La détermination de l'intégrale
/siii^xcoi*xdx ((t,v)
dépend de l'intégration d'une irrationnelle binôme ; car si l'on pose sin .r=zi|/^, cette fonction devient
l]VTÉGRA.TION DES FONCTIOIfS TRANSCENDANTES. 27
On pourrait donc employer les formules du n® Soy à la
réduction des exposants (a, v ; mais il vaut mieux effec*
tuer ce calcul de réduction en conservant la fonction
([i.yv) sous sa forme primitive.
Si l'exposant (x est positif^ on diminue cet exposant
sans augmenter v , en vertu des équations
f&in^x CQS^'xdx ==/sini*~ * cos^ jr . sin xdx
sini*~»arcos^'^ u. — i /*. ., ,
= — — h *- /sm»'"*a:cos*+'x«x,
v+i v+ij
Jsixi^''*x cotl"^*xdxz=ifsïxi^''^xco9i'xdx — fsin^x cog*xdx ,
d'où l'on tire
>.. , sini'^'^rcos'^'ar Pt— i /*. . . i - \
/sin^xcos''xdx=i h^- — 1 sin«*""*:rcosra?alr. (u.)
Si l'exposant v est positif, on diminue cet exposant
sans augmenter (/., en employant la formule suivante, à
laquelle on est conduit par un calcul analogue :
/•• * > sinH-'^cos'^ V— I A . , ^ / \
^m^o: cos^x^zrr 1 /sm»'jrcos*-*^Ar. (v)
On tire de l'équation {\u)
/.. , , sin«*-"xcos*+'^ . (/.-fv /*. ^ ^ , /smi*-*cos*j:d[r = 1- ' Ismi^^F cos^'xdx,
et en changeant (i. en — (^--|-2l,
/cos^j; , cos*+'x VL — V — 2 /^cosrx , , ,.
smï'a: (|A— i)sm«*-'a; (ic — i J sin^-*x ^^^
On tirerait de même de l'équation (v)
/sin»*x , sin»*+':c V — a — 2 /*sin«*^ , , ,. rfr=7 r 1 ^ / — dx. (y) cos^x (v— i)cos*— 'X V — I Jcos^*x ^
Ces deux dernières formules servent à réduire les valeurs numériques des exposants (x, v dans l'intégrale ((Ji,v) , quand ces exposants sont négatifs.
A l'aide des quatre formules de réduction ((jl), (v),
([x'), (v') , on fait toujours dépendre Tintégraie ((x^v) d'intégrales de même forme ^ dans lesquelles les exposants (ji,v tombent entre — i et -|- i ; et lorsque les exposants primitifs (a, v sont entiers , Tintégrale ((jl,v) est amenée à dépendre de l'une des neuf intégrales suivantes ; fdxz=zx+C^fs!mxdxz=z — co&2;+G,ybo&r^:r=:sin:r+C,
ysina;cos:réir=:-sin*.r+C, / da:=z — logcos:cH-C,
/cos«r /* dx -. — Éir=loff sin:r + C, / -: =lofftanffa;+C, snia: ^ ^J sm:rcosar ° °
^310. Au lieu de ramener l'intégrale d'une fonction transcendante à dépendre de l'intégrale d'une fonction algébrique 9 on peut faire l'inverse et obtenir ainsi, pour certaines transcendantes à différentielles algébriques, des expressions d'une forme plus simple ou d'une discussion plus facile. C'est ce qui se pratique notamment pour les intégrales (A), (B), (C) du n"" 3o5. Soit en effet /?* le plus grand des coefficients /?% çr» qui entrent dans la composition du radical
on posera
et les trois intégrales précitées se trouveront comprises sous la formule générale
//A + B sin'yN ^
y VC + D sin V »/i-c*5in>(ï> ^ ^
Si au contraire le radical a la forme
il deviendra imaginaire pour les valeurs de x^ comprises
entre -^ et -^ ; en sorte que les trois intégrales dans la
composition desquelles entre ce radical, seront ellesmêmes affectées d'imaginarité , à moins qu'on n'ait p^x^ < I pour toutes les valeurs de x comprises entre
les limites de l'intégration. On sera donc autorisé à poser
au moyen de quoi l'expression (i) sera encore la forme générale des intégrales (A), (B), (C), (^ désignant toujours un paramètre compris entre o et i . Mais cette formule (i) équivaut à
A' / ^ -f-B' / V/i— c»8m»9.rfç
J \/i-c»8in> J ^ ^
J (i+asin*(p)v/i— c»iin»ç
A',B^C , a étant de Bouveaux coefficients que l'on déduirait sans peine de A^B^C^D par la réduction au même dénominateur, et la comparaison des termes qui affectent les mêmes puissances de sin f . En conséquence, le calcul des trois intégrales (A),(B),(C) est ramené à celui des trois intégrales suivantes, que Ton regarde avec raison comme plus simples,
l/'x — c'sin" 9
l/^i— c»8în»ç.rf?, (II)
^"f • (III)
(l + û sin' Ç) l/i — c» «in* ç
^311. Parmi les intégrales qui rentrent dans les formes (I),(II), nous citerons les suivantes, qui se présentent dans diverses applications importantes,
30 LIVRE V. CIÎAPITRK If.
/d^ Ç cos ^id^
Si l'on change de variable en posant l'équation on aura
,. [c.cosç— cos(ç-h\|;)]rf9 (c.cosç — l/i— ** 8m*9)rf<p
^ cos (9 + 4^) W^ I — c" sin* <p '
cost|;=sin9sin (f + ^)+ cosfcos (f +<|;)
= csin*9 + cos ç i/i-.c*8m»ç , 1/ 1 — ac.co8 4> + c' =tf. COS<p— l/^ I — c» sm* ç,
et par suite
^/ l^ I — ac. C08 <|; -{- <^* c/ ^ï — c* 8În* ç
= - /— 7=^==r / l/x — c«8m "9.</ç + sin 9.
