Nous admettrons donc que l'intégrale

*Yxdx , .

est toujours ramenée à dépendre d'une autre intégrale

Rj^ étant un polynôme du quatrième degré en ty qui ne contient point de puissances impaires de la variable : ou^ ce qui revient au même, nous admettrons que, dans l'intégrale [g)y le radical R ne contient point de puissances impaires de x.

On peut aller plus loin, et admettre que la fonction rationnelle Yx est également paire. En effet, si elle était impaire, sa formé la plus générale serait

e + ^rû'

0, 0), 0^ O désignant des fonctions paires de x. On aurait donc, par une transformation analogue à celle du n"* 3oi,

/¥xdx /V69 — wîi \ dx f/(ùS — QQN xdx nR~~7 Ve'— or'iiV * "R V W— ^ÛV "T" Or, dans la première intégrale du second membre^ la

fonction qui multiplie — ne contient que des puissances

paires de x ; et si l'on fait dans la seconde .r^ = t, la fonction sous le signe /"deviendra de la forme

et pourra être rendue rationnelle, d'après le § a.