CHAPITRE VI
llVTiGRAL£S DEFINIES MULTIPLES. APPLICATIONS
GEOMETRIQUES ET PHYSIQUES.
^ i^**. Intégrales doubles. — Aj^lication à la cubaturedes volumes termines par des surfaces courbes quelconques.
351. Soit y (^,^) une fonclîon de deux variables indépendantes x^^ laquelle est supposée conserver toujours des valeurs finies entre les limites x^^ ^y JotJ'» On pourra prendre d'abord la somme des valeurs infiniment petites de f (x^ j) dy. entre les limites y^^ y ; et cette somme, ou l'intégrale définie
sera une certaine fonction de x. Si l'on prend ensuite la somme des valeurs infiniment petites de
entre les limites x©, x^ on aura \ intégrale définie double
OU, en supprimant les parenthèses pour plus de simplicité dans l'écriture,
/ * / ^A^xrYï^\ («)
et cette somme est manifestement celle de toutes les valeurs infiniment petites du second ordre que peut prendre
la fonction
f{x,x)dydx, quand on y fait varier x par intervalles infiniment petits dx^y par intervalles infiniment petits dy^ entre* les
limites ^o? ^j Xo^ y-
En d'autres termes, si Ton divise l'intervalle x — x^ en m parties égales A^, l'intervalle y—yo en n parties égales ^y; que l'on prenne la somme de toutes les valeurs
de la fonction
f{x^)tSytix (*)
en combinant toutes les valeurs de x comprises dans la série
avec toutes les valeurs de^ comprises dans cette autre série
y 01 Xo + Ar,^, + 2A7, . . . j« + (« — i) A^;
à mesure que l'on prendra pour m et n des nombres plus grands^ ou pour les intervalles \x^ \y des fractions plus petites des intervalles primitifs, la somme obtenue convergera vers une certaine limite, qui est précisément la valeur de la double intégrale (a).
Il suit de là, que l'ordre des intégrations n'a aucune influence sur la valeur de l'intégrale double, et qu'on peut écrire indifféremment
Il ^A^yjddfdx, ou r I y{x,x)dxdx.
352. Si l'on construit la surface dont a;, j^- et z = y(jr;,j^) désignent les coordonnées rectangulaires, la quantité (b) mesurera le volume d'un parallélépipède rectangle qui aurait pour base Ao; ^y et pour hauteur l'ordonnée z. Les intersections des plans latéraux de ce parallélépipède avec la surface circonscrivent un quadrilatère courbe dont la projection en xy est le rectangle
INTléGRALES DOUBLES. GUBATURES. 89
SX ^. Le volume compris entre ces plans latéraux, la base du parallélépipède (b) et la surface z=:f{x^j')^ ne diffère du volume du parallélépipède {b) que par un certain volume (p) moindre que A^ à^ (Az), (Az) étant la différence des valeurs extrêmes que prend l'ordonnée z pour les points de la surface qui se projettent en ;r;^ dans l'intérieur ou sur le contour du rectangle A^r Sjr, Quand la fonction z n'éprouve pas de solution de continuité du premier ordre, (A^) est une quantité du même ordre de grandeur que Sx, ^j : donc, si A^, A/ sont des quantités très-petites du premier ordre, auquel cas le volume du parallélépipède {b) est une quantité très-petite du second ordre, le volume (^) se réduit à une quantité très-petite du troisième ordre. Donc l'intégrale (a), qui est la limite vers laquelle converge la somme des quantités {b) par .le décroissement indéfini des dimensions Ar, A^, mesure le volume limité dans un sens par le plan xjy à l'opposite par la surface courbe, et latéralement par quatre plans, dont deux sont menés parallèlement au plan xz aux distances y^^ jr.
Le quotient
exprime encore la moyenne de toutes les valeurs, en nombre infini, que prend (pour les points du plan xjr compris dans l'étendue du rectangle déterminé par l'intersection de ce plan avec les quatre plans perpendiculaires que l'on vient de définir) la hauteur z, ou plus généralement la fonction /'(j:,^) qui peut avoir une signification géométrique ou physique quelconque [33].
