CHAPITRE IV

DE l'iNTÉGRATIOIT DES ÉQUATIOITS AUX DlFFiRENCES PARTIELLES PAR LES SÉRIES, ET EN PARTICULIER DE l'intégration DES EQUATIONS LINÉAIRES, A DEUI VARIARLES INDÉPENDANTES, ET A COEFFICIENTS CONS- TANTS.

549. Le chapitre précédent a mis en évidence Timperfection des procédés par lesquels on détermine, sons forme finie , les intégrales des équations aux diflcrences partielles d'un ordre supérieur au premier , dans les cas peu étendus où cette- détermination est possible. D'ailleurs le problème de l'intégration n'est efTectivemeot résolu que lorsqu'on a déterminé, d'après les conditions propres à chaque question, et sans les restreindre, les fonctions arbitraires qui entrent dans la composition des intégrales; ce qui est souvent impossible, même lorsque le signe de fonction arbitraire ne porte que sur des quantités réelles , et à plus forte raison lorsque les procédés d'intégration ont fait arriver sous ce signe des quantités compliquées de facteurs imaginaires. Aussi, quand les progrès de la physique mathématique ont exigé que le calcul aux différences partielles fût cultive dans un autre bqt que celui de caractériser et de classer <les familles de surfaces , les géomètres ont dû essayer de résoudre d'une autre manière les problèmes d'intégration qui s'offraient à eux; et il était naturel qu'ils

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recourussent d'abord au procédé le plus ordinaire de l'analyse , à celui du développement en séries.

En général, soit une équation aux différences partielles de l'ordre n entre la fonction u et les variables indépendantes x^y, z, tj etc. Prenons une variable auxiliaire 6, composée d'une manière quelconque en-wT,^, Zy ty etc.: on peut supposer la fonction u développée en série de la forme

a = ee» + ©.e»' + ©«o- + etc. ; (6)

de manière que les exposants a, forment une suite croissante ou décroissante de nombres constants, tandis que les coefficients Bt sont des fonctions inconnues de variables indépendantes, en nombre inférieur au moins d'une unité à celui des variables dont u dépend. Si l'on substitue cette valeur de u dans l'équation proposée, que l'on ordonne le premier membre suivant les puissances de 0 , et qu'on égale séparément à zéro les coefHcients de chaque terme du développement, on aura uue suite infinie d'équations^différentielles ou aux différences partielles, dont' chacune renfermera une variable indépendante de moins que la proposée , et si l'on parvient à obtenir les valeurs les plus générales de %oLiy propres à vérifier cette suite d'équations, la série (Oj satisfera, aussi de la manière la plus générale, à 1 équation proposée. En prenant successivement pour 6 chacune des variables x, jy, z, t, etc„ ou des fonctions différentes de ces mêmes variables, on peut assigner à u plusieurs développements distincts : bien entendu que ces développements seront illusoires, toutes les fois qu'ils ne conduiront pas à des séries convergentes.

Dans ces divers développements, les coefficients 0„ déterminés de la manière la plus générale, pourront néan^

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moins renfermer des fonctions arbitraires en nombres inégaux, selon qu'on aura choisi pour 6 telle des variables indépendantes, ou telle fonction de ces mêmes variables. Le nombre des fonctions arbitraires qui entrent dans la composition de ces coefficients ne peut pas surpasser îif mais il pourrait être moindre. Nous établirons ce principe d'une manière fort simple en traitant de la construction arithmétique des équations aux difTérences partielles, et il se vérifiera sur les exemples que nom discuterons dans ce chapitre.

550. Ce que nous venons de dire sur le développement en série par la méthode des coefficients indéterminés^ a pour but de donner à la théorie toute la généralité désirable; mais ordinairement il suffit de recourir pour le développement aux théorèmes de Taylor ou de Maclaurin. Les exposants a/ suivent alors la progression des nombres naturels. Soit, par exemple, Téquation

du du la formule de Maclaurin donn^a

<^x étant ce que devient la valeur de u quand on y fait

/=o, ^^\--p\ désignant la valeur de la dérivée -j;

pour la même valeur particulière t=Q, En vertu de T^quation proposée, on a

INTBGRATIO«r PAR LES SliRIES. 397

iiioyennaat quoi la série (i) devient

Mais le second membre de cette équation n'est autre chose que le développement de la fonction ç(a:-|-a^) suivant les puissances de at : on retrouve donc de cette manière l'intégrale sous forme finie

u^zf^x + at)^ (2)

telle qu'on l'aurait obtenue par la méthode du n** 528. L'équation proposée laisse la fonction <p arbitraire^ comme cela doit être.

!Nous aurions pu développer la fonction u par le théorème de Taylor, suivant les puissances de t — t^^ en laissant la constante f„ indéterminée , de manière à éviter l'exception à laquelle est sujette la formule deMaclaurin, lorsque le développement de la fonction suivant les puissances entières et positives dé la variable cesse d'être possible, ^x désignerait alors la valeur de la fonction u qui correspond à la valeur particulière ^=/o- Mais, pour la plus grande simplicité des calculs, nous ferons toujours usage de la série de Maclaurin : il sera facile de substituer^ si l'on veut, aux développements obtenus, des développements ordonnés suivant les puissances de la variable, diminuée d'une constante arbitraire.