ et se réduit à zéro d'après la règle connue : donc on a dans ce cas
î(r-.*) = (n.c)E(cO-E(c).
En d'autres termes, lorsque les longueurs km^ On vont en croissant indéfiniment, la différence On — km converge vers la limite
*346. On a trouvé [i8o] pour la différentielle d'an arc de courbe plane, en coordonnées polaires,
tfoù Ton tire
= / {/"J^.d^^ ou * = / yTr.dry
selon qu'on veut éliminer la variable r ou la variable ?, au moyen de l'équation polaire de la courbe. Par exemple, l'équation delà lemniscate [t2i3]
devient en coordonnées polaires
r' =• a'(cos'cp — sin'cp) ;
ce qui donne , quand on prend pour origine des arcs le point A {Jig. 60) , où la lemniscate coupe Taxe des x ,
Posons
K C08* tû
9 — su»' 9
I 7 , sinç =:— ;=:.sin4/,
cette expression deviendra
En conséquence ) les propriétés de la fonction elliptique de première espèce peuvent se traduire en propriétés de la lemniscate, qui sous ce rapport offre des analogies très-curieuses avec le cercle. Le géomètre Fagnani est le premier qui ait étudié la lemniscate sous ce point de vue, et ses recherches ont été Torigine de la théorie des fonctions elliptiques.
Il faut remarquer que les équations (4) ou (5) ne donneht les valeurs de s que pour les valeurs de 9 comprises entre — -J w et ^ w, ou pour les valeurs de ^ comprises entre — ^ir et -7 lu, en sorte qu'elles ne s'étendent pas au delà du point d'inflexion de la lemniscate.