353. Quand on aura effectué les deux intégrations indiquées par l'expression (a\ le résultat obtenu sera une fonction des limites supérieures x, y que nous désignerons par F(a;,y); de sorte qu'on a, en vertu de la définition,
dxdy — dydx —J^""^^' W
Si l'on pouvait trouver, par un moyen quelconque, une fonction F {x^ j) qui satisfît à l'équation (c), la fonction / étant donnée, toute autre fonction' de la forme
F(^ï7) + <p^ -f- 4ir, (^i)
où <p, ^ désignent des fonctions absolument arbitraires, y satisferait pareillement. £n effet, quand on prend la dérivée partielle de la fonction (c.) par rapport à x^ on fait disparaître la fonction ^y^ et ensuite, lorsqu'on prend la dérivée partielle par rapport à ^ de la fonction
df{x^) d^x
dx dx *
on fait disparaître la fonction ^^ — Le résultat serait le
même, si l'on opérait les deux différentiations dans un ordre inverse.
Pour trouver une fonction F(^,^) qui satisfasse à l'équation (c), il suffit de prendre d'abord l'intégrale indéfinie
en regardant x comme une constante, et après avoir multiplié par dx le résultat obtenu, de prendre encore l'intégrale indéfinie de cette fonction différentielle, en traitant dans la seconde intégration x comme variable et
INTEGRALES DOUBLES. — CUBATURES. 91
y comme constante. On indique cette double opération
par
J[ff{x^)dydx, (d)
Si l'on pratiquait les intégrations indéfinies dans un
ordre inverse, comme l'indique l'expression
la fonction '^^{xyjr) que l'on obtiendrait, ne pourrait différer de la fonction F(x,/) obtenue en premier lieu, que par l'addition de termes de la forme
(pj: + 4l7* + const., qui s'en vont à la suite de deux différentiations partielles, l'une par rapport à x, l'autre par rapport à y.
L'expression {d) est celle d'une intégrale indéfinie double.
354. Revenons aux intégrations définies qui font l'objet spécial de ce chapitre. Au lieu de prendre l'intégrale
entre des limites ^o^ y^ qui ne varient point avec x^ on pourrait la prendre entre des limites variables <PoX, <p, x; et alors l'intégrale définie
serait encore une fonction où la variable x entrerait seule. En intégrant une seconde fois par rapport à x^ entre les limites o^o, .t, , on aurait l'intégrale définie double
/ / Six^Yydx^y.
Pour se faire une idée claire du résultat de cette opération, on peut concevoir que les valeurs extrêmes Xor^, sont représentées (fig. 80) par les abscisses Qp^t Cjp, ; les fonctions <Po.r, <p, .r par les ordonnées des lignes ou des portions de lignes mjijn^^ mjijn^\ enfin que la
fonctiony(a;,jr)=2 est représéntëe par l'ordonnée d'une surface courbe, élevée perpendiculairement au plan xy. En vertu de ces hypothèses, et d'après ce qui a été expliqué dans l'avant-dernier n", l'intégrale V mesure le volume limité dans un sens par le plan xjr^ à l'opposite par la surface courbe dont z est l'ordonnée, et enfin par une surface cylindrique qui a pour section droite le périmètre m^n^ m^n^.
Plus généralement, si l'on désigne par A l'aire que
ce périmètre circonscrit, le rapport -^ exprime la
moyenne de toutes les valeurs, en nombre infini, que prend, pour tous les points (^^) compris dans la circonscription du périmètre, la fonction y (x,^) qui peut avoir une signification quelconque, géométrique ou physique.
Rien ne s'oppose d'ailleurs à ce que l'intégrale Y soit réelle, quoique la fonction y (j;,/) prenne des valeurs imaginaires, ou même reste constamment imaginaire dans l'étendue de l'intégration : et alors cette intégrale n'a plus de signification géométrique ou physique.
Menons parallèlement à l'axe des x les droites n^ q^^ ^iÇ^n q"î limitent le périmètre; désignons par Xo^Jx l^s ordonnées Oq^^ Oç',, et par ^^^ ^,j les valeurs de l'abscisse X eu fonction de j pour les portions de lignes n^ m^ rii , rio m^ n^ : nous aurons évidemment
355. Lorsque la fonction fix^j) passe par l'infini dans l'étendue de la double intégration, l'intégrale double ne peut plus être considérée comme une somme d'éléments, et tous les raisonnements fondés sur cette con-
IirrÉGRALES DOUBLES. CUBA.TURES. 93
sidëration tombent en défaut. Ainsi, comme M. Cauchy l'a remarqué le premier, la double intégration peut donner dans ce cas des résultats différents, selon l'ordre dans lequel on effectue les intégrations simples. Prenons pour exemple l'intégrale double
j TT,
pour laquelle le coefficient de dxdy devient infini, lorsqu'on fait x=Oyj'=:o. On a, en intégrant d'abord par rapport à la variable x,
et en intégrant ensuite par rapport à /,
Si les intégrations s'effectuent dans un ordre inverse, on a au contraire,
/*! dx
en sorte que la différence des deux valeurs obtenues est égale à 27c.
