PT=— 1=, MT

donc la perpendiculaire P|i a une valeur constante et égale au paramètre h. De là Mjx. = l/r* — ^'' L'aire OBMP a pour valeur

y*x rh ydr

et l'on a , par l'équation (8) ,

I fx

arc BM = s=-jj j-dj:==^ \/y^i,* :

la chaînette est donc une courbe pour laquelle l'aire et l'arc sont des fonctions algébriques de l'ordonnée.

L'arc Bl\f vient d'être trouvé égal à la droite M[jl : donc le point ]l appartient à une développante de la chaînette, ayant son point de rebroussement en B , sommet de la développée. Cette développante NBN' est sy-

métricfie par rapport à i axe des ^ et a pour asymptote Taxe des x. La portion de droite ftP=é est la tangente de la cburbe IN^BN', à laquelle^ en conséquence , on peut assigner pour propriété caractéristique d'avoir une tangente de grandeur constante. Ces remarques intéressantes ont été faites par Ampère.

385. Courbe de la plus vite descente , ou Brachistochrone ('). On appelle ainsi la courbe sur laquelle devrait glisser un point matériel pesant, pour arriver le plus vite possible d'un point à un autre, non situé sur la même verticale, abstraction faite du frottement sur la courbe et de la résistance du milieu ambiant. Tout étant symétrique de part et d'autre du plan vertical mené par les points extrêmes, la courbe reste nécessairement comprise dans ce plan vertical que nous prendrons pour celui des xy^Xes x positifs se mesurant suivant la verticale et de haut en bas. Soient x^ , x^ les abscisses des points de départ et d'arrivée du mobile : d'après les principes de la mécanique , il faut rendre un minimum l'intégrale

dx^

"y/l±jr.

Xn X — X

ce qui donne

£ dx 1/ ^

dy X — X

(*) £t noD pas Brachystochrvne, suivant Torthographe barbare que l'on trouve employée partout. Ce mot dërive immëdiatement, non de l'adjectif Pp^X^^ > qui a le même sens et la même racine que le latin breçis, mais de son superlatif ppa/Krroç, d*oii l'u a disparu.

Posons — =:aR et j:^=o, ce qui revient à faire passer

l'axe des x par le point de départ , il viendra

dx . /aR— 'X

équation d'une cycloide [177] dont l'un des arceaux a pour pied le point de départ. Le rayon Rdu cercle générateur se déterminera , au moyen de ce que la cycloïde est assujettie à passer par le point d'arrivée du mobile. 386. Problèmes sur les isopérimètres. On demande

la courbe dont l'aire / ^ ydxy limitée par les ordonnées

des points {x^^j^^ {x^ ,^,),est un maximum ou un minimum y l'arc entre ces mêmes points ayant une longueur donnée. D'après le n^ 38o, il faut poser

J Xo

\ désignant un coefficient constant : ce qui donne

d'où, en intégrant, et en désignant par $ la valeur de x pour^= o ,

\/i+y»' -^ dx v/x*— (x— Ç)»' Intégrons de nouveau , et désignons par r, la valeur de y pour a;=z=Ç : il viendra

r— T^^qpl/'x»— (x~ï)s ou (a:— $)•+(>— n)'=^*. Ainsi la courbe cherchée est un cercle dont \ désigne le rayon , et qui a pour centre le point ( Ç, iQ ). La détermination des trois constantes Ç, y), \ résulte de ce que le cercle doit passer par les points (.^.,^0 )i {^uj^i)^ 1 arc compris entre ces points ayant une longueur don-

née. La solution est double : l'arc de cercle qui tourne sa concavité vers l'axe des x correspondant au maximum^ et celui qui tourne sa convexité vers le même axe correspondant au minimum. On en conclut que le cercle est la courbe fermée qui, sous le même périmètre, circonscrit l'aire maximu/riy comme les anciens l'avaient démontré par la géométrie pure.

Si l'on ajoute au problème du n^ 384 1^ condition que la courbe soit prise parmi celles qui ont entre les points (^o?7*o)>('^iî7'i)î "*ic longueur constante et donnée, la variable jK se trouvera remplacée dans l'équation (8) par^-|->. : d'ailleurs les calculs seront les mêmes et conduiront pareillement à l'équation de la chaînette. Une nouvelle constante arbitraire sera introduite dans cette équation ; mais on aura aussi une nouvelle équation de condition : savoir, celle qui résulte de ce que la longueur de la courbe entre les points extrêmes est une constante donnée.

