INTÉGRALES TRIPLES
et posons -
dy = f rfa + 4/.rfP + ^3^Y' (A)
Pour chasser d'abord de l'intégrale M la différentielle dz^ on remarque que cette différentielle est prise en supposant constantes les deux coordonnées r,^, et par conséquent dx=Oj dj^o^ ou bien
ç,fl&c+(p,rfp-|-<p3rfy==o,
^.doL+if^d^ + if^id-^^^o.
On tire de ces deux équations les valeurs de c/a, d^^ et en les substituant dans l'équation {i)y on a
CD posant, pour abréger, £n conséquence, il vient
Mais la coordonnée y doit être traitée comme une constante dans les intégrations relatives à / et à .r, ce qui réduit les équations {g) et [h) aux équations {e) et (/*) du n® 357; et l'on a, par ce qui a été démontré dans ce n",
^Uiirrfr=#U(ç.4;.-f9,yarfP; donc
M=>(^F(a,P,y).0rfarfprfY,
et
V=^0^arfp^y.
Le polynôme 0 , par la symétrie de sa composition, '^e pourrait que changer de signe, si Ton opérait dans un ordre différent l'élimination des différentielles rfj?, dj-^dz; mais d'ailleurs le signe de 0 est indifférent, et l'on ne doit avoir égard qu'à la valeur numérique de ce facteur.
puisque l'intégrale Y mesure un volume^ qui mesure à son tour l'étendue de l'intégrale triple M. Si l'on prend
a=r, P = e, Y=4^J ^=3rsin6cos(}j, j = rsîn6sin •];, z=rcos6,
il viendra
9, ==sinOcos^, 9,==rcos6cos'^, ?3= — rsinOsin^]^,
^^ c=3sinOsin ^) <};,==:rcos6sin^, ^3 =rsinOcos^,
trf,==cos6, x;5a== — rsin6, -daso;
d'où 0 = r^sin 6, ainsi qu'on l'a trouvé directement, par
la construction géométrique.
365. La théorie des intégrales doubles et triples peut sans difficulté se généraliser et s'étendre aux intégrales quadruples, quintuples, etc. On comprend que les questions de physique mathématique doivent souvent conduire à des intégrales plus élevées , quant au degré de multiplicité, que les intégrales triples. Par exemple, si l'action F du corps M sur le corps M' est la somme des actions que chaque élément de M exerce sur chaque élément de M% on a, en désignant par y(j;^,z;j;'<j;r',z') l'intensité de l'action qu'exerce l'élément m du corps !Vf, dont les coordonnées sont x^y^z, sur l'élément m' du corps M', dont les coordonnées sont x\y\:^^
c'est-à-dire que la valeur de F dépend essentiellement d'une intégrale sextuple, laquelle peut néanmoins, dans certains cas, par un choix convenable de coordonnées, être ramenée à dépendre d'intégrales d'un degré de multiplicité moins élevé.
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ÎHÉORIE DE LA. VARIATION DES INTÉGRALES. PRIN- CIPES DE LA MÉTHODE DÉSIGNÉE PLUS PARTICULIÈRE- MENT SOUÀ LE NOM DE CALCUL DBS VARIATIONS.
§1^'. De la varîatloD des intëgrales.