Désignons par F(j;,^) une fonction telle que
dxdy — /^^'-^^ et soit
ou, ce qui est la même chose,
i^x,y)z=Lff{x,y)dy, ^Xyy)z=iff{x,jr)dx i l'intégrale double
sera indifféreminent représentée par
de façon qu'on aura en général, pourvu que/" (:i;,^) ne passe pas par l'infini , dans l'étendue de la double intégration,
Admettons maintenant que les valeurs x=\y X=-'^t rendent / {^jy) infinie, et désignons par e un nombre positif qui converge indéfiniment vers zéro : on aura, d'après l'équation précédente,
A la limite il viendra :
/ '' [«p(^»7.)-i<-^.ro)]<^ =/ W<''^y)—¥.^'>^y)¥y
J x<, ou
/ ' / ^^ f{x,y)dydx — / ' / ''f{x,y)dxdx
Pour obtenir la limite indiquée , on ne doit faire e =o qu'après avoir effectué l'intégration par rapport à /, attendu [3a» 3] que la fonction ^ {Xjj) devient infinie par hypothèse, pour une valeur de y comprise entre les limites de l'intégrale.
IKTÉ6RALBS DOUBLES. GUBATUBES. 95
Dans l'exemple donné plus haut, on a
y^ ^~; rf7 = a[arc tang | — arc tang(^— i^J ,
valeur qui se réduit à air à la limite, quand on fait t=Oj ainsi qu'on Ta trouvé par le calcul direct de l'intégrale double, en prenant successivement les intégrales simples dans deux ordres différents.
L'intégrale simple
est du nombre de celles qu'on a appelées singulières : la quantité s étant regardée comme infiniment petite , tous les éléments de cette intégrale sont nuls, à l'exception de celui qui correspond à^='yi, valeur pour laquelle le coefficient de dy devient infini.
£q opérant dans un ordre inverse on tomberait sur l'intégrale singulière
[ç(j:,Tfi +6) — ^JCffi — e)]flJr = — air.
S'il y a, dans l'étendue de la double intégration, plusieurs systèmes de valeurs de jc^j^ pour lesquels la fonction/(x,^) devienne infinie, la différence entre les deux valeurs qu'obtiendrait l'intégrale double, selon l'ordre des intégrations simples , se composera d'autant d'intégrales singulières qu'il y a de ces systèmes de valeurs.
356. Quand la ligne mon^m^n^ {fig'^^\ ^^ limite l'étendue de l'intégrale double
est donnée par une équation en coordonnées polaires r=f(p, on peut prendre pour élément de l'aire dans retendue de laquelle la double intégration s'effectue, au lieu du rectangle infinitésimal dydx^ Taire m^v^n limitée par deux rayons vecteurs 0/^^/^, Op, faisant entre eux Tangle infiniment petit rf?, et par deux arcs de cercles mpi, m y l'un décrit du rayon 0/w=r, l'autre décrit du rayon 0/^=^-|-fi&•. La surface de cette portion de secteur circulaire a pour valeur
ou simplement rdr rf «p, en négligeant un infiniment petit du troisième ordre. £n conséquence, si l'on désigne par F(r,<p) ce que devient /(^,/-), ensuite de la substitution des valeurs de Xjj en r, 9, il viendra
V = / / ^ Y{r,ff)rdrd(f.
Lorsque la fonction F (r,<p) se réduit à l'unité, l'intégrale V exprime simplement l'aire limitée par la courbe r:;=f^, et l'on a
ce qui s'accorde avec le n° 1 80.
Nous avons supposé, pour plus de simplicité, i*" que l'origine des rayons vecteurs tombe dans l'intérieur de l'aire limitée par la ligne r=f<p; 2^* que, pour chaque valeur de <p, r n'a qu'une seule valeur réelle et positive. Lorsque ces conditions ne sont pas satisfaites, les intégrales doivent être prises entre d'autres limites, qu'il est aisé d'assigner dans chaque cas particulier.