312. Soient f, <p deux fonctions de a:, la première algébrique, la seconde transcendante, mais ayant une dérivée algébrique 9^ , et posons
y£flfcr=zfj, yfj9'.dr=:f,, yfa9'.ctr =;f3,etc. :
l'intégration par parties donnera
yf9".tfte=fj9» — /i/ïj9'.9^-*.rfar, yf,9'.9"-'.rf;r = f»9"-' — (/i — i)/f»9' .9""*. ^> etc. ; d'où
yf9".€ir=f,9» — nf,9"-' + /i(/i — i)f39"""* — . . . . . • db n(^n — i) . . . 3 • 2 . i • fn-{-i 9
l'exposant n étant un nombre positif entier. En conséquence, dans cette hypothèse, et lorsque toutes les intégrales fi , f,, . . . f„^., peuvent s'exprimer en termes finis,
l'intégrale
fÎY.dx (f,9)
s'exprime aussi en termes finis.
IffTEGRATIOIV DES FONCTIONS TRANSCENDANTES. 31
Admettons maintenant que n soit un nombre entier négatif; ou^ ce qui revient au même, considérons l'intégrale
en traitant /^ comme un nombre entier positif , et posons, pour simplifier,
f W, xS',
nous aurons
JT J r~' («— i)f— n—ijv/^^' '
y?""' y ?""' (n— 2>p"-* n—ij<ff-' '
et par suite
/— . <dr= — It \ h ; 77-^ r -+• etc.
En conséquence, l'intégrale (f>-) est ramenée à dépendre de la transcendante
— . ClX,
Si l'exposant n n'était pas entier, le calcul qui vient
d'être indiqué développerait les intégrales (f,(p), (f,~ )
en séries d'un uombre infini de termes. 313. Prenons pour exemple
les formules précédentes nous donneront
yjtf"^ (loga?)** rfo: = — 1 (log x)" (log xY"'
n(n — 1),, , j«('» — i)...3.a.i'l , + -L j-^(logj;)"-»— . . .±-^ ^^i; J +const.
/ntf-^dx r I a
(logo:)" L('*-i)(log:r)'»-' (»-i)(/t-2(loga:)«-*
a"-* "1 a»-' Çaf-^dx
(«— i)(7i— 2)..3.2.iloga:J («— i)(/i— 2)..3.a.i^ loga:
En posant 3(f-=.y^ on ramène Pintégrale
y logjT j log^
En vertu de la relation z = logx, on a aussi
En conséquence, les deux formules obtenues ci-dessus donneront, sans nouveau calcul, par la permutation des lettres z et x,
^tMn — i)...3.2.il, ^ ,.
...±-^ ^ \+consL (a)
/e"dx r I a
{fdx
(/i — i)(/i — 2)... 3. 2.0: J (w — i)(7i — 2)...3.2.iy :r
Puisque les intégrales
faf-^ (log xfdx^ fafé^'dx^
peuvent toujours s'obtenir sous forme finie, quand n est uA nombra entier positif, il est clair qu'on peut assigner aussi en termes finis les intégrales
//r.(logj7)»ûtr, ffx.ef^dxj
y désignant une fonctifon algébrique, rationnelle et entière.
314. Changeons a en a l/^ dans la formule (a); remplaçons Texponentielle imaginaire par sa valeur en sinus et cosinus, et identifions séparément les parties
réelles et imaginaires des deux membres , nous aurons : ^ , sinoxf n(/î — i) /ï(i»— i)rn'-a)(n— 3)' . 1
H -a-«-x -i Q: ^^-3 j. l + const.
a [a ar , J
r* sm a X . /ir = Lr" — ^^ i^-*+-^ <^ ^ ^^ ^;p~-^-...
On trouverait aussi toutes ces formules directement ,
en appliquant aux intégrales des premiers membres la
règle de Tintégration par parties.
On ramènerait de même les intégrales
/cosojcdx rsmojcdx
"^ ' J '^^ à dépendre des intégrales plus simples
/Qosax.dx rsin ax.dx X ^ J X '
L'intégration par parties donne encore
/c** cos bx b C c"cosij?.rfa;= 4-- 1 ef' sinbx.dx.
/. , , ^sinbx b f , ,
&" 8inbx.ax=: 1 ei" cosbx.dx.
équations d'où l'on tire par l'élimination
. - , asinbx-^b cos bx d** sm àx.ax^i : . &" + const,
- , a cos px + ôsinùx / v /
ef^ cos bx.dx = x r; . ê^ 4- const.
D'ailleurs on tirerait de la formule (a) les valeurs des intégrales
fjfef^ cos bx.dx ^ faf'ef''' sin bx.dx^ en y remplaçant a par a-^-by/" — i, mettant pour l'exponentielle imaginaire ^**v^ sa valeur en sinus et co-
sinus, et identifiant séparément les parties réelles et Imaginaires des deux membres.
Donc on pourra assigner en termes finis les intégrales
ffx . €f^ cos bx . dxy fjx . e" sin bx.dx^
y désignant toujours une fonction algébrique, ration** nelle et entière.