* 387. Pour dernière question , proposons-nous de trouver, parmi les courbes planes isopérimètres, terminées à deux points fixes {x^^j^, {x,^j^, celle qui, en tournant autour de l'axe des x , détermine le solide de

révolution dont le volume tu/ ^y^àxe^inum^iximum

ou lin minimum.

La condition analytique du problème est

en écrivant, pour Thomogénéité, V au lieu de>;et elle donne

APPLIGATlOirS DU CALCUL DES VARIATIONS. 145

OU bien y en prenant s pour variable indépendante ,

Substituons pour ^ sa valeur tirée de l'équation (7) , et il viendra

d^oîi en intégrant , et en désignant par b la valeur de l'ordonnée ^ pour le point de la courbe où la tangente est perpendiculaire à l'axe des«r,

Cette dernière équation donne

et par suite \ (la)

Une nouvelle intrégration donnerait la valeur de :r en^* avec une constante arbitraire ; et l'on déterminerait cette constante, ainsi que les deux autres paramètres 6,1, en assujettissant la courbe à passer par les points QXoi^o)^ (•^iv^i)) ^^ ^ avoir entre ces points une longueur donnée. Posons i=o, ce qui revient à faire passer l'axe des X par le point où la tangente est perpendiculaire à cet axe; prenons aussi ce point pour l'origine des coordonnées x,jr,etde l'arc s auquel nous donnerons le même signe qu'à x : il viendra

Soit ^=X cos«p, <P désignant une nouvelle variable: T. II. 10

on aura

Xsinfcos*(p£/(p ïXcos'çrfç X cos^tfdf

V^i — co8^9 i^i-{- C08» 9 l^a V^i— j8in*ç

et par suite

D'après la nature périodique des fonctions F, E, ii est aisé de voir que la courbe représentée par l'équation (i3) a un cours périodique , comme l'indique la Jig. 90. L'ordonnée maximum PM ayant pour valeur X, , celles de l'abscisse correspondante OP=^OA et de l'arc OM sont

i^-["<F;)-<P;)I' ^<in)-

Les inflexions de la courbe aux points O^ A, etc., n'interrompent pas la continuité de la fonction s y comme cela a lieu pour d'autres courbes , et notamment pour la lemniscate [386] , dont l'arc s'exprime aussi par la fonction elliptique F( — 7=.» ? )•

La considération dont nous avons fait usage pour simplifier l'expression des intégrales des équations différentielles (i a), ne pourrait plus être employée : 1** §i la constante b devait avoir une valeur imaginaire de la

forme V \/ — i , ce qui n'empêcherait pas les intégrales dont il s'agit d'être encore exprimables , quoique d'une manière moins simple, par les fonctions elliptiques; a** si l'on avait entre les constantes é, \ la relation fc=X; mais dans ce dernier cas il viendrait

d'où

On pourra effacer la constante arbitraire, si l'on fait passer l'axe des j" par le point dont l'ordonnée est jr=z\\/"i. D'ailleurs la courbe que cette équation représente , et qui est comprise entre les droites^= ±Xj/i, au lieu de couper en une infinité de points Taxe des x^ comme cela arrive à la courbe ( 1 3 ) , a cet axe pour

asymptote; puisque, si l'on fait^ = o, il vient -^=o,

et :r=±oo .

La courbe dont la première équation (la) est l'équation différentielle, est connue sous le nom de courbe élastique f parce que c'est celle qu'affecterait une lame élastique, naturellement plane, fixée à l'une de ses extrémités, et courbée par l'action d'une force appliquée convenablement à l'autre extrémité. Ou Ta nommée aussi courbe Imtéaîre, parce qu'elle représente la section droite d'une enveloppe cylindrique parfaitement flexible , suspendue par deux de ses génératrices, et remplie d'un liquide pesant dont la pression détermine la courbure de l'enveloppe.

A proprement parler, la courbe lintéaire est déterminée par la condition que l'intégrale

fO.

soit un maximum y les intégrales

ayant des valeurs constantes , c'est-à-dire par l'équation

d'où l'on tire

Puisqu'il sufBt de diminuer lesjr de la quantité constante -, pour ramener cette équation à l'équation (ii), il

est clair que l'équation de la courbe lintéaire doit se confondre avec celle de la courbe élastique, tant qu'on ne particularise pas les constantes.

* S a. De la méthode des variations, étendue aax intégrales doubles.