357. En général il peut se faire que par un changement de variables, correspondant géométriquement à un changement de coordonnées, le calcul de la double inté-
INTÉGRALES DOUBLES. CUBATURES. 97
grale y devienne plus simple; et en tout cjas, il importe d'examiner ce que devient cette intégrale par un changement de variables; Soient donc a, ^ deux nouvelles variables liées à x^y par les équations
et posons
yîx^) = F(a,p),
dx = i^dcc+^,dp. (/)
Pour chasser d'abord de l'intégrale V la différentielle dy^ on remarquera que cette différentielle est prise en supposant X constant, et par conséquent doc=o^ ou
<Pj//a + ç^rfp zi= o.
Tirant de cette équation la valeur de d% et la substituant dans l'équation (/*), on aura
ce qui donne
dydx = 't'-?'~'^'^' doidx ,
Maintenant il faudra prendre la différentielle dx en traitant a comme une quantité constante, ou en posant dans l'équation {e) doc=zo ,d'oii dx=(f^d^^ et par suite
En opérant l'élimination de dxj dj dans un ordre inverse, on aurait eu symétriquement
expression qui ne diffère de la précédente que par le signe : or, comme l'intégrale
ffdydxz=^ff{^,^^ — 9,^,)rfarfp , prise entre les mêmes limites que Y, est la mesure d'une
aire, qui mesure elle-même I étendue de l'intégrale V, on ne doit considérer que la valeur absolue de cette intégrale, et le signe du facteur ç,^, — <p, i]/, est indifférent.
Si l'on prend
az=:rj ^=9, :rzzi:rcosç, /=:rsinç, on a ç, z= cos ç, ij;, = sin ç, 9, = — rsin 9, ^, = r cos 9,
d'où
9,^, — 9,^, = rcos*9+rsin*9=r,
comme on l'a trouvé directement par des considérations géométriques, trop simples pour n'être pas présentées en premier lieu.
358. Afin de donner un exemple de l'application du calcul des intégrales doubles à la cubature des corps terminés par des' surfaces quelconques, proposons-nous d'évaluer le volume de l'ellipsoïde à trois axes inégaux, dont la surface, rapportée à son centre et à ses axes, a pour équation
L'équation de la section de la surface par le plan xj est
a donc, si l'on pose, pour abréger,
la tranche de l'ellipsoïde , limitée par deux plans parallèles à celui des^z, et correspondant aux abscisses jr^, x, aura pour valeur
Or il vient *
"„ »/«*-r--rfr=^"'=f.^(«'-x'),
ce qui donne
La valeur de V reste réelle pour des valeurs quelconques de jCoi x\ mais elle perd sa signification géométrique quand on donne à x^^^x des valeurs numériquement plus grandes que a. En prenant x^'= — a, a:=a, on a ^Tzabc pour le volume de Tellipsoîde entier.
5 2. Aires des sarfaces courbes quelconques.
359. Etant donnée une surface courbe quelconque S, si, par des points très-rapprochés pris sur la surface, ou mèue des plans tangents, ces plans se couperont de manière à former un polyèdre, à Ëices très-petites, qui enveloppera la surface, et approchera d'autant plus de se confondre avec S, que les points auront été pris plus voisins les uns des autres. A une portion limitée de la surface S, telle que celle qu'intercepterait une surface cylindrique ayant pour section droite une courbe fermée, tracée dans le plan xjr^ correspondra une portion limitée de l'enveloppe polyédrique, savoir la portion interceptée par cette même surface cylindrique. Cela posé, on entend par l'aire de la portion de surface courbe ainsi circonscrite, la limite û dont s'approche indéfiniment l'aire de la portion correspondante de l'enveloppe polyédrique, quand les dimensions des faces du polyèdre vont en décroissant indéfiniment, par le rapprochement indéfini des points de contact de la surface avec le polyèdre enveloppant.
Menons le plan tangent à la surface S au point (^,/,2), et prenons le point de projection (^,x) pour l'un des sommets d'un rectangle ayant ses côtés A:c, A^* respectivement parallèles aux axes des x et des y [SSa]. Les plans menés par les côtés de ce rectangle, perpendiculairement au plan xjy^ circonscriront sur la surface S une aire Au, et sur le plan tangent en (.r,^,zj un parallélogramme dont l'aire aura pour valeur numérique, d'après un théorème connu de géométrie,
AjA^ côsv
(v désignant l'angle aigu du plan tangent avec celui des
xy\ ou bien [237]
t/xH-/i»-hî>.AjA^.
