Nous disons de plus que, sans restreindre la
généralité du problème qui consiste à obtenir l'intégrale
(g), il est permis de supposer le polynôtne II* de la
forme
les termes p*x*, q^x^ devant être affectés du même signe, positif ou négatif.
En effet, puisque R' ne contient point de puissances impaires de a:, et qu'un polynôme du 4^ degré se dé> compose toujours en facteurs réels du second, rien n'em-^ pêche de poser
R' = (/» + nx^) {m* + « V) ,
/w, /i, ni y ri désignant des quantités réelles. Donc, si l'on fait
la variable t sera réelle en même temps que x. On tire de ces équations
n'm*t* — m ± /W ï/ 1 + a(2m'/i — mn')t» -h m*n!uà
in
dx xdx mdt
dt
\/ 1 + ^{iwin — 01»')/» -f-m*«'*/4
INTÉGRATION DKS FONCTIONS ALGEBRIQUES. 19
Posons maintenant il viendra
p^ = do {nm'n — mn') + 2 \/m*n{nin'-mn') ,
d'où, en vertu d'une formule connue d'algèbre ,
p = l^dr mn 4- l/±: (m/i — iiiJi) , ^ = V/zh!»'» — l^dz (m'n — mn).
On pourra disposer du signe, de manière à rendre réel le radical |/±: m'/i ; et en admettant, ce qui est bien permis, que l'on a
le second radical qui entre dans les valeurs de^ et de q sera pareillement réel.
Eu conséquence, il viendra
/l'mV — in±/w 1/(1 ±p*t^) (1 ±q*t*)
dx . . dû
Si l'on substitue ces valeurs dans la fonction
Y{af)dx R ' on la mettra sous la forme
ou, ce qui revient au même, on peut admettre que dans la fonction (A), le radical a la forme indiquée par l'équation (Rj.
305. T^ fonction F peut être entière ou fractionnaire . Supposons d'abord qu'elle soit entière, en sorte qu'il s'agisse d'obtenir une somme d'intégrales de la forme
et posons^ pour abréger,
R'= (i ±p'x') (i ±q^x') zzzi+rx' + sx'' : on aura identiquement
— ^-=(2/-3)Ra:'-4 + ^^ .^^
==^1 (2t — 3)a:'*-*+ (21— 2)rx»*-»+ (2/— i)^ar" 1 ; et par conséquent Yi.x^'-^ + consU = (ai — 3)/-^ — :g h {ii-^^yl — ^ —
Ainsi l'intégrale {{) est ramenée à dépendre de deux autres de même forme
/x"^*dx fx*'-^iLc.
et comme on peut opérer ainsi de proche en proche, ii en résulte qu'en définitive l'intégrale (/) sera ramenée à dépendre, quel que soit i, des deux intégrales
X* dx ,^.
Si la fonction F (o:^) est fractionnaire, on en extraira la partie entière; et le reste étant décomposé en fractions partielles [§ i"], on aura à obtenir une somme d'intégrales de la forme
/ dx f .V
Or, on a identiquement
tùc (i + 2rr* + 352:*) (a:r* + a) — a(/ — j)(i-|-ru7*+52:^)jr* .
d'ailleurs on peut poser
(i + arj^ 4- 35JF^) (x' + a) — a(/— i){i-hrx'-\- sa:^)jc*
^, A^ A:, / étaut des coefficients que Ton déterminera sans difficulté en identifiant les deuK membres^ et qui ont pour valeurs
gzm — (a« — 5)5, A=: — {%i — 4)(''^— 3a^)>
* = — \%i— 3) (3a*j— aar-i-i), /=.(a/— 2) (aV— aV^-a).
Il viendra en conséquence
Rr /* rfx , /* dx
En vertu de cette dernière formule, et par un calcul de proche en proche semblable à celui qui vient d'être indiqué pour l'intégrale (i), on ramènera l'intégrale (j) à dépendre des deux intégrales (A)^ (B) et d'une troisième
Doue, en définitive, l'intégration de toute fonction rationnelle de a; et d'un radical carré recouvrant un polynôme du quatrième degré en x^ se ramène à la détermination des trois intégrales (A),(B), (C).
Nous verrons plus loin quelles transformations ultérieures Ie5^ analystes ont fait subir à ces dernières
fonctions , quelles sont les principales propriétés dont elles jouissent^ et comment on a pu dresser des tables des valeurs numériques qu'elles acquièrent, quand on assigne numériquement les limites de l'intégration.
§ 4* IrratioDoelles bioômes.
306. Nous appellerons irrationnelles binômes les fonctions de la forme
p^q désignant des nombres entiers, etm, n des nombres quelconques. SU met, n sont rationnels, on peut les supposer entiers, sans restreindre la généralité de l'expression, ainsi qu'il est facile de s'en assurer. Les fonctions "Sidx sont désignées communément par la dénomination fort impropre àe différentielles binômes. Si l'on pose
il viendra
ainsi Vidx sera rendue rationnelle par cette transformac.
tion, si — est un nombre entier.
L'équation (R,) peut être ainsi écrite :
R=^ 9 {ax-'' + by\ donc, d'après ce qu'on vient de voir, la fonction Kdx sera encore rendue rationnelle, si le rapport
np
se réduit à un nombre entier. Hors des deux cas que
INTÉGRATION DES FONCTIONS ALGEBRIQUES. 2f3
Ton vient d'indiquer, la difTérentielle Re/x ne pourra en général être délivrée de Tirrationnalité qui l'affecte. Quand on fait 3!f-=-tf il vient
donc la détermination de l'intégrale /KcLc se ramène à celle de Tintégrale
fxl^-^ {a + bxjdxy (k )
les constantes (x, v, pouvant avoir des valeurs quelconques, entières ou fractionnaires, et même irrationnelles. Or, nous allons faire voir que la détermination de l'intégrale (Je) se ramène toujours à celle d'une autre intégrale oii les valeurs des constantes {a, v seraient comprises entre zéro et l'unité.
