Soit
rr
ydxdy
une intégrale double dont les limites , supposées d'abord invariables, sont déterminées par le tracé sur le plan xjf d'une courbe fermée mji^mji^ Vfis* 8o et n<* 354] • on admet que V peut renfermer , outre les variables indépendantes x^jr^ une fonction z de ces deux variables, et ses dérivées partielles du premier et du second ordre Pj q^ r^ Sj ty hypothèse d'une généralité bien suffisante pour les besoins des applications. Il s'agit de détermi* ner la fonction z de manière que l'intégrale proposée ait une valeur muximum ou minimum.
D£ LA VARIATION DES IlfT^GRALBS DOUBLES. 149
Posons rfV=X£ir+Yrf/+Z£fe-hPf§3+Q^+B«ir+&&+Trfr, ce qui donne dans l'hypothèse des limites constantes où Ton peut [374] considérer comme nulles d'elles-mêmes les variations ^o: et ^,
5V=Zjz+P3/?+QÎ3r + Rîr-f. Sîs + Tîr ; en sorte que l'équation du problème devient
> Il £iut considérer à part les termes en 8pj 8q, etc., afin de leur faire subir les transformations qui sont de l'essence du calcul des variations.
On a
JJnp.dxdr^JJn^.dxdy^JJv^
Dans cette équation l'intégrale double
est censée prise dans les mêmes limites que Tintégrale double proposée : quant à l'intégrale simple/ P^/^^z , qui est amenée par une première intégration relative à la variable a;, il faut, pour en fixer la valeur, concevoir qu'après cette première intégration opérée , on a substitué successivement pour a: les valeurs ^,^, "^^ [354] i et retranché le second résultat du premier, ce que nous indiquons par la notation abrégée
la seconde intégration relative à 7 devant d'ailleurs être prise entre les limites j = Oy, =r^, ,^ = Oq^—y^^ En conséquence nous écrirons
150 LIVRE V. CHAPITRE VIIl.
On trouverait de la même manière
la fonction ^ désignant l'inverse de i|/, ainsi qu^on l'a expliqué dans le n*" cité.
Il vient ensuite '
En tenant compte des limites des intégrales, nous écrirons , suivant la notation employée ci-dessus ,
i+oT
■JJlP'^'^^-^''
Le même calcul donnera
Enfin, si nous considérons le terme affecté de nous obtiendrons par un calcul analogue
On a d'ailleurs
d'où
i S^D,dx=: I S-^éù:=SSz— / -j-dx^Zy