Donc, par la définition même de la quantité , considérée maintenant comme fonction des coordonnées indépendantes x,^,
û = / / \/i+p*+q». dydx. (û)
On tire de l'équation de la surface les valeurs des dérivées partielles/?, q en fonction de x^f : les limites de la double intégration sont données par le contour de la ligne qui circonscrit la projection sur le plan ^de la surface ou portion de surface dont il faut évaluer l'aire Q.
Les éléments rfû peuvent être des infiniment petits du second ordre, même quand les dérivées p^ q deviennent infinies, si d'ailleurs l'ordonnée z conserve une valeur finie [342]) ou si elle n'éprouve qu'une solution de continuité du second ordre.
L'ordonnée z et les dérivées /?, q peuvent prendre des
valeurs imaginaires, sans que les cléments dQ cessent d'avoir des valeurs réelles; et alors la formule (û) tombe en défaut, quant au sens géométrique.
Nous regardons Téquation (o)) comme la définition de la fonction Q, de même que nous avons regardé [174] réquation
comme la définition de la fonction j. La définition physique que l'on donne de la longueur d'un arc de courbe, en imaginant cette courbe formée par un fil parfaitement flexible et inextensible (ou plutôt par un fil dont la roicleuret l'extensibilité sont inappréciables), ne comporte pas d'extension aux aires des surfaces courbes, à moins qu'il ne s'agisse de surfaces développables; et de là même nous pouvons conclure qu'elle n'est pas la vraie définition de la fonction s: car l'analogie mathématique des fonctions s^ Q doit se retrouver dans les définitions de ces deux grandeurs, si elles sont tirées de ce qu'il y a d'essentiel dans la nature des grandeurs définies, et non d'un caractère accidentel ou secondaire.
* 360. Cherchons, d'après la formule (û), l'expression de la surface de l'ellipsoïde quelconque
nous aurons
de manière que, si l'étendue de l'intégrale est limitée, sur le plan x/^ par le contour de l'ellipse
et si Ton désigne par û l'aire de la portion de surface
située d'un coté du plau xjy^ ou la moitié de l'aire totale de Tellipsoïde^ il viendra
Admettons^ ce qui ne restreint point la généralité de la
solution y que l'ordre de grandeur des demi-axes a, b, c
soit exprimé par
a>b>ey
et posons
d'où
nous aurons
de façon que le calcul de 0^ sera ramené à celui de Tintégrale double
l'auxiliaire ^ étant déterminée par l'équatioa
ou
Mais rien n'empêche de considérer les nouvelles variables Ç, 7}, Ç comme des coordonnées rectangulaires, et alors l'intégrale u pourra aussi être considérée comme exprimant le volume limité par le plan Ç ?), par la surface
cylindrique
et par i ordonnée C àe la surface (tz), prise positivement. Or, si Ton fait mouvoir un plan parallèlement au plan ^T), dans le sens des C positifs, ce plan, en vertu des inégalités (i), ne rencontrera pas la surface (2) dans Tintérieur du cylindre (3), tant qu'on aura Ç< i. Quand ^ deviendra égal à Tunité^ le plan mobile touchera la surface en un point situé sur l'axe des ^, et ensuite il la coupera suivant une série d'ellipses qui auront pour demi-axes
ces demi-axes devenant égaux entre eux et à l'unité, pour ^=00 .
D'après cela on peut encore évaluer le volume u en prenant pour élément du volume la différence infiniment petite de deux cylindres dont la hauteur commune est Ç, et dont les bases sur le plan ^y) sont deux ellipses ayant pour aires [3381
Donc on a
d.EH V
et par cette considération ingénieuse, due à M. Catalan ('), l'intégrale double qui exprimait la valeur de u se trouve transformée en intégrale simple.
Maintenant l'intégration par parties donne
(') Voyez \f. Journal de mathématiquei de M. Liuuville, tom.. IV, pag. 3i3 , et tom. V, pag. 1 1^.
