CHAPITRE II

308. En vertu du principe du n^ ng^^ si Ton a sous forme finie l'intëgrale

/ftdt=¥t+ const. , on aura aussi :

dx /filogai).— ^¥(}ogx)+const.y

se

ff{^) . e'dx = F(^) + const., yy^sin x) . cos xdx = F(sin x) + const. j jy{GQ% â:).sin xdx = — F(cos x) + const,, dx

dx yy(arc sin x).rp===^ = F(arc sin x) + const.

Par exemple, il viendra

*cos xdx

-—5- = arc(tang = sin x) + const.

Ji

i + sm ^

Lorsque la fonction F ne peut pas s'obtenir sous forme finie, les intégrales précédentes, dans le cas où la fonction /est algébrique, sont au moins ramenées à dépendre de rintégration de la fonction algébrique y^e//.

y* désignant toujours une fonction algébrique, on pourra rendre algébriques les fonctions

/(«**) . dx , /(sin mx , cos mx) . dx , en posant, pour la première, é^'=:tj et pour la seconde, sin mx=ty ou cos mx=zt.

Ainsi cette substitution donnera :

y^ dx r dt /x—t — \ — : ^^^= 1/ — : — s. . ^=' — V Vconst.^

y/i — sin^

^ i+sinx

de

const, ,

2 fi+a t /i — cos^l = ;. arc lang 1/ + const.

On rendrait encore algébrique la fonction J^(sin mxj cos mx; sin imûc^ ces iVw:i;; sin «'/?ij? , ces ^mx ;...) cfcc, y* désignant une fonction algébrique, et /, ^'-.. des nombres entiers; attendu que dans ce cas sin irnx,

cos imx, s'expriment en termes finis, au moyen des

puissances entières desinma:, cosm:v [77].

Une fonction rationnelle et entière de sinus et de cosinus peut toujours s'intégrer, après qu'on a changé par les formules connues [78] les puissances de sinus et de cosinus en sinus et cosinus d'arcs multiples, et les produits de sinus et de cosinus d'arcs différents, en simples sinus et cosinus. Par exemple, on a

ysin^mx-i-n) cos{pa;+p)dxz=z - /sin [{m+p)x-\'n'^q]dx

-t- - /sin \{m—p)x+n — q\dx

cos[{m+p)x+n+q] cos[{m—p)x-irH'-q\ ,