104 LfYHB V. CHAPITRE Vf.
Soit
3in9
En faisant les substitutions convenables, on trouve que la valeur de l'intégrale définie - se compose de deux
parties : Tune donnée par les termes hors du signe /] et qui est égale à la différence des valeurs que prend la
fonction
(«• + P'cos*ç — i)sinç
COS 9 l/i* p* sin» 9" *
quand on y fait à la limite supérieure sin <p=o, et à la limite inférieure sin (p=:a. Cette différence se réduit à
L'autre partie est formée de l'intégrale
prise aussi entre les limites sin 9=05 sin 9=a, ou 91=0, 9=(ii, en désignant par sin ^l la constantça, plus petite que l'unité. Renversons l'ordre des limites, et employons la notation des fonctions elliptiques, en posant pour simplifier
a bv^a'
cette partie de la valeur de - s'exprimera par
«.E(*,^L) + i^.F(^,(.), OU par
en remettant pour a sa valeur. En conséquence la surface du demi-ellipsoïde a pour expression
*361. Proposons-nous encore d^évaluer la surface convexe d'un cône oblique, à base circulaire; et à cet effet, plaçons le sommet du cône à l'origine des coordonnées (Jîg» 86) et la base circulaire clans un plan parallèle à celui des /2, de manière que le point C, centre du cercle , tombe dans le plan x/ : on aura , pour les équations de la base du cône,
et pour celle de la surface conique,
ÇV+ (tïx— Ç/)'— p»j:"=o. (4)
Nous désignons par ^ l'abscisse OP ou la hauteur du cône,- par yi l'ordonnée PC du centre de la base, par p le rayon de la base CRo=CR,* En tirant de l'équation (4) les valeurs de /?^, ^*, on a
Si nous posons, pour faciliter l'intégration [SSy], f=o^Xj a désignant une nouvelle variable, nous aurons djrz=zxd(i'-\-oLdr^ et pour le cas où Fon fait varier r en
106 LIVHE V. — CïlAPITRE VI.
traitant x comme une constante, dj=:::^dciL^ d'où
Effectuons Tintégration par rapport à x entre les limites .r=:o, ^c=Ç, et doublons le résultat, afin d'avoir l'aire des deux portions de la surface situées de part et d'autre du plan xj^ il viendra
Les limites de l'intégrale sont
» 4-p yi — p
a — — |— , a — — =~, correspondant à j:=:Ç, et à
On obtiendra une expression plus simple, en posant
7) — Ça=p cosç,
d'où
et il est facile de voir que cette intégrale rentre dans la classe de celles qui peuvent s'exprimer par les fonctions elliptiques.
En général, la quadrature des surfaces coniques se ramène au calcul d'une intégrale simple, comme celle des surfaces de révolution; car l'équation générale des surfaces de la première famille, quand on place, comme cela est permis, le centre de la surface à l'origine des coordonnées, étant [249]
on a
dz . /r\ r .. /r\ dz
INTEGRALES TRIPLES. j07
et après qu'on a posé, comme ci-dessus, il vient
=iA^i + (<!'*—«+'*)' +(4''*)' •^*^*-
§ 3. Intégrales triples.
362. On n*est pas conduit, dans les questions de pure géométrie, a considérer des intégrales triples^ de la forme
mais, par contre, il est évident que des intégrales de
cette nature doivent figurer dans toutes les questions de
physique oîi il n'est pas permis de faire abstraction de
quelques-unes des dimensions des corps. Si, par exemple,
il s'agit d'évaluer le poids ou la masse d'un corps dont
la densité, variable d'un point à l'autre, a pour mesure
fi^ij^z) au point dont les coordonnées rectangulaires
sont Xjjr^z^ ce poids ou cette masse seront mesurés par
l'intégrale M, dont les limites devront être choisies de
manière à comprendre précisément l'espace occupé par
le corps. Si l'on divise M par le volume du corps, ou par
l'intégrale
'^=fffdzdydx,
prise entre les mêmes limites, on obtiendra la densité moyenne du corps, ou la valeur moyenne de la fonction /dans l'étendue de la triple intégration. Ce sont là au* tant de conséquences manifestes de la définition même de la fonction /[i3o], et de l'hypothèse de la continuité de 'a matière, sur laquelle cette définition repose. Nous donnerons par la suite quelques éclaircissements sur l'interprétation que cette théorie doit recevoir, quand on
lOfi LIVRE V. CtlAPJTfiE VI.
considère les corps comme des systèmes de particules disjointes.
Si la fonction y mesurait une température, le rapport
=r- serait la température moyenne du corps, et ainsi de
suite.
La première intégration par rapport à z aura lieu entre des limites qui sont des fonctions des deux autres variables indépendantes x^jr^ et qui représentent les ordonnées (perpendiculaires au plan xy) des surfaces ou portions de surfaces par lesquelles le corps est limité. L'étendue des deux intégrations subséquentes par rapport à .r et à ^ sera celle de l'aire circonscrite sur le plan xj par Tintersection de ce plan avec un cylindre tangent à la surface du corps, et dont les génératrices sont parallèles aux z.
L'ordre des intégrations simples est indifférent, quand la fonction f{x^y^z) ne passe point par l'infini dans l'étendue de la triple intégration : autrement on tombe sur des singularités analogues à celles qui ont été remarquées au sujet des intégrales doubles.
363. Pour prendre, dans l'étendue de l'espace occupé par un corps, une intégrale définie triple , il convient souvent de substituer au système des coordonnées rectangulaires un système de coordonnées polail^es dont l'emploi est d'ailleurs naturellement suggéré par les besoins de l'astronomie et de la géographie. Imaginons un plan fixe mené par l'origine des rayons vecteurs, et un rayon fixe tracé dans ce plan; la position d'un point dans l'espace est déterminée lorsqu'on assigne i" la longueur r du rayon vecteur; a* l'angle ô que forme le rayon vecteur avec une droite perpendiculaire au plan fixe;
mTÉGKALES TRIPLES. 109
3* l'aagle ^j; que la projection du rayon vecteur sur le plan forme avec le rayon fixe. Si l'on prend pour plan fixe (^ou ^\2itï fondamental ^ comme quelques-uns l'appellent) celui des xy-j et pour rayon fixe le demi-axe des oc positifs, on passera des coordonnées rectangulaires aux coordonnées polaires au moyen des formules
a:=rsinôcos vp, / = rsinôsin^, z==rcos6. . Dans le système des coordonnées géographiques, l'an^ gle ^ correspond à la longitude, et l'angle 8 est le complément de )a latitude, quand on suppose l'origine des rayons vecteurs au centre du globe. Le rayon vecteur décrit un méridien lorsqu'on fait varier l'angle 6, l'angle ^ restant constant, et il décrit un parallèle lorsque 6 reste constant et que l'angle i/ varie.
Concevons une surface sphérique ayant pour centre l'origine O {Jig. 87) et pour rayon OR^r, à la surface de laquelle on prend deux points infiniment voisins m,v; de façon qu'on passe du point m au point v en faisant varier 6 de ûTO et ^ de di(. Les points /tz, v sont deux sommets opposés d'un quadrilatère sphérique, formé par deux arcs de méridiens infiniment voisins mfx, n^, et par deux arcs de parallèles aussi infiniment voisins mn^ p. On a m\L=n'^=rd^j et mn (qui ne diffère de p que par un infiniment petit du second ordre) = mpd"^ zizzrsinôrftj;. Donc la surface du quadrilatère sphérique, que l'on peut prendre pour un rectangle quand on néglige les infiniment petits des ordres supérieurs au second, a pour valeur r^sïnHd^dr^. En multipliant cette aire par dr^ on a le volume d'un élément de la pyramide O/w/zvpi. Le volume entier du corps se décompose en éléments ainsi définis, et par conséquent
M=^F(r,Ô,ij;)r'rfrsin 6^4,
F(r,6,+) étant ce que devient la fonction f{x^y^z) par la substitution des valeurs de x^y^z en rjO,^'.
Le volume du corps, ou l'étendue de l'intégrale a pour mesure
Si l'origine des rayons vecteurs est dans l'intérieur du corps, et si le corps est limité par une surface convexe en tous ses points, ou du moins par une surface de forme telle que chaque rayon vecteur ne la rencontre qu'en un seul point, l'équation de cette surface est de la forme
la'^fonctionf n'admettant qu'une valeur réelle et positive pour chaque système de valeurs de 6 et de ^. Dans ce cas
M = PYY'^^'*^ F(r,e,it)r'rfrsin W8rf^,
y=\( ^""p [f(9,+)] ' sin y^,
Si la surface enveloppée avait une forme différente, ou si l'origine des rayons vecteurs était autrement placée, il faudrait déterminer les limites des trois intégrations* simples par une discussion spéciale pour chaque cas, et qui ne peut offrir d'ailleurs aucune difficulté.
L'intégrale double
a pour valeur ^i: ou la surface de la sphère du rayon i, comme cela doit être.
* 364. Le calcul d'une intégrale triple peut se simplifier beaucoup par un choix convenable de variables ou de coordonnées. Soient donc a,p,Y trois nouvelles variables liées à o;,^, z en vertu des équations
